数学建模算法与应用第11章偏最小二乘回归及其方法

11.1 偏最小二乘回归概述

11.2 Matlab 偏最小二乘回归命令

Matlab代码示例：偏最小二乘回归

11.3 案例分析：化学反应中的偏最小二乘回归

Matlab代码示例：光谱数据的PLS回归

习题 11

总结

偏最小二乘回归（Partial Least Squares Regression, PLS）是一种用于分析多个自变量和因变量之间关系的多元统计方法，特别适用于当自变量之间存在多重共线性，或自变量数量大于样本数量的情况。PLS通过同时对自变量和因变量进行降维，提取出一组潜在变量来建立回归模型。本章将介绍偏最小二乘回归的基本概念、PLS在Matlab中的应用，以及典型案例分析。

11.1 偏最小二乘回归概述

偏最小二乘回归通过将自变量和因变量同时投射到新的子空间中来解决多重共线性的问题。PLS模型可以看作是主成分分析和多元回归的结合：

主成分提取：PLS从自变量和因变量中提取出潜在成分，以尽可能解释数据中的方差。
降维与回归：PLS在降维的同时进行回归，保证提取的潜在成分对因变量的预测能力最强。

PLS适用于化学、经济、社会科学等领域，尤其是在自变量维数较高且存在多重共线性的情况下。

11.2 Matlab 偏最小二乘回归命令

Matlab提供了plsregress函数用于执行偏最小二乘回归分析。通过这个函数，可以实现对自变量矩阵和因变量矩阵的回归建模。

Matlab代码示例：偏最小二乘回归

% 生成模拟数据
rng(0);
X = randn(100, 10);  % 自变量矩阵，有10个特征
Y = X(:,1) + 0.5 * X(:,2) - 0.3 * X(:,3) + randn(100, 1);  % 因变量，结合部分自变量生成% 进行偏最小二乘回归，提取前3个成分
nComponents = 3;
[Xloadings, Yloadings, Xscores, Yscores, betaPLS, PCTVAR] = plsregress(X, Y, nComponents);% 使用PLS模型对数据进行预测
Y_pred = [ones(size(X,1), 1) X] * betaPLS;% 绘制预测结果与真实结果对比
figure;
plot(Y, Y_pred, 'o');
xlabel('真实值');
ylabel('预测值');
title('偏最小二乘回归预测结果');

在上述代码中，我们生成了一组模拟数据，并使用plsregress函数对数据进行偏最小二乘回归分析，提取了3个潜在成分，并绘制了真实值和预测值的对比。

11.3 案例分析：化学反应中的偏最小二乘回归

在化学分析中，偏最小二乘回归经常用于通过光谱数据预测化学物质的浓度。例如，可以通过光谱数据预测某化学物质的浓度，PLS在应对高度相关的光谱数据时效果尤为显著。

案例背景

在化学反应中，光谱分析是一种重要的手段，用于测量反应物和产物的浓度。在光谱数据中，每个波长对应一个光谱强度值，但由于光谱数据通常包含大量的波长点，这些波长之间可能存在高度相关性，这使得传统的回归方法无法有效处理。PLS通过将光谱数据降维，提取最具代表性的潜在成分，从而实现对化学物质浓度的准确预测。

数据说明

在本案例中，我们模拟了一组包含100个样本、50个波长点的光谱数据，以及一个因变量，代表某种化学物质的浓度。光谱数据的每一行代表一个样本在不同波长处的光谱强度。

Matlab代码示例：光谱数据的PLS回归

% 生成模拟光谱数据
X = randn(100, 50);  % 光谱数据，有50个波长点
Y = 0.8 * X(:,10) - 0.6 * X(:,20) + 0.4 * X(:,30) + randn(100, 1);  % 化学物质的浓度% 进行偏最小二乘回归，提取前5个成分
nComponents = 5;
[Xloadings, Yloadings, Xscores, Yscores, betaPLS, PCTVAR] = plsregress(X, Y, nComponents);% 使用PLS模型对数据进行预测
Y_pred = [ones(size(X,1), 1) X] * betaPLS;% 绘制预测结果与真实浓度对比
figure;
plot(Y, Y_pred, 'o');
xlabel('真实浓度');
ylabel('预测浓度');
title('光谱数据的偏最小二乘回归预测');

结果分析

从上述代码的结果中，可以看到PLS回归能够很好地捕捉光谱数据与化学物质浓度之间的关系。绘制的真实浓度与预测浓度的对比图表明，PLS模型可以有效地预测化学物质的浓度，尤其是在自变量数量远大于样本数量，且存在多重共线性的情况下。

PLS模型的性能可以通过以下指标进行评估：

预测误差（RMSE）：可以计算预测值与真实值之间的均方根误差（RMSE），以衡量模型的预测精度。
解释方差：通过提取的潜在成分解释的总方差，可以评估模型对数据的拟合程度。

Matlab代码示例：评估模型性能

% 计算均方根误差（RMSE）
rmse = sqrt(mean((Y - Y_pred).^2));% 输出RMSE和解释方差
disp(['模型的均方根误差（RMSE）：', num2str(rmse)]);
disp(['前5个成分解释的总方差（%）：', num2str(sum(PCTVAR(2, 1:nComponents)) * 100)]);

通过计算RMSE，我们可以得到模型的预测误差，这个值越小，表明模型的预测效果越好。此外，解释方差可以帮助我们理解提取的成分对因变量的影响程度。

习题 11

在第十一章结束后，提供了一些相关的习题，帮助读者深入理解偏最小二乘回归的应用。习题11包括：

PLS建模：对一组模拟数据使用偏最小二乘回归进行建模，提取不同数量的潜在成分，并对比预测效果。

光谱分析应用：使用PLS对一组模拟的光谱数据进行分析，预测未知样本的浓度。

降维与回归：使用PLS对一组具有多重共线性的数据进行降维处理，并构建回归模型。

模型性能评估：对PLS模型进行评估，计算RMSE并分析提取成分对数据方差的解释能力。

通过这些习题，读者可以进一步掌握偏最小二乘回归在实际中的应用，以及如何利用Matlab工具进行PLS的建模和数据预测。

总结

第十一章介绍了偏最小二乘回归的基本概念及其应用，包括PLS的理论基础、在Matlab中的实现方法以及具体的应用案例。偏最小二乘回归是一种非常有效的多元回归方法，尤其在自变量之间存在多重共线性的情况下，PLS能够同时实现降维和回归，是解决高维数据分析问题的有效工具。通过本章的学习，读者可以掌握PLS的基本原理和方法，并利用Matlab进行偏最小二乘回归的建模和应用。