深度学习笔记12

1.神经网络的代价函数

神经网络可同时用于解决分类问题和回归问题，对于不同的问题会在输出层后，加上不同的变换函数。一般来说，回归问题使用恒等函数 $f(x)=x$ ,分类问题使用sigmoid或softmax函数。而不同的变换函数，也对应不同的代价函数。

神经网络解决回归问题

在使用神经网络解决回归问题时，会在输出层后，加上恒等函数，不会对输入值做任何修改。如果神经网络只预测一个回归值，那么使用的代价函数和线性回归中的代价函数一样，都是均方误差函数MSE。如果线性回归需要预测多个回归值，则需要将每个回归目标的均方误差计算出来，然后相加得到总误差。

总的代价函数：

$MSE=\frac{1}{mn}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}(y_{ij}-\hat{y}_{ij})^2$

m:样本个数

n:目标个数

$y_{ij}$ :真实值

$\hat{y}_{ij}$ :预测值

i:第i个样本

j:第j个目标

$\sum_{j=1}^{n}$ ：计算单独每个样本的n个目标的真实值和预测值的平方差

$\sum_{i=1}^{m}$ ：将m个样本对应的误差加到一起

神经网络解决分类问题

当使用神经网络解决分类问题时，最后一层的每个神经元都会对应一个类型，每个神经元的输出通过变换函数转换为类别对应的概率。如果每个类别之间是互斥的，就将神经元的输出值，输入到softmax函数中，将其转化为这几个互斥的类别对应的概率（ $p_1+p_2+...=1$ )。

另一种情况是多标签分类，每个类别之间互不打扰，相互独立，这时要将神经元的输出值，分别输入到sigmoid函数中，经过sigmoid函数的计算，可以得到这些不同类别的概率，它们是多个无关联的、0-1之间的实数。

代价函数

在解决分类问题时，一般使用交叉熵损失函数。对于互斥的分类问题，神经网络会使用与softmax回归形式完全相同的交叉熵损失函数。对于多标签分类问题，神经网络使用与逻辑回归形式相似的交叉熵损失函数。

互斥的多分类问题： $E=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}y_k^{(i)}log(p_k^{(i)})$

多标签分类问题： $E=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}(y_k^{(i)}log(p_k^{(i)})+(1-y_k^{(i)})log(1-p_k^{(i)}))$

2.小批量梯度下降算法

梯度下降算法有三种常见的形式：批量梯度下降、随机梯度下降和小批量梯度下降

批量梯度下降：

每次迭代中，批量梯度下降算法都会基于所有的训练样本，计算损失函数的梯度，因此可以得到一条平滑的收敛曲线。训练数据：100个样本，迭代轮数50，在每一轮迭代中都会一起使用这100个样本，计算整个训练集的梯度，更新模型参数，所以总更新次数：50次

随机梯度下降：

会在一轮完整的迭代过程中，遍历整个训练集，但是每次更新只基于一个样本计算梯度，这样会得到一条震荡的收敛曲线。训练数据：100个样本，迭代轮数50，每一轮迭代会遍历这100个样本，每次汇集孙某一个样本的梯度，更新模型参数，所以总更新次数：100*50=5000

小批量梯度下降：

结合批量梯度下降和随机梯度下降的优点，每次迭代会从训练集中，随机选择一个小批量，计算梯度，更新模型。训练数据：100个样本，迭代轮数50，小批量大小20，在每一轮迭代中会有5次小批量的迭代，所以总更新次数：（100/20）*50=250

梯度下降算法比较
	优点	缺点
批量梯度下降	每次迭代会使用整个训练集计算梯度，可以得到准确的梯度方向	如果数据集非常大时，就导致每次迭代的速度都非常慢，计算成本就会很高
随机梯度下降	每次只用一个样本训练，所以迭代速度会非常快，迭代具有震荡属性，可以跳出局部最优解	更新的方向会不稳定，可能永远都不会真正的收敛
小批量梯度下降	结合随机梯度下降的高效性和批量梯度下降的稳定性，它比随机梯度下降有更稳定的收敛，同时又比批量梯度下降计算的更快

方法	是否稳定	迭代速度	局部最优解
批量梯度下降	稳定	慢	可能停留
随机梯度下降	不稳定	快	可跳出
小批量梯度下降	较稳定	较快	可跳出

小批量梯度下降算法的实现

1.小批量数据的准备

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import torch
from torch.utils.data import DataLoader
from torch.utils.data import TensorDataset
#设置一个固定的随机种子，确保每次运行得到相同的数据
np.random.seed(0)
#随机生成100个横坐标x,范围在0-2
x=2*np.random.rand(100,1)
#生成带有噪音的纵坐标y,数据基本分布在y=2x+3附近
y=3+2*x+np.random.randn(100,1)*0.5
plt.scatter(x, y,marker='x',color='red')#将训练数据x、y转为张量
x=torch.from_numpy(x).float()
y=torch.from_numpy(y).float()#使用TensorDataset,将x和y组成训练集
dataset=TensorDataset(x,y)
#使用DataLoader,构造随机的小批量数据
dataloader=DataLoader(dataset,#使用一个小批量的数据规模为20batch_size=20,#随机打乱数据的顺序shuffle=True)
print("dataloader len=%d"%(len(dataloader)))
for index,(data,label) in enumerate(dataloader):print("index = %d num=%d"%(index,len(data )))

x=2*np.random.rand(100,1)

np.random.rand(100,1)：使用 NumPy 的 rand 函数生成一个形状为 (100,1)(100,1)(100,1) 的随机数组，里面的数值均匀分布在 000 到 111 之间。

2 * np.random.rand(100,1)：将生成的数组乘以 2，使得数值范围扩展到 000 到 222 之间。

y=3+2*x+np.random.randn(100,1)*0.5

np.random.randn(100,1) * 0.5：生成形状为 (100,1)(100,1)(100,1) 的随机噪声项，使 y 中的值带有一些波动。np.random.randn(100,1) 使用标准正态分布（均值为 0，标准差为 1）生成随机数，将其乘以 0.5 缩小标准差，使得噪声更小、波动更平滑。

np.random.rand 生成的随机数均匀分布在 [0,1)，而 np.random.randn 生成的随机数服从标准正态分布，中心在 0。

DataLoader(dataset, batch_size=20, shuffle=True)：

DataLoader 是 PyTorch 中的一个类，用于将数据集分成小批量并进行迭代读取。这样可以有效地处理大量数据而不必一次性全部加载到内存中，特别是在训练深度学习模型时非常重要。

dataset：

这是要加载的数据集，即前面用 TensorDataset(x, y) 定义的 dataset。DataLoader 将使用该数据集来加载数据。

batch_size=20：

设定每个小批量的大小为 20，意味着每次加载器会返回 20 个样本。
在训练过程中，小批量（batch）数据能够加速模型的梯度计算，同时可以让模型在批量数据的平均梯度上进行更新，有助于稳定训练。

shuffle=True：

设置 shuffle=True 会在每个 epoch（轮次）开始前打乱数据集的顺序，以避免模型训练受样本顺序的影响，有助于提升模型的泛化能力。
在训练时，数据的随机性能够帮助模型更好地学习到数据的真实分布，防止过拟合。

w = torch.randn(1, requires_grad=True)

初始化了模型的权重参数 w，并启用了自动求导功能（requires_grad=True），表示 w 将在训练过程中计算其梯度。尽管我们在定义时启用了 requires_grad=True，只是告诉 PyTorch 这个张量（比如 w）需要计算和记录梯度，但这并不会主动计算出梯度。实际上，梯度计算只在调用 loss.backward() 时才会触发

dataloader len=5
index = 0 num=20
index = 1 num=20
index = 2 num=20
index = 3 num=20
index = 4 num=20

2.小批量梯度下降算法迭代

#带迭代的参数w和b
w=torch.randn(1,requires_grad=True)
b=torch.randn(1,requires_grad=True)
#进入模型的迭代循环
for epoch in range(1,51):#迭代轮数#在一个迭代轮次中，以小批量的方式，使用dataloader对数据进行遍历#batch_idx表示当前遍历的批次#data和label表示这个批次的训练数据和标记for batch_idx,(data,label) in enumerate(dataloader):h=x*w+b#计算当前直线的预测值，保存到h#计算预测值h和真实值y之间的均方误差，保存到loss中loss=torch.mean((h-y)**2)loss.backward()#计算代价loss关于参数w和b的偏导数#进行梯度下降，沿着梯度下降的反方向，更新w和b的值w.data-=0.01*w.grad.datab.data-=0.01*b.grad.data#清空张量w和b中的梯度信息，为下一次迭代做准备w.grad.zero_()b.grad.zero_()#每次迭代，都打印当前迭代的轮数epoch#数据的批次batch_idx和loss损失值print("epoch (%d) batch (%d) loss=%.3lf"%(epoch,batch_idx,loss.item()))

for batch_idx, (data, label) in enumerate(dataloader):

enumerate(dataloader) 是一个迭代器，它会遍历 dataloader 并在每次迭代时返回当前批次的索引 batch_idx 和该批次的数据 (data, label)。
dataloader 是由 DataLoader 创建的对象，负责将数据集 dataset 分割为小批量，以便模型可以逐批次读取数据进行训练

3.图像绘制

#打印w和b的值，并绘制直线
print('w=%.3lf,b=%.3lf'%(w.item(),b.item()))
w=w.item()
b=b.item()
x=np.linspace(0,2,100)
h=w*x+b
plt.plot(x,h)
plt.show()

4.结果分析

每次运行代码时返回的 w 和 b 不一样，主要是由于以下几个原因：

随机初始化：

w = torch.randn(1, requires_grad=True) b = torch.randn(1, requires_grad=True)

这里的 torch.randn 会从标准正态分布（均值 0，标准差 1）中随机生成 w 和 b 的初始值。每次运行代码时，w 和 b 的初始值通常是不同的，这会导致训练过程中的更新路径不同，从而影响最终的值。

数据中的随机噪声

y = 3 + 2 * x + np.random.randn(100, 1) * 0.5

虽然设置了 np.random.seed(0)，使得每次运行生成的 x 和 y 都相同，但在模型初始化时 w 和 b 是随机的，每次不同的初始 w 和 b 会影响模型在不同批次上的更新路径，进而影响训练结果。

小批量数据的随机顺序：

dataloader = DataLoader(dataset, batch_size=20, shuffle=True)

DataLoader 的 shuffle=True 参数会在每个 epoch 开始时随机打乱数据的顺序。每次运行代码时，小批量数据的顺序会不同，因此参数更新的路径也会不同。