汉明距离

在信息论中，两个等长字符串之间的汉明距离（英语：Hamming distance）是两个字符串对应位置的不同字符的个数。换句话说，它是将一个字符串变换成另外一个字符串所需要替换的字符个数。

对于两个数字来说，汉明距离就是转成二进制后，对应的位置值不相同的个数。例如，假设有两个十进制数a=93和b=73，如果将这两个数用二进制表示的话，有a=1011101、b=1001001，可以看出，二者的从右往左数的第3位、第5位不同（从1开始数），因此，a和b的汉明距离是2。

汉明距离是以理查德·卫斯里·汉明的名字命名的。在通信传输过程中，累计定长二进制字中发生翻转的错误数据位，所以它也被称为信号距离。汉明距离在包括信息论、编码理论、密码学等领域都有应用。

汉明重量

汉明重量是字符串相对于同样长度的零字符串的汉明距离，也就是说，它是字符串中非零的元素个数：对于二进制字符串来说，就是 1 的个数，所以 11101 的汉明重量是 4。

检错&纠错

要检测 e 个随机错误，则要求$d_{\min }⩾$e+1。
要纠正 t 个随机错误，则要求$d_{\min }⩾2\ast$t+1。

应用场景

• 数据传输和存储：在数据传输和存储过程中，可能会出现错误或噪声。汉明距离可以用于衡量数据传输或存储过程中的错误数量，从而评估数据的可靠性和完整性。
• 编码理论：在编码理论中，汉明距离被用于衡量不同编码之间的差异。例如，在错误检测和纠正码中，汉明距离可以用于衡量两个编码之间的差异，从而确定错误的位置和数量。
• 密码学：在密码学中，汉明距离被用于衡量密码算法的安全性。例如，在对称密钥加密算法中，汉明距离可以用于衡量密钥空间的大小，从而评估密码算法的安全性。
• 模式识别：在模式识别中，汉明距离被用于衡量两个模式之间的相似程度。例如，在图像处理中，汉明距离可以用于衡量两个图像之间的差异，从而进行图像的匹配和识别。
• 机器学习：在机器学习中，汉明距离被用于衡量两个分类器之间的差异。例如，在分类算法中，汉明距离可以用于衡量两个分类器的预测结果之间的差异，从而评估分类器的性能和准确性。

例题

下列码字代表八个字符：
0000000 1000111 0101011 0011101 1101100 1011010 0110110 1110001
找出其最小的汉明距离$d_{\min }$,并说明该组码字的检错和纠错能力。
解：
$d_{\min }=4$
要检测 e 个随机错误，则要求$d_{\min }⩾$e+1。则 e$⩽d_{\min }-1=3$。说明该组码字能检测至多
3 个随机错误。
要纠正 t 个随机错误，则要求$d_{\min }⩾2\ast$t+1。则 t$⩽[(d_{\min }-1)/2]=1$。说明该组码字能纠
正至多 1 个随机错误。