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Physics-informed neural networks for hydraulic transient analysis in pipeline systems
(基于物理信息的管道系统水力瞬态分析神经网络)
一、文献摘要
该文献提出了一种新的基于物理和数据驱动的定向瞬态压力重建方法，无需建立完整的管道系统模型。新方法通过在训练过程中结合测量数据和瞬态流动的物理规律，构建了一个物理信息神经网络(PINN)。这使得PINN能够学习和探索嵌入在测量数据中的水力瞬态的隐藏信息(例如，边界条件和波浪阻尼特性)。经过训练的PINN可以用来预测管道任何位置的瞬态压力。两个数值算例和一个实验算例的结果表明，该方法具有较高的压力重建精度。此外，还进行了一系列灵敏度分析，以确定PINN中的最佳超参数，并了解传感器配置对模型性能的影响。
二、研究背景
2.1潜在的危害
由液压瞬态事件(例如阀门关闭)引起的压力可以迅速变化并达到极高的水平)。这些极端压力会对管道系统的可靠性产生重大影响，并可能导致设备故障、管道爆裂、失水和污染物侵入。
2.2目前存在的解决方案及存在的不足
- 采用智能传感器网络，在整个供水管道系统中部署高频记录器，捕获和监测瞬态压力。但记录器分布不均且少，对整个系统压力变化的监测有限。
- 大量收集的数据使智能水网运营和管理。所需资源过大，付出与收获相比价值不高
- 利用数值方法，数值模型来模拟和预测水力瞬态事件的压力变化，包括波动特征法、特征法(MOC) 、有限差分法(FDM) 和有限体积法(FVM) 。都是基于物理的方法通过求解控制瞬态流动的一组偏微分方程(PDEs)来构建瞬态压力。但这些方法的准确性和可靠性是建立在充分了解边界条件和瞬态激励的基础上的，这在实际系统中很难得到。在实践中，在边界节点的液压装置很难准确地表述(例如：阀门的方式)。其次，压力波传播的物理特性涉及各种不确定因素，包括但不限于管网参数(如管径、波速)、非定常摩擦的动态影响和管壁粘弹性也会影响数值模拟结果。
2.3此次使用的PINN优势所在
由于其从不完整模型和稀疏数据预测复杂动力学的高精度，PINN可以利用观测数据集中隐藏的物理信息来支持求解非线性偏微分方程。
本文提出了一种基于pnp的暂态分析方法，用于暂态压力预测。据作者所知，这是第一次在没有完整模型的情况下通过将PINN纳入分析来增强水力瞬态分析的尝试。
与传统的基于物理的数值方法相比，基于pinto的方法将嵌入在测量数据中的隐藏信息(如波阻尼和边界条件等物理特征)纳入到瞬态分析中，因此不需要完全完整的基于物理的模型。与纯数据驱动的方法相比，基于pinto的方法将瞬态流的物理规律融入到训练过程中，因此即使在稀疏测量数据下也能提供物理上一致的解决方案。
三、实验研究布置
3.1控制方程介绍
利用质量和动量守恒方程可以组合出描述管道内压力瞬态流动的动力学方程，其表达式如下：
式中：h (x, t)为压头，q(x, t)为流量;X是沿管道的距离，t是时间;a为波速，g为重力加速度，D为管道直径，a = πD2/4为管道截面积，f为达西-韦斯巴赫摩擦系数。
若不知道初始和边界条件，方程不能进行求解。
3.2 数据采集方式
如上图所示，假设已知管道参数λ = {a, f, D, L}， L为管道长度。系统的特征是由水头和流量组成的状态向量Φ，并且依赖于时间和空间。状态向量Φ可以表示为:
其中数据收集由上图所示的传感器来进行观测，定义Md为所有时空观测数据点的集合，Mi d为第i个观测数据点，由传感器记录的物理量φi d及其时空特征xi d和ti d组成。φi d项可以是观测压头h，也可以是观测流量q，由传感器类型决定。每个观测值在时间序列中包含N个数据点。因此，所有观测数据点的集合可以表示为:
状态变量Φ不能通过使用这组瞬态控制方程的传统数值瞬态求解器获得。这些方法需要准确地知道所有参数和数据，这会影响这些确定性方法结果的准确性，
3.3PINN的构建方式
- 首先采用前馈神经网络（FNN）来简单求解压力控制方程，在前向传播中，FNN以时空变量{x, t}作为输入，混合变量解Φ´(x, t;θ) = [h(x, t;θ)， q(x, t;θ)]作为输出。
- 下一个关键步骤是约束输出Φ (x, t， θ)，以满足数据观测以及由方程定义的物理定律。为了量化神经网络对物理规律的遵从性，将残差定义为:
在预测点中选择一组搭配点，每个点有N个时间步长，计算它们的残差。搭配数据集可以定义为：
Nf表示所有并置点和所有时间步长的数据点数，Nf = kf × n。
这些点的PINN解必须适用于偏微分方程，其残差的评估不需要同Φ（观测数据）比较，因此，这些点可以放置在管道沿线的任何位置。由于不可能使搭配点覆盖整个连续的时空域，故选择有限数量的搭配点来代表全局偏微分方程。
- 定义PINN的损失函数：
与其他PINN应用不同的是，本文中用于瞬态流动分析的PINN由于实际原因假设边界和初始条件是未知的。综上所述，仅考虑偏微分方程对应项和现场观测值，即可构造PINN中的损失函数L(θ)，其表达式为:
其中，wf如下式所示：
数据损失项Ldata的目的是将观测到的物理量φd拟合为神经网络输出中相应的φ n;而损耗项LPDE则强化了由方程施加的水力瞬态流动结构。
首先，在PINN中进行前向传播，计算出输出(x,t，θ)，即扬程(h)和流量(q)，并计算损失，通过AD方法来对各微分项进行求解这些偏微分项随后与(hf)和(qf)一起用于计算指定的偏微分方程损失项LPDE。
其次，利用反向传播规则计算总损失相对于神经网络参数θ的梯度。参数集θ通过这个过程在整个训练数据集上迭代更新，直到总损失收敛。采用具有规定停止准则的自适应矩估计(Adam)算法和L-BFGS-B优化器来评估总损失函数的收敛性。
Adam算法中的随机梯度下降法使损失函数产生振荡，使神经网络泛化效果更好。然后，拟牛顿L-BFGS-B方法使其收敛到由Adam算法识别的最小值的速度更快。
所提出的用于水力瞬态流动的pinn网络结构如下图所示：
对于输入层，输入矩阵为:
测试数据集Me定义为:
用下式定义的相对误差L2作为度量：
四、验证案例
4.1已知管道特征条件的预测
4.1.1观测系统设置
一般情况下，沿管道瞬态压力h和流量q的数值解需要边界条件，包括瞬态激励信息和初始条件。对于该系统，上游边界通常是一个定水位水库，其表示为:
（Hup是上游水位。）
在下游边界，气流通过阀门暴露在大气中。下游阀门流量与压力的关系可以写成:
（Hv和qv分别为阀处压头和流量;τ为相对阀开度，τ = 1为初始阀开度;Cd为流量系数，Av为阀门开度面积;下标0表示初始条件）
假设管道内径D = 1.81 m;管道长度L = 500 m;波速a = 1000m /s;Darcy-Weisbach因子f = 0.012;上游水库水位hup = 100 m;初始流量q0为0.314 m3 / s。假定三个压力传感器{P1, P2, P3}在距离上游水库100m、300m、400m。
其中以下的PINN结构在测试数据上获得了最低的相对L2误差:FNN有10层，包括1个输入层，1个输出层，8个隐藏层，每个隐藏层有20个神经元。对于隐藏层使用双曲正切激活函数并且在本工作的所有模拟测试中都使用了双曲正切激活函数。
4.1.2结果展示
各测点预测压力变化与模拟结果对比如下图所示。实线表示MOC的模拟结果，虚线表示PINN的预测结果，点线表示ANN的预测结果。
训练过程中总损失的比较(ANN的损失较小，PINN的损失较大)相反，定义的相对L2误差对于使用PINN的压力预测为0.4%，而使用ANN的压力预测为4.78%。这意味着当使用PINN时，实际的预测结果更好。
虽然损失函数中没有包含初始边界(初始流量q0)，但发现在不同的初始值下，PINN能够准确地预测流量的变化。为了使预测的流量变化与模拟的流量匹配，对预测的流量迹线进行调整：
通过上式调整后的预测流量迹线如图所示：
使用PINN预测流量的相对L2误差为6.1%，而使用ANN预测流量的相对L2误差非常大(>100%)。PINN对流量轨迹的一致性较好，证明了其准确预测流量的能力。总的来说，结果表明了PINN在瞬态分析中预测沿管道目标位置持续压力和流量变化的有效性。
4.2 未知管道特征的预测
4.2.1 引入管径和流速的实验
通过引入管道直径D或波速a的误差来研究这些管道特性的不确定性对PINN性能的影响，特别考虑了D = 1.72 m、D = 1.90 m、a = 900 m/s和a = 1100 m/s的四种不同情况。
在真实管道参数(D = 1.81 m, a = 1000 m/s)下，MOC模拟的P1、P2和P3压力迹线仍作为观测数据集Md和测试数据集Me，为了将参数误差引入到PINN模型中。
下图显示了基准情况下的模拟或“真实”压力轨迹，以及使用错误管道参数训练的四个PINN模型所获得的预测压力。在D = 1.72 m、D = 1.90 m、a = 900 m/s和a = 1100 m/s 4种情况下，相对L2误差可以忽略不计，分别为0.50%、0.47%、0.67%和0.70%。可以看出，即使考虑到管道特性的较大不确定性，训练后的PINN模型的性能仍然是一致和准确的。
4.2.2 考虑波浪阻尼效应的实验
为了生成包含波浪耗散和色散的训练数据，本例中采用了Kelvin-Voigt粘弹性模型进行水力瞬态仿真。粘弹性模型通过在连续性方程中加入延迟粘弹性项，将管壁粘弹性的动态效应纳入水力瞬态模拟，得到:
（其中εr为延迟应变。）
该函数可以近似地表示为:
下图为粘弹性模型和非粘弹性模型(标准MOC)在P1、P2和P3处的模拟压力轨迹。粘弹性模型模拟的压力迹线受到强烈的阻尼，使得压力波的幅度明显减小。粘弹性模型模拟的P1、P2和P3处的压力将作为PINN中的观测数据。
在下图中，人工神经网络得到的结果(wf = 0)如预期误差最大。然而，与wf = 0.1时的预测压力轨迹相比，wf = 0.01时的结果与模拟压力轨迹的一致性要好得多。wf = 0.01时相对L2误差为0.54%，wf = 0.1时相对L2误差为1.70%。这表明有必要设置较小的wf来对13 LPDE项执行较弱的惩罚，这是由不完整模型制定的，相反，对Ldata项执行较强的惩罚。这样，包含基本阻尼信息的观测数据可以对训练过程产生主导作用，从而驱动预测方法接近真实的阻尼压力轨迹。结果表明，即使没有精确的基于物理的数值模型，PINN也可以成功地将波阻尼纳入瞬态分析以进行压力预测：
五、文献结论
本文提出了一种基于数据驱动的基于PINN的一维水力瞬态分析方法，所提出的方法能够通过有限的测量预测未监测位置的瞬态压力(和流量)变化，并且不需要管道系统的完整物理模型。该方法可以将测量数据中缺失的物理信息整合到受物理定律(非定常连续性和动量方程)约束的瞬态分析中，通过数值和实验研究验证了该方法的适用性和准确性。
主要发现如下：
（1）数值算例表明，该方法能准确预测未知边界条件下的压力和流量变化。该方法比传统人工神经网络在预测中忽略关键控制方程的方法具有更好的性能。进一步对管道系统的敏感性分析表明，学习过程中观测点的位置和数量会对预测结果产生影响。
（2）将传感器放置在靠近边界的位置可以有效提高压力预测的精度。使用包含波动阻尼的观测数据的数值实例表明，即使模型不完整，在控制方程中缺少波动阻尼的物理表示(例如，在这种情况下管壁粘弹性行为的蠕变函数)，基于pinn的瞬态分析也是可靠的。除了油藏-管道-阀门系统外，本文提出的基于pinn的方法还在实际应用中更常见的嵌入网络的管道上进行了验证。最后，通过高精度的室内实验验证了该方法在实际wds中的应用潜力。
（3）显示了基于pinn方法在实际输水管道中的成功应用潜力，为供水安全和优化提供了一系列机会，在系统参数、边界条件和物理过程的各种不确定性下实现了良好的精度和较高的计算速度。由于这是瞬态流动和pinn的首次应用，因此所提出的方法仅在简单的管道系统和单一瞬态场景中进行了评估。这项研究的扩展将集中在PINN方法在更复杂的管网中的应用。此外，在未来的工作中，将考虑任意瞬态事件的PINN模型的发展。
