点积

在02向量与矩阵方程中，我有提及点积概念，现在来说说叉积概念

两个相同维数的向量

$$\left[\begin{array}{c}2\\ 7\\ 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}8\\ 2\\ 8\end{array}\right]=2\cdot 8+7\cdot 2+1\cdot 8=38$$

现在有两个向量，假设它们是用来表示三维坐标即（x，y，z）。我们只需要将它们配对相乘相加即可。

在几何上：A向量在B向量的投影长度 * B向量的长度。

• 锐角：正数
• 垂直：0
• 钝角：负数

为何点乘与顺序无关？

画图，然后分别做两个投影，我们会发现垂直线相交的点连接原点形成的线，正好是向量夹角的角平分线。即互为镜像。（当向量为单位长度时）

当向量不为单位长度时，我们可以理解为，先提出系数，然后再点乘单位向量

高维空间到低维空间

举一个例子。

当原空间为二维空间，要压缩要一维空间。

[!NOTE]

我们可以在二维空间上的y=x上取无数个间隔相同的点。在压缩之后，这些点将等距分布在一维空间上，即数轴上。–》线性变换

首先补充一下同一维度下的基向量的线性变换。 （基向量指的是i hat、j hat）
$$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right]$$
这个2*2矩阵表示这个基向量线性变换的方法。

第一列是i hat的变换之后的位置（1，2）。同理，第二列…

使用它乘以同一维度的向量，就可以得到线性变换之后的新向量。

然后再进入到压缩到更低维度。举个例子，从二维到数轴。
$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]& =4\cdot 1+3\cdot (-1)\\ \left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]& =4\cdot 1+3\cdot (-1)\end{array}$$
左边的矩阵表示Transform，右边的Vector表示原向量，结果是变换之后在数轴上的位置。

有没有发现，这和直接进行点乘，是一样的，只不过是将向量倾斜为矩阵了而已。

那么为什么？

以我的看法。线性变换1*2矩阵的二维平面表现是一个向量，让这个矩阵点乘向量，即让向量投影在这个矩阵表现的向量所在的直线数轴。

因而，一个压缩的线性代换完全可以用一个向量来表示，这展现了数学之美

【熟肉】线性代数的本质 - 07 - 点积与对偶性

叉积

在点积中，我们提及了两个向量之间的“投影长度”与“对齐”的关系，现在来说说叉积的概念。

两个三维向量的叉积

假设有两个向量：

$$\mathbf{a}=\left[\begin{array}{c}2\\ 7\\ 1\end{array}\right],\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}8\\ 2\\ 8\end{array}\right].$$

它们的叉积可以通过以下公式计算：

$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 2& 7& 1\\ 8& 2& 8\end{array}\right|.$$

展开行列式：

$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\mathbf{i}(7\cdot 8-1\cdot 2)-\mathbf{j}(2\cdot 8-1\cdot 8)+\mathbf{k}(2\cdot 2-7\cdot 8).$$

最终结果为：

$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}54\\ -8\\ -52\end{array}\right].$$

结果是一个向量，垂直于向量a、b的张成空间，在二维上，可以理解为，这个向量垂直于向量a、b所围成的平行四边形。

计算方法

(1) 右手定则口诀：

• 四指指 $a$，弯向 $b$，拇指出方向，就是 $a\times b$ 的方向。

(2) 计算模板：

• 写成行列式，按代数展开，记住公式：

$$a\times b=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|,$$

$$a\times b=\mathbf{i}(a_y{b}_z-a_z{b}_y)-\mathbf{j}(a_x{b}_z-a_z{b}_x)+\mathbf{k}(a_x{b}_y-a_y{b}_x).$$

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几何意义

1. 大小：
   叉积的大小是向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 张成的平行四边形的面积：
   $$|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta ,$$
   其中 $\theta$ 是 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的夹角。

2. 法向量：

   如果两个向量所在的平面需要确定一个垂直方向（如三维图形的法向量），叉积直接给出了这个方向。

   结果是一个垂直于两个向量的向量，其方向由右手定则决定：

   • 用右手，四指指向 $\mathbf{a}$。
   • 手掌弯向 $\mathbf{b}$。
   • 拇指的方向就是 $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ 的方向。

3. 力矩（物理学中的应用）：
   力矩是位置向量和力向量的叉积，结果是垂直于两者所在平面的向量：
   $$\tau =\mathbf{r}\times \mathbf{F}$$

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为何叉积与顺序有关？

与点积不同，叉积是一个反对称运算：
$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=-(\mathbf{b}\times \mathbf{a}).$$

这是因为方向的改变会使右手定则产生相反的结果。

画一个平行四边形，并用手分别验证 $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ 和 $\mathbf{b}\times \mathbf{a}$ 的方向，可以发现它们是相反的。

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从面积到法向量

1. 面积的直观理解：
   如果 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 是平面中的两条边，叉积的大小就是平行四边形的面积，而叉积的方向是垂直于这个平面的。

2. 法向量的意义：
   在三维几何中，叉积常用来求两个向量所在平面的法向量。例如，给定两个边 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，它们的叉积可以用来确定平面在三维空间中的方向。

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一个实际应用：求三角形的面积

假设我们有两个三维向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，它们从同一个顶点出发。如何计算由这两个向量张成的三角形的面积？

1. 先求叉积 $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$：
   $$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}2\\ 7\\ 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}8\\ 2\\ 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}54\\ -8\\ -52\end{array}\right].$$

2. 计算叉积的模长：
   $$|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|=\sqrt{54^2+(-8{)}^2+(-52{)}^2}=\sqrt{2916+64+2704}=\sqrt{5684}.$$

3. 三角形的面积为平行四边形面积的一半：
   $$\text{三角形面积}=\frac{1}{2}|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|.$$

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对比点积与叉积

特性	点积 (Dot Product)	叉积 (Cross Product)
结果类型	标量（数值）	向量（有大小和方向）
输入维度	适用于任意维度向量	仅适用于三维向量
几何意义	反映两个向量的夹角关系	反映两个向量张成的平面的法向方向
公式	$a\cdot b=|a||b|\cos \theta$	$a\times b=|a||b|\sin \theta$
直观作用	两个向量在同一方向上的投影关系（相互对齐）	两个向量张成平面的垂直方向
结果是否为零	两个向量正交时点积为 0	两个向量平行时叉积为 0

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小结：点积与叉积的结合

• 点积描述两个向量的投影关系，是“线性重叠”的量度。

• 叉积描述两个向量的垂直关系，是“法向特性”的体现。

• 点积反映两个向量“对齐”的程度，$|a||b|\cos \theta$。

• 叉积反映两个向量“垂直张成”的面积，$|a||b|\sin \theta$。