尽可能连续的基于挤压的表面模型制造

🦌🦌🦌宝子们好，今天我们来看一个关于外壳打印的路径优化问题。同样的，红色的是术语、橙色的是方法、绿色的是算法过程，这次多加了紫色，是文章的创新点或目标等。废话不多说，上论文 ~ ( •̀ ω •́ )✧

🦌🦌🦌读论文

我们的框架显著提高了制造效率和打印的表面质量，具有尽可能连续的打印工具路径。我们还提出了一种几何准则OPP，将输入表面分解为具有平坦和弯曲无碰撞路径的最小数量的连续打印块。与由Ultimaker Cura软件生成的只有平面切片层的832个断开的打印工具路径（左）相比（不同的颜色表示不同的连接路径，红线表示转移移动），我们的框架产生了四个连续的沉积路径以及平面和弯曲的切片层，以确保更高的打印质量（右）和高效的制造过程（34.3分钟对17.7分钟）。

🐨🐨摘要

本文提出了一个计算框架，用于优化3D打印机上表面模型的连续性。提出了一种名为One-Path Patch（OPP）的几何准则，用于将输入表面分解为最少数量的连续打印补丁，并生成尽可能连续的打印路径。与Ultimaker Cura软件生成的832个不连续打印路径相比，我们的框架能够产生四个连续的打印路径，显著提高了打印质量和打印效率。

🐨🐨1 引言

表面或壳体模型在结构设计中广泛使用，因为它们在表示结构形状时效率很高，并且具有较小的重量和适当的热导率等理想功能。在现代增材制造（AM）的背景下，与实体形式相比，壳体在材料消耗和制造时间方面更具成本效益。

左：Hergel等人[2019]生成的严格连续路径。我们通过将原始表面稍微加厚为具有有效体积的模型，将这种方法定制为表面模型。然而，冗余的非模型结构仍然需要用来连接模型的独立组件（见顶视图）。右图：由于使用了弯曲层，我们的工具路径是完全连续的，不需要额外的路径。

我们的目标是为曲面模型开发一种尽可能连续（ACAP）的刀具路径，使转移移动的数量最小化。关键思想是我们提出的一个单路径贴片（OPP）准则来表示一个表面贴片，该表面贴片可以在平坦层和弯曲层的组合上连续的刀具路径上打印。提出了一种自下而上的OPP合并算法，将给定的壳体模型分解为最小数量的OPP，从而生成ACAP刀具路径。本文对文献做出了以下贡献：

我们引入了OPP，这是一种原始的制造感知标准约束，用于表示在基于平面层和弯曲层的打印方案中可以沿着一条路径打印的外壳表面斑块。
我们提出了一种将给定壳体表面分解为最小数量的OPP并生成ACAP无碰撞刀具路径的算法。
我们将我们的技术作为在三轴挤压打印平台上以ACAP方式打印外壳模型的通用计算框架。

🐨🐨2 相关工作

🐼切片和路径规划

在AM中，切片器用于将模型转换为工具路径。目前可用的切片算法使用几何操作将模型划分为一堆平面层。

🐼弯曲层打印

与传统的平面层相比，弯曲层在单个层内包含动态的z值，并且在AM中具有优异的特性。它们包括减轻楼梯缺陷、提高表面光滑度、加强打印模型和减少打印时间。提出的第一种打印弯曲层的方法被称为弯曲层熔融沉积建模（CLFDM） [Chakraborty et al. 2008]。行业标准的切片软件Ultimaker Cura [Ultimaker 2021]也涉及在表面模型中打印弯曲层，而不是实体模型，以产生螺旋状的网格外轮廓，这在花瓶或圆柱体等简单形状上效果很好。Ezair等人[2018]提出了一种算法，该算法根据给定体积的几何特征生成覆盖曲线。Etienne等人[2019]使用了一种不同的方法，优化参数化以获得表面光滑的顶部。由此产生的工具路径被映射回初始域，而不需要拆分或重新排序。我们将这种方法应用于合并弯曲opp的方法中。研究人员最近将基于弯曲层的打印应用于多轴打印机。Dai等人[2018]，Li等人[2021]，Xu等人[2019]通过使用额外的dof以无支撑的方式制造实体模型，设计了弯曲的刀具路径。Chen等人[2019a]提出了一种允许变厚度层的CLFDM切片算法。Fang等人[2020]引入了一种基于场的优化框架来生成弯曲层以增强3d打印模型。在本文中，我们主要关注三轴打印机平台。

🐼薄壳制造

制造薄壳正在引起越来越多的关注，因为它比封闭模型缩短了制造时间。轻质壳体模型因此被广泛应用。在制造粘性浆料材料时，如粘土和混凝土，这种优势进一步增强，挤压量大，沉积率高。由于转移移动引起的伪影，材料沉积的连续性对壳模型至关重要。大多数研究都使用多轴平台并结合弯曲层来打印外壳。Mitropoulou等人[2020]提出了一种用于单壳表面机器人FDM打印的非平面分层路径设计方法。Bhatt等[2020]提出了在三自由度构建平台和三自由度挤压工具上构建壳体薄件的分层切片和刀路规划算法。混凝土外壳的打印引起了数字制造和建筑跨学科领域的研究兴趣。Burger等人[2020]使用单壳作为混凝土浇筑的模具，Anton等人[2019]提出了一种设计工具，用于生产使用弯曲层进行连续挤压的定制混凝土柱。Bhooshan等人[2020]也强调了用于工具路径生成的交互式壳体建模和集成建模。

🐼制造分解

许多研究集中在制造模型分解上。模型分解的目标包括满足约束的制造模型、提高表面质量、减少支撑结构的数量或完全避免它们，以及减少打印时间。

🐼陶瓷打印

陶瓷材料近年来在AM中引起了兴趣。它们可以减少传统陶瓷行业中生产几何复杂形状所需的流程和资源数量，从而为建筑装饰和艺术提供新的想法和应用。

🐨🐨3 概述

给定一个满足支撑结构约束的薄壳模型M，我们的算法旨在实现最大路径连续性，即通过将M分解为最少数量的表面补丁来实现连续打印。为了叙述方便，我们将可打印的表面贴片定义为可以通过使用单个路径打印的贴片。

对于PC-MPC问题，这里的关键思想是应用一个过度分割，然后是一个自下而上的合并过程。我们首先通过使用均匀分布的平面刨床对M进行切片（第4.1节）。每个切片的元素可以被认为是单个可打印的表面贴片。通过使用一组短连接路径，可以将来自相互相邻的切片元件的多条打印路径连接成一条路径。这意味着我们可以通过合并小的初始补丁来减少可打印补丁的数量（第4.2节）。我们还观察到，弯曲的切片层可以在为平面层的多个单独的可打印表面斑块生成连续打印路径方面非常有效。通过将尽可能多的平面层替换为弯曲的切片层，可以进一步减少可打印斑块的数量（第4.3节）。

合并准则是自下而上合并和替换弯曲层过程的主要挑战。我们需要制定“亚表面补丁”，这些补丁可以合并成单个可打印的补丁，也可以被弯曲层替换。我们引入OPP作为合并准则（第3.2节）。在最后一步，我们规划每个OPP的路径，然后对其进行后优化处理，以提高其平滑度和间距（第4.4节）。请注意，我们通过考虑喷嘴的大小来避免打印机和打印层之间潜在的全局碰撞（第5节），我们算法的流水线如下图所示：

ACAP算法概述：给定表面模型和可行方向，我们沿Z轴水平切片，并用图(a)表示依赖关系，其中每个节点表示分段或轮廓，每个边表示节点之间的依赖关系。对输入模型进行初始分解，每个分解的贴片都可以连续打印。它们的依赖关系如(b)所示。在此之后，我们将小补丁合并为更大的、单个的、可打印的补丁，这可能会产生多个最优合并解决方案(c)。我们通过应用弯曲层(d)进一步减少每个解决方案的补丁数量。对于具有最少补丁数量的最优合并解决方案，我们为每个补丁生成工具路径并分配它们之间的打印顺序(e)。

🐼制造的约束

在这项工作中，我们考虑了制造的三个限制条件。第一个限制了层厚度的可行范围。第二个是为了避免挤压装置（喷嘴、挤压机和托架）和打印部件之间的碰撞，同时沿着弯曲层上的路径操作工具。第三个约束描述了基于解耦的完整模型和支撑结构制造策略的几何要求。

🦝厚度约束：非常薄的层容易挤在一起，因为它们受到材料流动性的影响。这样的过度堆积会导致材料表面出现伪影。相反，非常厚的层会导致堆积不足，从而使相邻层不能很好地粘合。

🦝斜率角的约束：在Etienne等人[2019]的工作中，对碰撞的约束建模为一个倒锥，以禁止已经打印的部件进入其中。从禁止锥中提取打印路径斜率角度的局部约束为θmax= min（θ喷嘴，θ物体）。与其通过忽略后者的平面出口而将打印机视为尖锥形喷嘴，我们建议通过将喷嘴表示为圆柱体和截锥体的组合来使下图的公式更加精确。我们做了一个有趣的观察，当喷嘴上坡和下坡运动时，可能发生的碰撞是不同的，当它上坡运动时（左），它可能会与打印的部分发生碰撞，因为出口右侧的点（绿点）最接近下面打印的层。这种碰撞可以通过将路径的倾斜角度限制在θ出口来避免。当喷嘴下坡（右）时，需要将其抬高t，以避免右侧点的层间碰撞出口（绿点）和当前层的侧面。对于下坡运动的情况，不需要定义任何倾斜角度，因为喷嘴是凸起的。最后，我们将路径的坡角上界设为θmax= min（θ喷嘴，θ物体，θ出口）。注意，这是一个局部约束。由于打印模型的高度超过喷嘴的长度而造成的全局碰撞没有考虑在内。解决这个问题的方法在第5节中提供。

曲线路径的坡度角约束：喷嘴是圆柱体和截锥形（紫色）的组合。我们保守地将其简化为截锥来计算角度。θnozzle 表示喷嘴尖端与水平面之间的夹角。θobject= tan^−1 * h/e，其中h为车厢与喷嘴尖端之间的垂直距离，e为已打印物体的最大XY范围。θoutlet= tan^−1 * w/t，其中w为喷嘴半径，t为参考层的厚度，左右箭头分别表示喷嘴上坡和下坡。

🦝支撑结构约束：我们对表面模型的支撑结构施加限制，因为它们会降低表面的质量[Hergel et al. 2019]。对于非自支撑的表面模型，我们将完整模型的制造与支撑结构的制造解耦，也就是说，我们预打印支撑结构并在制造过程中安装它们。这就要求支撑结构位于地面上，并形成与打印方向相关的高度场体积。这是因为放置在模型上的支撑结构可能会导致打印外壳承受太大的重量。我们将这样的模型分解成多个小块，并在制作完成后进行组装（本文后面会给出一个例子）。

🐼One-Path Patch

我们的目标是通过将外壳的输入模型分解为最小数量的可打印opp来最大化连续性。我们首先将线段定义为具有两个端点的层的组件，将轮廓定义为没有端点的封闭组件。对于打印方向，歧形表面贴片是一个可打印的OPP，条件是(1)存在一组切片层，其中与打印方向正交的每一层与贴片相交形成单个片段，或者（轮廓）(2)得到的相交片段/轮廓满足制造约束。我们特意选择了低分辨率层的高度，以使打印路径更加可见。根据切片层可以定义三种类型的OPP:(I)只有平面层，（II）只有弯曲层，（III）I和II的组合。它们分别称为I-OPP、II-OPP和III-OPP，如图5所示。opp的弯曲层考虑了厚度和坡角的约束。

对于类型 I ， OPP准则等价于它的单调性，如下图中的（1,4）所示。对于第二类，OPP的固有几何性质很难确定，单调性成为一个充分但不必要的条件。在下图中，（3,5,7）是一个OPP，但不是单调的。这表明具有弯曲层的单个OPP可以覆盖应用多个i -OPP的区域。

可以沿着由平面层（1,4），弯曲层（2,3,5,7）以及平面和弯曲层（6,8,9）组合生成的单个工具路径打印的opp插图。一个OPP可以通过使用不同的策略（1,2）来切片。

我们可以直接提取弯曲层并评估制作的两个标准来确定P是否为II-OPP。CurviSlicer似乎是一个完美的匹配，因为它试图使尽可能多的区域变平，以尽量减少阶梯[Etienne等人，2019]。然而，阶梯最小化并不总是等同于连续性最大化，并且对作为CurviSlicer输入的目标平坦区域很敏感，如下图所示。两个I-/II-OPP可以合并为一个II-OPP（详情见第3.3节）。介绍了一种自底向上的壳模型OPP合并方法最小化opp的数量。在此过程中，生成iii - opp（如第一张图中的（6,8,9）所示）（第4.3节）。

说明阶梯最小化不等同于连续性最大化。左边部分显示了CurviSlicer的结果与目标平坦区域(最初尝试在特定斜率下平坦所有区域；红色部分)。它只能将部分目标平面区域拉平，以避免违反对层厚的约束。所得层不能产生OPP层。右侧显示了我们方法的OPP层和特定的目标平面区域。请注意，与CurviSlicer相反，由于对支撑结构的约束，向下的区域可以作为目标平面区域（第3.1节）。

作为路径生成的基本元素，OPP具有三个关键属性，最大限度地提高基于挤出的打印的连续性：

(1) OPP准则是根据特定的印刷方向来定义的。如图所示，沿着给定打印方向（左）的OPP可能不是沿着另一个方向（右）的OPP。
(2)即使在相同的打印方向下，OPP的有效切片策略也可能不是唯一的。在图5中，(1)和(2)显示了两种可以应用平面和弯曲切片层的切片层。与平面层相比，弯曲层总是产生更少的阶梯，且优先级更高。
(3)两个OPP可以合并为一个OPP，两个OPP （a和B）可以通过叠加和弯曲两种操作合并，如图7所示。叠加表明：(1)OPP A的底层Ab位于其相邻OPP B的顶层Bt之上，(2)Ab和Bt可以通过其两个端点连接。弯曲表示3.3节的合并操作。在第4.3节中使用了两种操作来最小化OPP的数量。

🐼弯曲操作

该操作的输入由两个I/ ii - opp （A和B）组成，它们可以通过堆叠最初合并。曲线运算输出合并后的OPP (C)及其切片层。假设OPP A位于B上方，如图7所示。注意，曲线不能应用于只有闭合轮廓的两个OPP。

这里的基本思想是生成一个修改版本的CurviS- licer来为合并的OPP C提取弯曲层。有两个关键问题：(1)我们如何确定C的顶部/底部目标平面面积？以及(2)我们如何保证满足制作上的约束？我们通过结合A和b的上/下目标平面区域来回答第一个问题，我们检测对C的上/下目标平面区域的斜率角度的约束，然后提取出中的弯曲层利用改进的CurviSlicer在它们之间进行连接，从而满足制作约束。

使用堆叠操作（a, b）和弯曲操作（c, d）合并两个opp的示意图。(a)和(b)不能通过弯曲层合并，因为它们分别违反斜率和厚度的约束。红色和蓝色的部分表示顶部和底部的目标平坦区域（At ，Ab ，Bt ，Bb ），绿色和紫色的线条表示两条倾斜的折线。

🐨🐨4 ACAP方法

本节详细介绍我们的算法。为了清晰地阐述，我们解释了每层只有片段的开放2D补丁的方法。在第6节中讨论了对3D的扩展。如第3节所述，我们的算法的基本思想是基于统一的基于图的OPP表示和一组合并图节点的操作的自下而上的OPP合并过程。OPP图对自底向上OPP合并过程中的曲面分解及其依赖关系进行编码。OPP的节点合并操作是通过平面和曲面切片层来实现的。

🐼4.1 构建依赖图

使用满足支撑结构约束的方向，我们使用垂直于打印方向的平面均匀切片模型，并构建一个有向无环图（DAG），称为依赖OPP图Gdepend。

🐼4.2 通过平面层合并OPP

这一节的目标是通过平面切片提供的最大连续性，即通过堆叠操作将Gdepend的平面切片元素合并为最少数量的I-OPPs。

合并过程的两个关键步骤：(1)提前合并Gdepend中必须出现在任何最小路径覆盖中相同路径上的节点，然后构建初始OPP图Ginit以减小Gdepend的大小；(2)通过解决具有依赖约束的路径覆盖问题进一步合并Ginit节点。我们提出了一种基于搜索的方法，采用修剪策略来探索可能的解决方案，而不是运行近似算法。

🦝初始OPP图。为了从Gdepend构建一个简化的图Ginit，我们遍历Gdepend的所有节点。如果两条或多条边指向同一节点或从同一节点开始，我们临时删除这些边（下图(b)中用虚线划线）。然后我们计算连接的组件。每个组件作为Ginit的一个节点，可以认为是通过叠加合并的一个更大的I-OPP。这样的合并过程保持了最优性，也就是说，Ginit节点的子节点必须属于最优解的单个路径Ginit的依赖项继承自Gdepend。如图8(c)所示，节点数量明显减少。

🦝初始OPP图的路径覆盖。Ginit的OPP节点可以通过叠加进一步合并，如下图(c)中的（1,2）、（1,3,6）、（3,5）所示。通过Ginit的路径覆盖解，可以生成Ginit的合并平面OPP图，其中每条路径决定合并的I-OPP。合并后的OPP的每个节点组成一个I-/ ii -OPP序列（用子OPP表示），序列的边表示打印的顺序。图9(a)显示了基于路径覆盖解{(1,2),(4),(3,6),(5)}的4个合并i - opp的合并Gf lat。注意，Ginit的依赖关系是保留的。这样的路径覆盖解决方案可以通过从Ginit的根节点开始的特定深度优先搜索（DFS）生成。与一般的DFS相比，它可能不会在回溯之前在未探索的节点中尽可能深入地搜索。在给定节点的依赖节点尚未被探索时，搜索必须停止。例如，（1,2,5）在(3)没有被探索的情况下是无效的。

(a) (Gdepend )的依赖图。每个节点代表一个切片元素，每条边代表节点之间的依赖关系。(b)我们暂时忽略指向（来自）内度（出度）不小于2（被虚线红线交叉）的节点的边，并计算连接的组件。(c) Ginit的初始OPP图。(b)的每个连接组件作为一个节点，并且边继承自Gdepend。

🦝探索路径覆盖解决方案的空间。为了将Ginit合并为最小数量的i -OPP，我们在探索Gsolution的同时寻找最短的序列。我们提出了两种技术，通过修剪解空间来加速这种探索。首先，我们从Gsolution的根节点出发，采用分支定界技术的光束搜索程序逐级搜索Gsolution，在我们的实现中，将光束搜索的宽度设置为W = 10^-4。对于每一层G，我们根据Ginit包含的节点数量solution 对其候选节点进行排序。这意味着我们倾向于选择尽可能多的Gsolution节点，包括Ginit的节点。请注意，如果Gsolution的节点序列包含Ginit的相同节点，则它们指向下一级中的相同节点。例如,{(1、2),(4)}和{(1、4),(2)}两个点(3、6)和(3、5)。其次，我们使用贪心策略与DFS一起生成路径覆盖解，在每次迭代的束搜索中生成候选节点。每次遍历都寻求尽可能深入。例如，遍历（1,3）不会在节点(3)处终止，因为节点(6)可以添加到（1,3,6）中，如图8(c)所示。我们已经证明了这一策略的最优性所提出的探索路径覆盖解的方法产生具有最少OPP节点数的最优Gf lat的多个实例，如下图(c)所示。

(a)基于路径覆盖解的Ginit are节点合并。(b)路径覆盖解(Gsolution )的空间，其中节点（绿点）编码路径覆盖解的路径（合并的i - opp）。有向边编码合并后的i - opp的打印顺序，每个路径覆盖解对应一个有向边和节点序列。不同的g序列solution可能会产生相同的路径覆盖解，但打印顺序不同（两个蓝框）。(c)三个序列（两个蓝框和一个橙框）产生与Gflat 的最小节点数相关的两个最优路径覆盖解。

🐼4.3 通过弯曲层合并OPP

迄今为止，我们已经通过平面切片获得了具有最大连续性的一组独特的Gf lat实例。我们是否可以进一步合并其OPP节点？回想一下，弯曲切片层可以非常有效地为平面层的多个独立的可打印表面斑块生成连续的打印路径。在这种见解的驱动下，我们尽可能多地应用弯曲操作（在3.3节中定义）来进一步减少OPP的数量。这可以分两个步骤来完成。首先，我们对每个OPP节点的子OPP（初始合并过程）进行弯曲操作，这扩大了目标平面面积，有利于后续的OPP合并过程。其次，我们应用曲线运算来合并多个OPP （OPP合并过程）。在下面，我们为初始和OPP合并过程提出了一个通用的成对合并过程。我们将Gf lat设为初始曲线OPP图Gcurved，并将Gcurved迭代归并为实现两个合并过程。ii - opp和iii - opp相应生成。

🦝通用成对归并程序。OPP图是DAG。我们提出了一个迭代的两两合并过程，一般DAG。对于每次迭代，我们随机选择一条边，并根据特定的合并标准尝试合并两个相关的节点。如果它们可以合并，我们通过(1)擦除两个节点的边，(2)将这对节点合并到一个节点，(3)将其他节点的相关边与合并的节点连接起来来更新图。最终条件是没有一对节点可以被合并。

🦝OPP图的归并准则。OPP图的有向边表示OPP之间的依赖关系。在合并一对节点时，一个必要的标准是节点之间没有多条路径，因为这会导致合并后依赖关系出现死锁，如下图（右）所示。第二个准则是曲线运算可以应用于两个OPP（子OPP）节点。下方第二张图中（A~ B）和（B ~D）展示了这两个合并过程。对于OPP合并过程的每次迭代，我们的目标是通过弯曲操作合并两个OPP节点，这是OPP合并过程的一个内环（见下方第二张图中的a ~c）。

打印依赖死锁示意图：橙色节点表示DAG中的一对选定节点。左：两个节点之间只存在一条路径，合并后不发生死锁。右：两个节点之间的两条或多条路径在合并后可能会产生死锁循环（即节点是相互依赖的）。因此，禁止合并。

将网格分解为3个i -OPP，每个i -OPP对应curved 3个节点(A)。首先在初始合并过程中使用曲线运算合并每个OPP中的子OPP。如（A， B）所示，其中（i, ii）表示OPP 1内子OPP的合并。然后，我们在OPP合并过程中迭代地将节点对合并到一个III-OPP节点（B ~ D）。另外，a ~ c显示了(B)和(c)内环的合并过程，只有(a)中红色边连接的三个节点被选中进行合并。由于(c)的三个子OPP接受叠加为一个OPP，所以节点1和2可以成功合并。

🦝OPP合并过程的内环。基于两个候选OPP节点的合并，可以形成内环的DAG。首先，我们取它们的子OPP序列，其中每个子OPP是一个节点，并保持表示它们的依赖关系的边。其次，我们在ginit的序列之间添加相关的依赖边。在对得到的DAG应用成对合并策略时（上图(a ~ c)），我们只选择有利于两个序列合并的边。具体来说，我们首先标记在两个子OPP序列上有边的节点（如图(a)所示的两条红色边），然后选择标记节点上的边。对于每一对节点，我们调用曲线运算来合并它们（第3.3节）。

🐼4.4 层之间的连接

我们使用自底向上合并OPP的过程获得最优的OPP分解。现在我们描述为每个OPP规划路径的方法，将它们的切片层转换为连续的工具路径，并生成OPP之间的转移移动。

🐨🐨5 全局碰撞相关考虑

第4节的算法没有考虑由打印部分超过喷嘴长度引起的全局碰撞。为了将我们的方法扩展到这种考虑，关键挑战是在我们提出的自底向上OPP合并算法中表示全局碰撞的约束。我们将这种约束表述为OPP图的一种新的有向边，称为碰撞依赖边。与原始的有向边类似，新的边表示与打印相关的依赖关系。不同的是，新边的OPP节点不能通过叠加操作合并。我们首先澄清了这些碰撞依赖边的生成，然后介绍了由于它们而对算法进行的修改。

🐨🐨6 扩展到3D

将我们的算法从2D扩展到3D并不需要在大多数步骤中额外努力，除了在构建Ginit时处理轮廓，并扩展工具路径的生成到3D情况。步骤包括初始OPP图、轮廓螺旋化、填充低坡度区域和刀具轨迹的优化。

使轮廓螺旋化(C1，…，Cn )，我们首先需要确定每个轮廓的连接点。如第4.4节所述，我们的目标是使轮廓之间的总距离最小相邻轮廓的连接点。我们设计了一种动态规划算法，为每个轮廓选择合适的连接点，并用m个采样点离散每个轮廓，其中Pij是Ci中的采样点。我们用dij表示相邻轮廓之间的最小长度。然后，用如下图所示的螺旋路径连接这些等高线：

连接段的之字形路径（左）和连接等高线的螺旋路径（右）。

低坡度区域上的层数不足不可避免地会导致切片时的欠填，如下图（左）所示。这种小区域上的下填可以通过路径后优化过程去除（下方第二张图底部（左））。我们建议使用连通的费马螺旋来填充大面积的未填充区域[Zhao等人，2016]。在我们的实现中，我们设置了一个20°的阈值来检测费马螺旋的区域。我们遍历每对相邻的等高线，使用最小欧几里得距离生成等高线采样点之间的匹配边，并测量它们的角度相对于水平面。如果所有角度都小于阈值，我们将等高线之间的表面斑块添加到费马螺旋区域。下图（右）显示了在原始3D表面上填充的路径。