前缀和问题
什么是前缀和?
对于一个一般数组 nums,如果我们需要知道 S1 = nums[0] + nums[1]的结果， S2= nums[0] + nums[1] + nums[2] …
计算公式相当于: S2 = S1 + nums[2] … Sn = Sn-1 + nums[n];
所谓前缀和：用来记录数组前项和的一个新数组，提高计算求和的效率。
从普通数组转向前缀和数组
一般递推公式
由前缀和的定义我们可以得出以下前缀和公式：
当前项i的前缀和S[i]
S[i] = S[i-1] + nums[i-1];
当前项i的数据由前缀和推出
nums[i-1] = S[i] - S[i-1]
代码实现
int[] nums = {2,5,1,7,3,6};
int[] s = new int[nums.length+1];for(int i= 1;i<s.length;i++){s[i] = s[i-1]+ nums[i-1];
}System.out.println(Arrays.toString(nums));
System.out.println(Arrays.toString(s));
输出结果
[2, 5, 1, 7, 3, 6]
[0, 2, 7, 8, 15, 18, 24]
扩展运用
计算指定位置之间的数据和。
假设数组为 {1，2， 3， 4}， 位置1,3之间的和为： 2+3+4 = 9
使用前缀和
列出前缀和数组: {0，1, 3, 6, 10} , 位,1到3之间的和 S[4]- S[1] = 10 -1 = 9
计算任意位置之间的和: S[i+1] - S[j] , tips: 前缀和数组的S[0] =0;
力扣问题
1480. 一维数组的动态和 - 力扣（LeetCode）
class Solution {public int[] runningSum(int[] nums) {int[] s = new int[nums.length];s[0] = nums[0];for (int i = 1; i < s.length; i++) {s[i] = s[i - 1] + nums[i];}return s;}
}
303. 区域和检索 - 数组不可变 - 力扣（LeetCode）
class NumArray {private int[] nums;private int[] s;public NumArray(int[] nums) {this.nums = nums;this.s = new int[nums.length + 1];for (int i = 1; i < s.length; i++) {s[i] = s[i - 1] + nums[i - 1];}}public int sumRange(int left, int right) {return s[right+1] - s[left];}
}
560. 和为 K 的子数组 - 力扣（LeetCode）
二维数组前缀和
二维数组的前缀和 S[X][Y] = nums[0][0] + … nums[X-1][Y-1]
构建前缀和数组
假设原数组nums[m][n]，前缀和数组 S[m+1][n+1],预留第0行，第1列不用。
计算前缀和数组第一行S[0][Y]
前缀和的第一行即为原数组的第一行求和(类似一维数组求和)，初始化前缀和数组。
S[0][y] = nums[0][0] + .... nums[0][y-1]
构建前缀和第二行
构建第三行
最终形态
前项和公式
我们观察S[3][3]
S[3][3] = nums[0][0] + nums[0][1] + nums[0][2]+ nums[1][0] + nums[1][1] + nums[1][2]+ nums[2][0] + nums[2][1] + nums[2][2]= nums[0][0] + nums[0][1] + nums[0][2] + nums[1][0] + nums[1][1] + nums[1][2]+ nums[0][0] + nums[0][1] + nums[1][0] + nums[1][1] + nums[2][0] + nums[2][1]+ nums[2][2] - nums[0][0] - nums[0][1] - nums[1][0] - nums[1][1]
S[i , j] = S[i-1][j] + S[i][j-1] + nums[i][j] - S[i-1][j-1]
前缀和例题
二维区域和检索 - 矩阵不可变
问题
304. 二维区域和检索 - 矩阵不可变 - 力扣（LeetCode）
问题描述
给定一个二维矩阵 matrix，以下类型的多个请求：
- 计算其子矩形范围内元素的总和，该子矩阵的 左上角 为
(row1, col1)，右下角 为(row2, col2)。
实现 NumMatrix 类：
NumMatrix(int[][] matrix)给定整数矩阵matrix进行初始化int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2)返回 左上角(row1, col1)、右下角(row2, col2)所描述的子矩阵的元素 总和 。
示例 1：
输入:
["NumMatrix","sumRegion","sumRegion","sumRegion"]
[[[[3,0,1,4,2],[5,6,3,2,1],[1,2,0,1,5],[4,1,0,1,7],[1,0,3,0,5]]],[2,1,4,3],[1,1,2,2],[1,2,2,4]]
输出:
[null, 8, 11, 12]解释:
NumMatrix numMatrix = new NumMatrix([[3,0,1,4,2],[5,6,3,2,1],[1,2,0,1,5],[4,1,0,1,7],[1,0,3,0,5]]);
numMatrix.sumRegion(2, 1, 4, 3); // return 8 (红色矩形框的元素总和)
numMatrix.sumRegion(1, 1, 2, 2); // return 11 (绿色矩形框的元素总和)
numMatrix.sumRegion(1, 2, 2, 4); // return 12 (蓝色矩形框的元素总和)
解决方案
构建前缀和
求阴影部分的值
由图我们观察到阴影部分的可以看做： （0,0）->((row2+1), (col2+1)) - （0,0）->((row1), (col2+1)
- （0,0）->((row2+1), (col1) + （0,0）->((row1), (col1) 【此矩形被减去了两次】
s[row2+1][col2+1] - s[row1][col2+1] - s[row2+1][col1] + s[row1][col1];
