【机器学习】在泊松分布中，当λ值较大时，其近似正态分布的误差如何评估？

在泊松分布中，当参数 λ 较大时，其近似正态分布的有效性可以通过 中心极限定理 和误差分析来理解和评估。以下内容结合理论推导和实际案例展开说明：

1. 泊松分布的定义

泊松分布是用于建模单位时间或单位空间内随机事件发生次数的概率分布，其概率质量函数为：

$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots$

其中，λ > 0 表示事件的平均发生次数。

均值： $\mathbb{E}[X] = \lambda$
方差： $\text{Var}(X) = \lambda$

2. 正态分布的近似条件

根据 中心极限定理，当随机变量的期望和方差有限时，其大量独立和同分布的累加和趋于正态分布。

在泊松分布中，λ 较大时，其形状接近正态分布。这是因为泊松分布的均值和方差均为 λ，当 λ 较大时，随机变量 X 的分布形状逐渐对称，且变宽，趋于正态分布。
正态近似公式：

$X \sim \text{Poisson}(\lambda) \quad \approx \quad \mathcal{N}(\mu=\lambda, \sigma^2=\lambda)$

3. 误差评估

泊松分布与正态分布的差异可以用以下方式量化：

绝对误差： 通过比较泊松分布的概率质量函数和正态分布的概率密度函数，计算误差：
$\text{Error}(k) = \left| P(X=k) - \phi(k; \lambda, \sqrt{\lambda}) \right|$
其中， $\phi(k; \lambda, \sqrt{\lambda})$ 是正态分布的概率密度函数。
相对误差：
$\text{Relative Error}(k) = \frac{\text{Error}(k)}{P(X=k)}$
累积误差： 衡量整体误差，可以计算泊松分布和正态分布在某区间上的累积分布函数（CDF）的差异：
$\sup_x \left| F_\text{Poisson}(x; \lambda) - F_\text{Normal}(x; \lambda, \sqrt{\lambda}) \right|$

误差的变化规律

当 λ 较小时，泊松分布呈现右偏（偏态较大），与正态分布的对称性差异较大。
随着 λ 增大，泊松分布逐渐对称，误差显著降低。
一般认为，当 λ > 30时，正态分布可以较好地近似泊松分布。

4. 实际案例

应用背景

在某工厂中，平均每小时产生的缺陷产品数量服从泊松分布，λ = 40。我们希望近似计算某小时缺陷产品数量在 35 到 45 之间的概率。

步骤

泊松分布计算：使用泊松分布的公式直接计算：
$P(35 \leq X \leq 45) = \sum_{k=35}^{45} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$
正态分布近似： $X \sim \text{Poisson}(40)$ 近似为 $\mathcal{N}(40, \sqrt{40})$ ，并通过正态分布的累积分布函数计算：
$P(35 \leq X \leq 45) \approx \Phi\left(\frac{45 + 0.5 - 40}{\sqrt{40}}\right) - \Phi\left(\frac{35 - 0.5 - 40}{\sqrt{40}}\right)$
其中 0.5 是 连续性修正。
误差分析：对比两种方法的结果，观察正态近似的误差。

Python实现

import numpy as np
from scipy.stats import poisson, norm
import matplotlib.pyplot as plt# 参数
lambda_val = 40
k = np.arange(20, 61)  # 范围# 泊松分布
poisson_probs = poisson.pmf(k, lambda_val)# 正态近似
normal_probs = norm.pdf(k, loc=lambda_val, scale=np.sqrt(lambda_val))# 绘制比较
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.bar(k, poisson_probs, alpha=0.6, label="Poisson Distribution")
plt.plot(k, normal_probs, 'r--', label="Normal Approximation")
plt.title("Comparison of Poisson Distribution and Normal Approximation")
plt.xlabel("k")
plt.ylabel("Probability")
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()