数字图像处理：频率域滤波

笔者相关内容笔记：
1.傅里叶变换与图像处理
2.傅利叶变换在图像处理的应用

1.1 频率域滤波总体流程

1.2 DFT/IDFT

DFT的例子

1.3 常见频率域滤波器

过滤高频信息，保留低频信息，则图像模糊

过滤低频信息，保留高频信息，则显示图像细节

1.3.1 理想低通滤波器

1.3.2 Butterworth低通滤波器

1.3.3 Gauss低通滤波器

1.3.4 理想高通滤波器

1.3.5 Butterworth高通滤波器

1.3.6 Gauss高通滤波器

1.4 代码实现

（1）对一副图像进行缩放，显示原始图像和缩放后的图像，分别对其进行傅里 叶变换，显示变换后结果；

import matplotlib.pyplot as plt
import cv2 as cv
import numpy as np# 读取一幅图像（以灰度模式）
img_dir = r'D:\Document\Experiment\data\image1.jpg'  # 图像路径
gray = cv.imread(img_dir, 0)  # 读取图像，0表示以灰度图像模式读取# 对图像进行缩放
rows, cols = gray.shape[:2]  # 获取原图像的行和列数
resize_gray = cv.resize(gray, (int(cols * 0.6), int(rows * 0.6)))  # 将图像缩放到原来的60%# 显示原始图像和缩放后的图像
plt.figure(figsize=(10, 5))  # 创建一个10x5英寸的图形窗口
plt.subplot(1, 2, 1)  # 创建一个1行2列的子图，并选择第1个
plt.title("gray")  # 设置子图的标题
plt.imshow(gray, cmap='gray')  # 显示原始灰度图像plt.subplot(1, 2, 2)  # 选择第2个子图
plt.title("Resize_gray")  # 设置子图的标题
plt.imshow(resize_gray, cmap='gray')  # 显示缩放后的灰度图像plt.show()  # 显示所有子图# 对原图像进行傅立叶变换
dft = cv.dft(np.float32(gray), flags=cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT)  # 计算图像的离散傅里叶变换
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)  # 将零频率分量移动到频谱中心
mag, angle = cv.cartToPolar(dft_shift[:, :, 0], dft_shift[:, :, 1])  # 从复数形式转换为极坐标形式，获取幅度和相位
mag = 20 * np.log(mag)  # 对幅度进行对数缩放，以便更好地可视化# 对缩放后的图像进行傅立叶变换
resize_dft = cv.dft(np.float32(resize_gray), flags=cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT)  # 计算缩放图像的傅里叶变换
resize_dft_shift = np.fft.fftshift(resize_dft)  # 将零频率分量移动到频谱中心
resize_mag, angle = cv.cartToPolar(resize_dft_shift[:, :, 0], resize_dft_shift[:, :, 1])  # 从复数形式转换为极坐标形式
resize_mag = 20 * np.log(resize_mag)  # 对幅度进行对数缩放# 显示原图和缩放后图像的傅立叶变换结果
plt.figure(figsize=(10, 5))  # 创建一个新的图形窗口
plt.subplot(1, 2, 1)  # 创建1行2列的子图，选择第1个
plt.title("DFT")  # 设置子图的标题
plt.imshow(mag, cmap='gray')  # 显示原图的傅里叶变换结果plt.subplot(1, 2, 2)  # 选择第2个子图
plt.title("Resize_DFT")  # 设置子图的标题
plt.imshow(resize_mag, cmap='gray')  # 显示缩放图像的傅里叶变换结果plt.show()  # 显示所有子图

分析原图的傅里叶频谱和缩放后的傅里叶频谱的对应关系
当图像缩小时，频谱的幅度分布会有所变化，尤其是高频成分的能量可能会被削弱，导致模糊。在频域中，频谱的中心部分代表低频信息，而边缘部分代表高频信息。因此，缩放后，频谱的范围也会随之缩小。

（2）对一副图像进行旋转，显示原始图像和旋转后的图像，分别对其进行傅里 叶变换，显示变换后结果；

import matplotlib.pyplot as plt
import cv2 as cv
import numpy as np# 读取一幅图像（以灰度模式）
img_dir = r'D:\Document\Experiment\data\image1.jpg'  # 图像路径
gray = cv.imread(img_dir, 0)  # 读取图像，0表示以灰度图像模式读取# 对图像进行旋转
rows, cols = gray.shape[:2]  # 获取原图像的行和列数
# 获取旋转矩阵，中心点为图像中心，旋转角度为45度，缩放因子为1
rot_matrix = cv.getRotationMatrix2D((cols / 2, rows / 2), 45, 1)  
# 使用仿射变换对图像进行旋转
rotated_gray = cv.warpAffine(gray, rot_matrix, (cols, rows))# 显示原始图像和旋转后的图像
plt.figure(figsize=(10, 5))  # 创建一个10x5英寸的图形窗口
plt.subplot(1, 2, 1)  # 创建一个1行2列的子图，并选择第1个
plt.title("gray")  # 设置子图的标题
plt.imshow(gray, cmap='gray')  # 显示原始灰度图像plt.subplot(1, 2, 2)  # 选择第2个子图
plt.title("Rotated_gray")  # 设置子图的标题
plt.imshow(rotated_gray, cmap='gray')  # 显示旋转后的灰度图像plt.show()  # 显示所有子图# 对原图像进行傅立叶变换
dft = cv.dft(np.float32(gray), flags=cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT)  # 计算图像的离散傅里叶变换
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)  # 将零频率分量移动到频谱中心
mag, angle = cv.cartToPolar(dft_shift[:, :, 0], dft_shift[:, :, 1])  # 从复数形式转换为极坐标形式，获取幅度和相位
mag = 20 * np.log(mag)  # 对幅度进行对数缩放，以便更好地可视化# 对旋转后的图像进行傅立叶变换
rotated_dft = cv.dft(np.float32(rotated_gray), flags=cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT)  # 计算旋转图像的傅里叶变换
rotated_dft_shift = np.fft.fftshift(rotated_dft)  # 将零频率分量移动到频谱中心
rotated_mag, angle = cv.cartToPolar(rotated_dft_shift[:, :, 0], rotated_dft_shift[:, :, 1])  # 从复数形式转换为极坐标形式
rotated_mag = 20 * np.log(rotated_mag)  # 对幅度进行对数缩放# 显示原图和旋转后图像的傅立叶变换结果
plt.figure(figsize=(10, 5))  # 创建一个新的图形窗口
plt.subplot(1, 2, 1)  # 创建1行2列的子图，选择第1个
plt.title("DFT")  # 设置子图的标题
plt.imshow(mag, cmap='gray')  # 显示原图的傅里叶变换结果plt.subplot(1, 2, 2)  # 选择第2个子图
plt.title("Rotated_DFT")  # 设置子图的标题
plt.imshow(rotated_mag, cmap='gray')  # 显示旋转图像的傅里叶变换结果plt.show()  # 显示所有子图

分析原图的傅里叶频谱和旋转后的傅里叶频谱的对应关系；
在旋转操作中，频谱的中心（表示低频成分）仍然保持在原来的位置，但高频成分的分布会发生变化。具体来说，旋转图像后的频谱在相位上可能会有明显的变化，反映出旋转方向和角度。

（3）读取图像进行傅里叶变换，之后使用Gauss高通滤波器进行滤波，最后逆傅里叶变换恢复图像

import cv2 as cv
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 1. 读取一幅图像（以灰度模式）
img_dir = r'D:\Document\Experiment\data\image1.jpg'  # 图像路径
gray = cv.imread(img_dir, 0)  # 读取图像，0表示以灰度图像模式读取# 2. 进行傅里叶变换
# 使用 np.fft.fft2 进行二维傅里叶变换，并使用 np.fft.fftshift 将频率搬移到中心
dft = np.fft.fft2(gray)
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)  # 将低频部分移动到中心# 3. 构建高斯高通滤波器
rows, cols = gray.shape
crow, ccol = rows // 2 , cols // 2  # 中心位置# 创建一个与图像尺寸相同的掩膜，初始值为1
mask = np.ones((rows, cols), np.float32)# 高斯高通滤波器：创建一个高斯核，大小为 rows x cols，中心值为 0
sigma = 50  # 控制滤波器的大小
for i in range(rows):for j in range(cols):distance = np.sqrt((i - crow)**2 + (j - ccol)**2)mask[i, j] = 1 - np.exp(-(distance**2) / (2 * (sigma**2)))# 4. 对频域图像应用滤波器
filtered_dft_shift = dft_shift * mask# 5. 进行逆傅里叶变换以恢复图像
# 使用 np.fft.ifftshift 将频率搬移回去
f_ishift = np.fft.ifftshift(filtered_dft_shift)
# 逆傅里叶变换
img_back = np.fft.ifft2(f_ishift)
# 取绝对值，得到实际图像
img_back = np.abs(img_back)# 6. 显示图像
plt.figure(figsize=(12, 8))# 原始图像
plt.subplot(221), plt.imshow(gray, cmap='gray')
plt.title('Original Image'), plt.axis('off')# 傅里叶变换后的频谱图
magnitude_spectrum = 20 * np.log(np.abs(dft_shift))
plt.subplot(222), plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray')
plt.title('Fourier Transform (Magnitude Spectrum)'), plt.axis('off')# 经过高斯高通滤波后的频谱图
filtered_magnitude_spectrum = 20 * np.log(np.abs(filtered_dft_shift))
plt.subplot(223), plt.imshow(filtered_magnitude_spectrum, cmap='gray')
plt.title('Filtered Spectrum (Gaussian High-pass)'), plt.axis('off')# 恢复后的图像
plt.subplot(224), plt.imshow(img_back, cmap='gray')
plt.title('Recovered Image (After Inverse FFT)'), plt.axis('off')plt.tight_layout()
plt.show()