单位正交矢量的参数化,用于特征矢量对厄尔米特矩阵对角化使用

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首先α β 在0-pi/2内,这样就可以取值0-1,满足了单位化的要求

每个向量的模由α和β定义,αβ定义模的时候只限制在0–pi/2,由画图可知不可正交
在这里插入图片描述
为了验证矩阵 U 3 \boldsymbol{U}_3 U3 的第一列和第二列是否正交,我们需要计算这两个列向量的内积,并检查它是否等于零。

矩阵 U 3 \boldsymbol{U}_3 U3 的第一列和第二列分别是:

第一列:
[ cos ⁡ α 1 e j ϕ 1 sin ⁡ α 1 cos ⁡ β 1 e j ( δ 1 + ϕ 1 ) sin ⁡ α 1 sin ⁡ β 1 e j ( γ 1 + ϕ 1 ) ] \begin{bmatrix} \cos \alpha_1 \mathrm{e}^{\mathrm{j} \phi_1} \\ \sin \alpha_1 \cos \beta_1 \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\delta_1+\phi_1)} \\ \sin \alpha_1 \sin \beta_1 \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\gamma_1+\phi_1)} \end{bmatrix} cosα1ejϕ1sinα1cosβ1ej(δ1+ϕ1)sinα1sinβ1ej(γ1+ϕ1)

第二列:
[ cos ⁡ α 2 e j ϕ 2 sin ⁡ α 2 cos ⁡ β 2 e j ( δ 2 + ϕ 2 ) sin ⁡ α 2 sin ⁡ β 2 e j ( γ 2 + ϕ 2 ) ] \begin{bmatrix} \cos \alpha_2 \mathrm{e}^{\mathrm{j} \phi_2} \\ \sin \alpha_2 \cos \beta_2 \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\delta_2+\phi_2)} \\ \sin \alpha_2 \sin \beta_2 \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\gamma_2+\phi_2)} \end{bmatrix} cosα2ejϕ2sinα2cosβ2ej(δ2+ϕ2)sinα2sinβ2ej(γ2+ϕ2)

内积定义为两个向量对应元素乘积的和,对于复数向量,内积还需要考虑共轭。因此,第一列和第二列的内积为:

( cos ⁡ α 1 e j ϕ 1 ) ∗ ( cos ⁡ α 2 e j ϕ 2 ) + ( sin ⁡ α 1 cos ⁡ β 1 e j ( δ 1 + ϕ 1 ) ) ∗ ( sin ⁡ α 2 cos ⁡ β 2 e j ( δ 2 + ϕ 2 ) ) + ( sin ⁡ α 1 sin ⁡ β 1 e j ( γ 1 + ϕ 1 ) ) ∗ ( sin ⁡ α 2 sin ⁡ β 2 e j ( γ 2 + ϕ 2 ) ) \begin{aligned} &\left( \cos \alpha_1 \mathrm{e}^{\mathrm{j} \phi_1} \right)^\ast \left( \cos \alpha_2 \mathrm{e}^{\mathrm{j} \phi_2} \right) + \\ &\left( \sin \alpha_1 \cos \beta_1 \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\delta_1+\phi_1)} \right)^\ast \left( \sin \alpha_2 \cos \beta_2 \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\delta_2+\phi_2)} \right) + \\ &\left( \sin \alpha_1 \sin \beta_1 \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\gamma_1+\phi_1)} \right)^\ast \left( \sin \alpha_2 \sin \beta_2 \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\gamma_2+\phi_2)} \right) \end{aligned} (cosα1ejϕ1)(cosα2ejϕ2)+(sinα1cosβ1ej(δ1+ϕ1))(sinα2cosβ2ej(δ2+ϕ2))+(sinα1sinβ1ej(γ1+ϕ1))(sinα2sinβ2ej(γ2+ϕ2))

将共轭应用于每个复数项,我们得到:

cos ⁡ α 1 cos ⁡ α 2 e − j ϕ 1 e j ϕ 2 + sin ⁡ α 1 cos ⁡ β 1 sin ⁡ α 2 cos ⁡ β 2 e − j ( δ 1 + ϕ 1 ) e j ( δ 2 + ϕ 2 ) + sin ⁡ α 1 sin ⁡ β 1 sin ⁡ α 2 sin ⁡ β 2 e − j ( γ 1 + ϕ 1 ) e j ( γ 2 + ϕ 2 ) \begin{aligned} &\cos \alpha_1 \cos \alpha_2 \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \phi_1} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \phi_2} + \\ &\sin \alpha_1 \cos \beta_1 \sin \alpha_2 \cos \beta_2 \mathrm{e}^{-\mathrm{j}(\delta_1+\phi_1)} \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\delta_2+\phi_2)} + \\ &\sin \alpha_1 \sin \beta_1 \sin \alpha_2 \sin \beta_2 \mathrm{e}^{-\mathrm{j}(\gamma_1+\phi_1)} \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\gamma_2+\phi_2)} \end{aligned} cosα1cosα2ejϕ1ejϕ2+sinα1cosβ1sinα2cosβ2ej(δ1+ϕ1)ej(δ2+ϕ2)+sinα1sinβ1sinα2sinβ2ej(γ1+ϕ1)ej(γ2+ϕ2)

由于 e − j ϕ 1 e j ϕ 2 = e j ( ϕ 2 − ϕ 1 ) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \phi_1} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \phi_2} = \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\phi_2 - \phi_1)} ejϕ1ejϕ2=ej(ϕ2ϕ1),我们可以将上式简化为:

cos ⁡ α 1 cos ⁡ α 2 e j ( ϕ 2 − ϕ 1 ) + sin ⁡ α 1 sin ⁡ α 2 cos ⁡ β 1 cos ⁡ β 2 e j ( δ 2 − δ 1 + ϕ 2 − ϕ 1 ) + sin ⁡ α 1 sin ⁡ α 2 sin ⁡ β 1 sin ⁡ β 2 e j ( γ 2 − γ 1 + ϕ 2 − ϕ 1 ) \cos \alpha_1 \cos \alpha_2 \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\phi_2 - \phi_1)} + \sin \alpha_1 \sin \alpha_2 \cos \beta_1 \cos \beta_2 \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\delta_2 - \delta_1 + \phi_2 - \phi_1)} + \sin \alpha_1 \sin \alpha_2 \sin \beta_1 \sin \beta_2 \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\gamma_2 - \gamma_1 + \phi_2 - \phi_1)} cosα1cosα2ej(ϕ2ϕ1)+sinα1sinα2cosβ1cosβ2ej(δ2δ1+ϕ2ϕ1)+sinα1sinα2sinβ1sinβ2ej(γ2γ1+ϕ2ϕ1)

这样可见,想使这个两个向量正交,内积等于0,就是内积的模 = 0 。绝对相位Φ2-Φ1不影响正交,其他的相位有影响,参数之间不独立

举例:
T3矩阵在S矩阵是对角阵时的参数化
在这里插入图片描述
同理,满足反射对称性时,T矩阵如下,再是秩等于1,则T3矩阵参数化和上面一样 在这里插入图片描述

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