【高等数学】3-2多元函数积分学

1. 二重积分

可以想象你有一块不规则的平面薄板，它在一个平面区域 $D$ 上。二重积分 $\iint_{D}f(x,y)d\sigma$ 就是用来求这个薄板的质量（假设薄板的面密度函数是 $f(x,y)$ ）。

把区域 $D$ 划分成许多非常小的小方块 $d\sigma$ （类似于把一块地划分成很多小格子），在每个小方块上，密度近似看成是一个常数 $f(x,y)$ ，然后把每个小方块的质量 $f(x,y)d\sigma$ 加起来，就是整个薄板的质量。

1.1. 直角坐标系计算二重积分

步骤

1. 画出积分区域D的图形

2. 根据图形选择坐标系

3. 根据切片法选择积分顺序

4. 确定两个积分元素的上下限

5. 列式计算

例题

求 $\iint\limits_{D} (3x+ 2y)d\sigma$ ，其中 $D$ 是由两坐标轴及直线 $x+y=2$ 所围成的闭区域。

1. 画出积分区域D的图形

2. 根据图形选择坐标系

直角坐标系	大多数情况
极坐标系	D的图形跟圆相关 (如圆、扇形、圆环、椭圆)

3. 根据切片法选择积分顺序

二重积分可以转化为两次定积分来计算，但是 $x$ 和 $y$ 先积谁是有顺序的。

在直角坐标系下有两种情况：

$x$ 型：垂直于 $x$ 轴切片,先积 $y$ 再积 $x$

积谁，就是把谁当变量，想象有一个垂直于 $x$ 轴的薄片在 $x$ 轴方向上运动。

$x$ 型就是先对薄片积分（有一条线在薄片上沿 $y$ 轴运动，把这些线加起来，形成薄片；再把薄片加起来，也就是对 $x$ 积分。

当薄片对应的两条分界线（ $x+y=2;y=0$ ）都不是分段函数时，可以用 $x$ 型

$y$ 型：垂直于 $y$ 轴切片,先积 $x$ 再积 $y$

当薄片对应的两条分界线（ $x+y=2;x=0$ ）都不是分段函数时，可以用 $y$ 型

4. 确定两个积分元素的上下限

假如用 $x$ 型： $x:0\rightarrow 2$ ， $y:0\rightarrow 2-x$

5. 列式计算

$\int_0^2\left[\int_0^{2-x}(3x+2y)\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x$ $\int_0^2dx\int_0^{2-x}(3x+2y)dy$

先积右边的积分，再积左边的积分

$\begin{aligned} &\int_0^2\mathrm{d}x\int_0^{2-x}(3x+2y)\mathrm{d}y \\ &=\int_0^2\left[3xy+y^2\right]_0^{2-x}\mathrm{d}x \\ &=\int_0^2\left[3x(2-x)+(2-x)^2\right]-\left[3x\cdot0+0^2\right]\mathrm{d}x \\ &=\int_0^2\left(-2x^2+2x+4\right)\mathrm{d}x \\ &=\frac{20}{3}\\ \end{aligned}$

1.2. 极坐标系计算二重积分

步骤

1. 画出积分区域的图形

2. 根据图形选择坐标系

3. 根据切片法选择积分顺序

4. 确定两个积分元素的上下限

5. 列式计算

例题1

计算二重积分 $I=\iint\limits_{D}\left(x^2+y^2\right)\mathrm{d}\sigma$ 的值,其中 $D$ 是由 $x^2+y^2=4, x=0,$ 及 $y=x,$ 所围成的第一象限内的封闭区域。

1. 画出积分区域的图形

2. 根据图形选择坐标系

$I=\iint\limits_{D}\left(\rho^2cos^2\theta+\rho^2sin^2\theta\right)\mathrm{d}\theta\rho\mathrm{d}\rho=\iint\limits_D\rho^2\mathrm{d}\theta\rho\mathrm{d}\rho$

3. 根据切片法选择积分顺序

4. 确定两个积分元素的上下限

$\rho :0\rightarrow 2;\theta :\frac{\pi }{4}\rightarrow \frac{\pi }{2}$

5. 列式计算

$\begin{aligned} I& =\iint\limits_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)\mathrm{d}\sigma=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{2}\rho^{2}\cdot\rho\mathrm{d}\rho \\ &=\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}\left[\frac14\rho^4\right]_0^2\mathrm{d}\theta \\ &=\int_\frac\pi4^\frac\pi24\mathrm{d}\theta \\ &=\left[4\theta\right]_{\frac\pi4}^{\frac\pi2} \\ &=\pi \end{aligned}$

例题2

求二重积分 $\iint\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ，其中 $D$ 为圆形闭区域， $x^2+y^2-4x=0$ 围成的区域。

1. 画出积分区域的图形

2. 根据图形选择坐标系

3. 根据切片法选择积分顺序

4. 确定两个积分元素的上下限

$\begin{aligned} &x^{2}+y^{2}-4x=0\\&\rho^{2}cos^{2}\theta+\rho^{2}sin^{2}\theta-4\rho cos\theta=0\\ &\rho^{2}-4\rho cos\theta=0\\ &\rho=4cos\theta\\ &\rho:0 \to 4cos\theta\\ &\theta :-\frac{\pi }{2}\rightarrow \frac{\pi }{2}\\ \end{aligned}$

5. 列式计算

$\begin{aligned}&\iint_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_{D}\rho\mathrm{d}\theta\rho\mathrm{d}\rho=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{4cos\theta}\rho^{2}\mathrm{d}\rho\\&=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{1}{3}\rho^{3}\right]_{0}^{4cos\theta}\mathrm{d}\theta=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{64}{3}cos^{3}\theta\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{64}3\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}cos^2\theta\mathrm{d}\left(sin\theta\right)=\frac{64}{3}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(1-\sin^{2}\theta\right)\mathrm{d}\left(\sin\theta\right) \\ &=\frac{64}3\left[sin\theta-\frac13sin^3\theta\right]_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2} =\frac{64}3\left[\left(\frac23\right)-\left(-\frac23\right)\right] =\frac{256}{9} \end{aligned}$

1.3. 交换积分次序

1.3.1. 直接考察

1.3.2. 交换后更好算

1.4. 积分区域对称

2. 三重积分

如果说二重积分是求平面薄板的质量，那么三重积分 $\iiint_\Omega f(x,y,z)dV$ 就是求一个空间物体的质量（假设物体的体密度函数是 $f(x,y,z)$ ）。

把空间区域 $\Omega$ 划分成许多非常小的小立方体 $dV$ （就像把一个大的立体空间划分成很多小积木块），在每个小立方体上，密度近似看成是一个常数 $f(x,y,z)$ ，然后把每个小立方体的质量 $f(x,y,z)dV$ 加起来，就是整个物体的质量。

3. 第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)(无方向)

把一根弯曲的铁丝看成曲线 $L$ ，它的线密度函数是 $f(x,y)$ (如果是三维曲线就是 $f(x,y,z)$ )。第一类曲线积分 $\int\limits_Lf(x,y)ds$ 就是求这根铁丝的质量。

我们把曲线 $L$ 划分成很多小段 $ds$ (就像把铁丝分成很多小短节)，在每一小段上，密度近似看成是一个常数 $f(x,y)$ ，然后把每一小段的质量 $f(x,y)ds$ 加起来，就是整个铁丝的质量。