【AI | pytorch】torch.polar的使用

一、torch.polar的使用

torch.polar 是 PyTorch 中用来生成复数张量的一个函数，但它与数学中的复数表达式 ( z = re^{i\theta} ) 是等价的。

具体来说，torch.polar(abs, angle) 接受两个实数张量参数：

abs：表示复数的模长（绝对值）。
angle：表示复数的相角（以弧度为单位）。

函数的返回值是一个复数张量 ( z )，其中每个元素的值为：

[
z = \text{abs} \cdot e^{i \cdot \text{angle}}
]

这符合复数的极坐标形式，实际上就是将给定的模和角转化为复数的笛卡尔坐标形式 ( z = x + yi )，其中：

[
x = \text{abs} \cdot \cos(\text{angle})
]
[
y = \text{abs} \cdot \sin(\text{angle})
]
在这里插入图片描述

示例

import torch# 模和角
abs_tensor = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0])
angle_tensor = torch.tensor([0.0, 3.1415926 / 2, 3.1415926])  # 0, π/2, π# 使用 torch.polar 生成复数
complex_tensor = torch.polar(abs_tensor, angle_tensor)print(complex_tensor)
# 输出: tensor([ 1.0000e+00+0.0000e+00j,  1.2246e-16+2.0000e+00j, -3.0000e+00+3.6739e-16j])

从结果可以看出：

对于 ( \theta = 0 )，复数是 ( 1+0j )。
对于 ( \theta = \pi/2 )，复数是 ( 0+2j )。
对于 ( \theta = \pi )，复数是 ( -3+0j )。

因此，torch.polar 是 PyTorch 中基于极坐标生成复数的一种实现，但其底层是通过欧拉公式 ( e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta) ) 转化到复数的。
在这里插入图片描述

二、欧拉公式

数学中，复数的欧拉公式（Euler’s formula）定义了一个非常重要的关系：

[
e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta
]

其中：

( \theta ) 是实数，表示角度，通常以弧度为单位。
( \cos\theta ) 是角度 ( \theta ) 的余弦值。
( \sin\theta ) 是角度 ( \theta ) 的正弦值。
( i ) 是虚数单位，满足 ( i^2 = -1 )。

欧拉公式通过将指数函数 ( e^{i\theta} ) 和三角函数 ( \cos ) 与 ( \sin ) 联系起来，揭示了复数、三角学和指数运算之间的深刻关系。

特殊情况

欧拉公式在某些特定角度 ( \theta ) 下具有有趣的结果：

当 ( \theta = 0 )：
[
e^{i\cdot0} = \cos(0) + i\sin(0) = 1 + 0i = 1
]
当 ( \theta = \pi )：
[
e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1 + 0i = -1
]
当 ( \theta = \frac{\pi}{2} )：
[
e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 + i = i
]
当 ( \theta = 2\pi )：
[
e^{i\cdot2\pi} = \cos(2\pi) + i\sin(2\pi) = 1 + 0i = 1
]