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转自机器之心

在有些人眼里，数学公式就是一堆数字和符号，但在另一些人看来，这些数字和符号是可以动的，而且极富美感。为什么会有这种差距？那是因为对于后者来说，这些数字和符号的背后是一幅灵动的图，他们可以根据公式约定的规律进行变换，让人感受到数学规律带来的美感。

但问题在于，不是每个人都有这么好的「脑补」能力，能将数学公式自动想象成图。因此，我们需要借助于工具。

说到工具，你可能想到的是 Adobe Illustrator 等广泛使用的画图工具。没错，这些工具确实好用，但未免有点繁琐，你要不断地花时间手动调整坐标等信息。

有没有简单一点的方法呢？类似于「我来说，你来画」那种。卡内基梅隆大学开发的 Penrose 就是这样一款工具。

你只需要描述一些数学关系或输入数学表达式，该软件就能自动帮你画图，从而将抽象的数学公式转化为直观的图，文章开头给出的只是一个简单的例子。如果你不想用圆来表示上述关系，软件还可以帮你换成箭头表示。

不同于普通的图形计算器，你输入的表达式不仅限于基本函数，也可以是来自任何数学领域的复杂关系。

「在设计之初，我们问自己『人们是如何在脑海中将数学公式转换为图像的？』」卡内基梅隆大学计算机科学系博士生 Katherine Ye 表示。「我们系统的秘密武器就是让人们能够很容易地向电脑『解释』这一转换过程，然后将比较困难的作图过程留给计算机。」

为了让计算机理解人类所描述的关系，研究团队还专门开发了一种编程语言：

如上图所示，研究者用自己设计的编程语言表述了几个集合的包含关系，即使没学过这种编程语言的同学也能读懂。根据这些描述可以生成如下图形：

这款软件的名字来源于著名数学家、物理学家罗杰・彭罗斯（Roger Penrose）。彭罗斯以善用图表交流复杂的数学和科学思想而闻名。

「想象一下，你从图书馆的书架上拿下一本尘封已久的数学书，将上面的内容输入计算机，然后就能得到一本带插图、更容易理解的新书」，这就是该研究团队的愿景，Penrose 只是迈向这个愿景的第一步。研究人员将在 SIGGRAPH 2020 大会上展示 Penrose。不过，Penrose 目前还处在开发阶段，因此暂时无法上手。

• 论文地址：http://penrose.ink/media/Penrose_SIGGRAPH2020.pdf

• GitHub 地址：https://github.com/penrose/penrose

这款工具到底有多好用

Penrose 可以把抽象的数学表示转化成一或多个不同风格的视觉表示，研发团队在视频 demo 中展示了对多个不同领域数学表达式的转化效果。

比如，几何领域：

线性代数：

集合论：

函数：

看了该研究团队给出的 demo 之后，有人称赞道，「这款工具可能变革科学和数学交流。」

还有人将其比作「科学图表界的 LaTex」：

那么，用户要怎么操作才能实现上述效果呢？

界面和基本功能

我们首先来看 Penrose 的界面。

如下图所示，界面顶部是该工具的基本功能和选项。

• 左侧第一个下拉框：表示用户试图转化的数学公式所属的领域，上图示例显示的是「集合论」（set theory）；

• 左侧第二个框：可供用户选择想要生成的图样式，上图选择的是维恩图（venn），用户可以点击该下拉框，选择自己喜欢的样式；

• 右侧「run」按钮：点击该按钮，等待几秒，即可得到左侧数学内容所对应的图。

只选择数学领域还不够，用户还需要在界面左侧填充数学内容。这里需要注意的是界面第二行的「sub」、「sty」、「dsl」按钮。

Penrose 的语言框架包含三部分：Domain schema（dsl）、Substance program（sub）和 Style program（sty）。

如下图所示，这三部分分别表示：

• dsl：数学领域中可用的对象、关系和符号；

• sub：填充数学内容；

• sty：从数学表述到视觉表示。

用户可以逐个点击这些按钮，填充所需的数学内容，选择所需的视觉表示形式。

高阶优化操作

说完了基本功能，我们再来看「优化」操作。

• 右下方「resample」按钮：如果你对生成的图不满意，点击该按钮，即可重新生成图；

• 「autostep」按钮：实现图的自动生成，如果你想对图进行调整，只需禁用该功能即可。

UI 界面中的优化过程。

Penrose 背后的技术

Penrose 团队设计此工具的目标是：

• 以用户熟悉的方式表达数学对象；

• 系统不局限于固定的某些领域；

• 对相同的数学内容进行不同的可视化展示；

• 视觉复杂度方面不存在内在限制；

• 速度快，支持迭代工作流；

• 为制图所做的努力应该是可泛化和可重用的。

基于以上目标，该团队制定了以下组织原则：

• 通过从数学对象到视觉图标的映射来规定图；

• 通过解决相关的约束优化问题来合成图。

工作流程

下图展示了 Penrose 的工作流程：

第一阶段：用编程语言指定数学对象和视觉表示

Penrose 将数学内容与视觉表示分离开来，并使用 language-based specification 来提供该分离所需的抽象。

如前所述，Penrose 为数学内容与视觉表示提供了两种不同的语言：Substance 和 Style。

Substance 借助精确的断言（assertion）来诠释标准的数学表述，参见下图示例：

第二阶段：基于优化的合成

Penrose 使用约束优化来合成与给定描述相对应的图。这个方法主要是受到手绘图的启发：将视觉图标放在画布上，不断地调整直到无需再改进。

此外，Penrose 用户界面提供了插件接口，方便调用 Substance 和 Style 中的外部代码，从而提供系统级的可扩展性。该插件系统可以帮助用户集成可用于解决逻辑或图难题的外部代码。

目前，该项目已发布在 GitHub。不过 Penrose 团队表示，目前版本处于早期阶段，仍在持续开发中。

感兴趣的同学可以访问 Penrose 网站，跟进更多信息。

网站地址：http://www.penrose.ink/

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