根据导数的定义计算导函数

1. Finding derivatives using the definition (使用定义求导)

1.1. We want to differentiate f ( x ) = 1 / x f(x) = 1/x f(x)=1/x with respect to x x x

f ( x ) = 1 / x f(x) = 1/x f(x)=1/x 关于 x x x 求导

The definition of the derivative (导数的定义) is
f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h \begin{aligned} f'(x) = \underset{h \rightarrow 0}{\text{lim}}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \end{aligned} f(x)=h0limhf(x+h)f(x)

If you just replace h h h by 0 in the fraction, you end up with the indeterminate form 0 0 \frac{0}{0} 00.
如果只是用 0 替换 h h h,结果就会得到一个 0 0 \frac{0}{0} 00 的不定式。

So in our case we have
f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h = lim h → 0 1 x + h − 1 x h = lim h → 0 x − ( x + h ) ( x + h ) x h = lim h → 0 − h h ( x + h ) x = lim h → 0 − 1 ( x + h ) x = − 1 ( x + 0 ) x = − 1 x 2 \begin{aligned} f'(x) &= \underset{h \rightarrow 0}{\text{lim}}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\ &= \underset{h \rightarrow 0}{\text{lim}}\frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h} \\ &= \underset{h \rightarrow 0}{\text{lim}}\frac{\frac{x - (x + h)}{(x + h)x}}{h} \\ &= \underset{h \rightarrow 0}{\text{lim}}\frac{-h}{h(x + h)x} \\ &= \underset{h \rightarrow 0}{\text{lim}}\frac{-1}{(x + h)x} \\ &= \frac{-1}{(x + 0)x} \\ &= -\frac{1}{x^2} \\ \end{aligned} f(x)=h0limhf(x+h)f(x)=h0limhx+h1x1=h0limh(x+h)xx(x+h)=h0limh(x+h)xh=h0lim(x+h)x1=(x+0)x1=x21

在这里插入图片描述
d d x ( 1 x ) = − 1 x 2 \begin{aligned} \frac{\text{d}}{\text{d}x}(\frac{1}{x}) = -\frac{1}{x^2} \\ \end{aligned} dxd(x1)=x21

1.2. We want to differentiate f ( x ) = x f(x) = \sqrt{x} f(x)=x with respect to x x x

f ( x ) = x f(x) = \sqrt{x} f(x)=x 关于 x x x 求导

Let’s multiply top and bottom by the conjugate of the numerator (分子和分母同时乘以分子的共轭表达式) to get
f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h = lim h → 0 x + h − x h = lim h → 0 x + h − x h × x + h + x x + h + x = lim h → 0 ( x + h ) − x h ( x + h + x ) = lim h → 0 h h ( x + h + x ) = lim h → 0 1 x + h + x = 1 x + 0 + x = 1 2 x \begin{aligned} f'(x) &= \underset{h \rightarrow 0}{\text{lim}}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\ &= \underset{h \rightarrow 0}{\text{lim}}\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h} \\ &= \underset{h \rightarrow 0}{\text{lim}}\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h} \times \frac{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}} \\ &= \underset{h \rightarrow 0}{\text{lim}}\frac{(x + h) - x}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} \\ &= \underset{h \rightarrow 0}{\text{lim}}\frac{h}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} \\ &= \underset{h \rightarrow 0}{\text{lim}}\frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{x + 0} + \sqrt{x}} \\ &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ \end{aligned} f(x)=h0limhf(x+h)f(x)=h0limhx+h x =h0limhx+h x ×x+h +x x+h +x =h0limh(x+h +x )(x+h)x=h0limh(x+h +x )h=h0limx+h +x 1=x+0 +x 1=2x 1

在这里插入图片描述
d d x ( x ) = 1 2 x \begin{aligned} \frac{\text{d}}{\text{d}x}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ \end{aligned} dxd(x )=2x 1

1.3. We want to differentiate f ( x ) = x + x 2 f(x) = \sqrt{x} + x^{2} f(x)=x +x2 with respect to x x x

f ( x ) = x + x 2 f(x) = \sqrt{x} + x^{2} f(x)=x +x2 关于 x x x 求导

f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h = lim h → 0 ( x + h + ( x + h ) 2 ) − ( x + x 2 ) h = lim h → 0 x + h − x + ( x + h ) 2 − x 2 h = lim h → 0 x + h − x + 2 x h + h 2 h = lim h → 0 ( x + h − x h + 2 x h + h 2 h ) = lim h → 0 ( x + h − x h + 2 x + h ) = lim h → 0 x + h − x h + lim h → 0 ( 2 x + h ) = 1 2 x + lim h → 0 ( 2 x + h ) = 1 2 x + ( 2 x + 0 ) = 1 2 x + 2 x \begin{aligned} f'(x) &= \underset{h \rightarrow 0}{\text{lim}}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\ &= \underset{h \rightarrow 0}{\text{lim}}\frac{(\sqrt{x + h} + (x + h)^2) - (\sqrt{x} + x^2)}{h} \\ &= \underset{h \rightarrow 0}{\text{lim}}\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x} + (x + h)^2 - x^2}{h} \\ &= \underset{h \rightarrow 0}{\text{lim}}\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x} + 2xh + h^2}{h} \\ &= \underset{h \rightarrow 0}{\text{lim}}(\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h} + \frac{2xh + h^2}{h}) \\ &= \underset{h \rightarrow 0}{\text{lim}}(\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h} + {2x + h}) \\ &= \underset{h \rightarrow 0}{\text{lim}}\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h} + \underset{h \rightarrow 0}{\text{lim}}({2x + h}) \\ &= \frac{1}{2\sqrt{x}} + \underset{h \rightarrow 0}{\text{lim}}({2x + h}) \\ &= \frac{1}{2\sqrt{x}} + ({2x + 0}) \\ &= \frac{1}{2\sqrt{x}} + 2x \\ \end{aligned} f(x)=h0limhf(x+h)f(x)=h0limh(x+h +(x+h)2)(x +x2)=h0limhx+h x +(x+h)2x2=h0limhx+h x +2xh+h2=h0lim(hx+h x +h2xh+h2)=h0lim(hx+h x +2x+h)=h0limhx+h x +h0lim(2x+h)=2x 1+h0lim(2x+h)=2x 1+(2x+0)=2x 1+2x

1.4. We want to differentiate f ( x ) = x n f(x) = x^{n} f(x)=xn with respect to x x x, where n n n is some positive integer

f ( x ) = x n f(x) = x^{n} f(x)=xn 关于 x x x 求导,其中 n n n 是某个正整数

f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h = lim h → 0 ( x + h ) n − x n h \begin{aligned} f'(x) &= \underset{h \rightarrow 0}{\text{lim}}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\ &= \underset{h \rightarrow 0}{\text{lim}}\frac{(x + h)^{n} - x^{n}}{h} \\ \end{aligned} f(x)=h0limhf(x+h)f(x)=h0limh(x+h)nxn

( x + h ) n = ( x + h ) ( x + h ) … ( x + h ) \begin{aligned} (x + h)^{n} = (x + h)(x + h) \dots (x + h) \end{aligned} (x+h)n=(x+h)(x+h)(x+h)

If you take the term x x x from each factor, there are n n n of them, so you get one term x n x^{n} xn in the product.
如果从每一个因子中提取项 x x x,将会有 n n n x x x,因而会在乘积中得到 x n x^{n} xn 这一项。

( x + h ) n = ( x + h ) ( x + h ) … ( x + h ) = x n + 含有因子  h 的项 \begin{aligned} (x + h)^{n} = (x + h)(x + h) \dots (x + h) = x^{n} + 含有因子 \ h \ 的项 \end{aligned} (x+h)n=(x+h)(x+h)(x+h)=xn+含有因子 h 的项

If you take the term h h h from the first factor and x x x from the others, then you have one h h h and ( n − 1 ) (n - 1) (n1) copies of x x x, so you get h x n − 1 hx^{n - 1} hxn1 when you multiply them all together.
如果从第一个因子中提取 h h h,然后从其他因子中提取 x x x,那样就会有一个 h h h ( n − 1 ) (n - 1) (n1) x x x,因此当将它们都乘起来的时候会得到 h x n − 1 hx^{n - 1} hxn1。还有其他的方法来选择一个 h h h 和其余的 x x x (可以从第二个因子里提取 h h h,然后从其他因子中提取 x x x;或者从第三个因子里提取 h h h,然后从其他因子中提取 x x x,如此等等)。

In fact, there are n n n ways you could pick one h h h and the rest x x x, so you actually have n n n copies of h x n − 1 hx^{n-1} hxn1. Together, this makes n h x n − 1 nhx^{n-1} nhxn1.
事实上,有 n n n 种方法来选取一个 h h h 和其余的 x x x,因此实际上有 n n n h x n − 1 hx^{n - 1} hxn1 加在一起,会得到 n h x n − 1 nhx^{n - 1} nhxn1

Every other term in the expansion has at least two copies of h h h, so every other term has a factor of h 2 h^2 h2.
在展开式中,每隔一项至少有两个 h h h,因此每隔一项就含有一个带 h 2 h^2 h2 的因子。

( x + h ) n = ( x + h ) ( x + h ) … ( x + h ) = x n + n h x n − 1 + 含有因子  h 2 的项 \begin{aligned} (x + h)^{n} = (x + h)(x + h) \dots (x + h) = x^{n} + nhx^{n - 1} + 含有因子 \ h^{2} \ 的项 \end{aligned} (x+h)n=(x+h)(x+h)(x+h)=xn+nhxn1+含有因子 h2 的项

Term is just a polynomial in x x x and h h h.
项是含有 x x x h h h 的多项式。

f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h = lim h → 0 ( x + h ) n − x n h = lim h → 0 x n + n h x n − 1 + h 2 × ( term ) − x n h = lim h → 0 n h x n − 1 + h 2 × ( term ) h = lim h → 0 ( n x n − 1 + h × ( term ) ) = n x n − 1 + 0 × ( term ) = n x n − 1 \begin{aligned} f'(x) &= \underset{h \rightarrow 0}{\text{lim}}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\ &= \underset{h \rightarrow 0}{\text{lim}}\frac{(x + h)^{n} - x^{n}}{h} \\ &= \underset{h \rightarrow 0}{\text{lim}}\frac{x^{n} + nhx^{n - 1} + h^{2} \times (\text{term}) - x^{n}}{h} \\ &= \underset{h \rightarrow 0}{\text{lim}}\frac{nhx^{n - 1} + h^{2} \times (\text{term})}{h} \\ &= \underset{h \rightarrow 0}{\text{lim}}({nx^{n - 1} + h \times (\text{term})} )\\ &= nx^{n - 1} + 0 \times (\text{term}) \\ &= nx^{n - 1} \\ \end{aligned} f(x)=h0limhf(x+h)f(x)=h0limh(x+h)nxn=h0limhxn+nhxn1+h2×(term)xn=h0limhnhxn1+h2×(term)=h0lim(nxn1+h×(term))=nxn1+0×(term)=nxn1

The x n x^{n} xn terms cancel, and then we can cancel out a factor of h h h.

d d x ( x n ) = n x n − 1 when  n is a positive integer \begin{aligned} \frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^{n}) = nx^{n - 1} \ \text{when} \ n \ \text{is a positive integer} \end{aligned} dxd(xn)=nxn1 when n is a positive integer

1.5. We want to differentiate f ( x ) = x a f(x) = x^{a} f(x)=xa with respect to x x x, when a a a is any real number at all

f ( x ) = x a f(x) = x^{a} f(x)=xa 关于 x x x 求导,其中 a a a 是任意实数

In words, you are simply taking the power, putting a copy of it out front as the coefficient, and then knocking the power down by 1.
提取次数,将它放在最前面作系数,然后再将次数减少 1

在这里插入图片描述
d d x ( x a ) = a x a − 1 when  a is any real number at all \begin{aligned} \frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^{a}) = ax^{a - 1} \ \text{when} \ a \ \text{ is any real number at all} \end{aligned} dxd(xa)=axa1 when a  is any real number at all

When a = 0 a = 0 a=0, then x a x^a xa is the constant function 1. The derivative is then 0 x − 1 0x^{-1} 0x1, which is just 0.
a = 0 a = 0 a=0 时, x a x^a xa 是常数函数 1,其导数是 0 x − 1 0x^{-1} 0x1,结果是 0

在这里插入图片描述
如果  C 是常数,那么 d d x ( C ) = 0 。 \begin{aligned} 如果 \ C \ 是常数,那么 \frac{\text{d}}{\text{d}x}(C) = 0。 \end{aligned} 如果 C 是常数,那么dxd(C)=0

If a = 1 a = 1 a=1, then x a x^a xa is just x x x. According to the formula, the derivative
is 1 x 0 1x^0 1x0, which is the constant function 1.
a = 1 a = 1 a=1 时, x a x^a xa x x x,其导数是 1 x 0 1x^{0} 1x0,也就是常数函数 1

在这里插入图片描述
d d x ( x ) = 1 \begin{aligned} \frac{\text{d}}{\text{d}x}(x) = 1 \end{aligned} dxd(x)=1

When a = 2 a = 2 a=2, then we see that the derivative of x 2 x^2 x2 with respect to x x x is 2 x 1 2x^1 2x1, which is just 2 x 2x 2x.

When a = − 1 a = -1 a=1, we can use our formula to see that the derivative of x − 1 x^{-1} x1 is − 1 × x − 2 -1 \times x^{-2} 1×x2. In fact, this just says that the derivative of 1 / x 1/x 1/x is − 1 / x 2 -1/x^{2} 1/x2.

d d x ( x ) = d d x ( x 1 / 2 ) = 1 2 x 1 / 2 − 1 = 1 2 x − 1 / 2 = 1 2 × 1 x 1 / 2 = 1 2 × 1 x = 1 2 x \begin{aligned} \frac{\text{d}}{\text{d}x}(\sqrt{x}) &= \frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^{1/2}) \\ &= \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} \\ &= \frac{1}{2}x^{-1/2} \\ &= \frac{1}{2} \times \frac{1}{x^{1/2}} \\ &= \frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{x}} \\ &=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\ \end{aligned} dxd(x )=dxd(x1/2)=21x1/21=21x1/2=21×x1/21=21×x 1=2x 1

d d x ( x 3 ) = d d x ( x 1 / 3 ) = 1 3 x 1 / 3 − 1 = 1 3 x − 2 / 3 = 1 3 × 1 x 2 / 3 = 1 3 × 1 x 2 3 = 1 3 x 2 3 \begin{aligned} \frac{\text{d}}{\text{d}x}(\sqrt[3]{x}) &= \frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^{1/3}) \\ &= \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} \\ &= \frac{1}{3}x^{-2/3} \\ &= \frac{1}{3} \times \frac{1}{x^{2/3}} \\ &= \frac{1}{3} \times \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} \\ &=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}} \\ \end{aligned} dxd(3x )=dxd(x1/3)=31x1/31=31x2/3=31×x2/31=31×3x2 1=33x2 1

References

[1] Yongqiang Cheng, https://yongqiang.blog.csdn.net/
[2] 普林斯顿微积分读本 (修订版), https://m.ituring.com.cn/book/1623

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.rhkb.cn/news/481507.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系长河编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

论文阅读:Dual-disentangled Deep Multiple Clustering

目录 摘要 引言 模型 实验 数据集 实验结果 结论 摘要 多重聚类近年来引起了广泛关注,因为它能够从不同的角度揭示数据的多种潜在结构。大多数多重聚类方法通常先通过控制特征之间的差异性来提取特征表示,然后使用传统的聚类方法(如 …

Kafka知识体系

一、认识Kafka 1. kafka适用场景 消息系统:kafka不仅具备传统的系统解耦、流量削峰、缓冲、异步通信、可扩展性、可恢复性等功能,还有其他消息系统难以实现的消息顺序消费及消息回溯功能。 存储系统:kafka把消息持久化到磁盘上&#xff0c…

项目切换Java21

目录 项目启动流程 遇到的问题 目前我们所有的项目都是Java8的,突然交接过来一个Java21的项目,项目启动耗时挺久,本篇记录下问题以及解决方案 项目启动流程 1. 下载Java21 2. 配置Java21 本机环境变量配置 确保path里有Java21路径 3. …

【算法day4】链表:应用拓展与快慢指针

题目引用 两两交换链表节点删除链表的倒数第n个节点链表相交环形链表 1.两两交换链表节点 给你一个链表,两两交换其中相邻的节点,并返回交换后链表的头节点。你必须在不修改节点内部的值的情况下完成本题(即,只能进行节点交换&am…

电机控制理论基础及其应用

电机控制理论是电气工程和自动化领域中的一个重要分支,它主要研究如何有效地控制电机的运行状态,包括速度、位置、扭矩等,以满足各种应用需求。电机控制理论的基础知识涵盖了电机的工作原理、数学模型、控制策略以及实现技术等方面。下面是一…

【每天一篇深度学习论文】(IEEE 2024)即插即用特征增强模块FEM

目录 论文介绍题目:论文地址: 创新点方法整体结构 即插即用模块作用消融实验结果即插即用模块代码 论文介绍 题目: FFCA-YOLO for Small Object Detection in Remote Sensing Images 论文地址: https://ieeexplore.ieee.org/d…

『 Linux 』数据链路层 - ARP协议及数据链路层周边问题

文章目录 ARP协议ARP欺骗RARP协议 DNS服务ICMP协议ping 命令正向代理服务器反向代理服务器 ARP协议 博客『 Linux 』数据链路层 - MAC帧/以太网帧中提到,当数据需要再数据链路层进行无网络传输时需要封装为MAC帧,而MAC帧的报文结构如下: 帧头部分存在两个字段分别为 “目的地址…

基于Java Springboot Vue3图书管理系统

一、作品包含 源码数据库设计文档万字全套环境和工具资源部署教程 二、项目技术 前端技术:Html、Css、Js、Vue3、Element-ui 数据库:MySQL 后端技术:Java、Spring Boot、MyBatis 三、运行环境 开发工具:IDEA 数据库&#x…

Google Cloud Dataproc 计算 EOD 余额

简介 Google Cloud Dataproc 是 Google Cloud Platform (GCP) 提供的一种完全托管的 Apache Hadoop 和 Apache Spark 服务。它允许用户快速、轻松地在云中创建和管理大数据处理集群,适合需要大规模数据处理、分析和机器学习的场景,能够帮助企业更高效地…

【docker】9. 镜像操作与实战

镜像操作案例 查找镜像 docker search busybox下载镜像 docker pull busybox:1.36.0查看镜像及列表存储位置 rootLAPTOP-H2EI4I6A:~# docker images busybox REPOSITORY TAG IMAGE ID CREATED SIZE busybox latest 517b897a6a83 2 months a…

循环神经网络(RNN)简述

RNN及其变体 1、概述 (一)、概念 RNN(Recurrent Neural Network), 中文称作循环神经网络, 它一般以序列数据为输入, 通过网络内部的结构设计有效捕捉序列之间的关系特征, 一般也是以序列形式进行输出。 RNN的循环机制使模型隐层**上一时间步产生的结果, 能够作为当下时间步…

Conda 管理python开发环境

同步发布于我的网站 🚀 故事起因: 在公司使用Requests多任务并行开发时遇到了问题,使用 ProcessPoolExecutor 时不能正常发出网络请求,会卡在网络请求发不出去,但是善于用 ThreadPoolExecutor 时是可以的,纠结了很久,一…

python打包深度学习虚拟环境

今天师兄让我把环境打包发给他,我才知道可以直接打包深度学习虚拟环境,这样另一个人就不用辛辛苦苦的去装环境了,我们都知道有些论文他需要的环境很难装上。比如装Apex,装 DCN,mmcv-full 我现在把3090机子上的ppft虚拟…

vue超过三行显示省略号和查看更多按钮

1、超过3行显示省略号和更多按钮&#xff0c;不超过3行正常显示&#xff1b; html: <div class"container"><div style"display: flex;"><div class"content"><div class"text-content" ref"textContentR…

什么是换电系统?驱动新能源汽车发展的“能源驿站”

随着新能源汽车保有量上升&#xff0c;新能源汽车充换电设施需求量同步增加。由于我国土地、电力资源相对紧张&#xff0c;随着车辆保有量继续增加&#xff0c;换电模式有望成为对充电模式的良好补充&#xff0c;具备广阔的中长期发展前景。蔚来是换电领域的先行者&#xff0c;…

最小有向包围盒——2D平面

目录 介绍 主要步骤 代码 __init__.py min_bounding_rect.py min_rect.py qhull_2d.py 结果 介绍 最小有向包围盒算法广泛应用于多个领域&#xff0c;包括&#xff1a; 计算几何&#xff1a;用于分析点集的边界特征。图形学&#xff1a;用于碰撞检测和物体包围。数据…

windows平台使用C#创建系统服务

使用 C# 在 Windows 平台创建和管理系统服务 在 Windows 平台上&#xff0c;系统服务&#xff08;Windows Service&#xff09;是一种运行在后台、无需用户交互的应用程序。系统服务广泛应用于长期任务处理、网络监听、后台调度等场景。本文将详细介绍如何使用 C# 创建一个 Win…

【C++笔记】位图和布隆过滤器

【C笔记】位图和布隆过滤器 &#x1f525;个人主页&#xff1a;大白的编程日记 &#x1f525;专栏&#xff1a;C笔记 文章目录 【C笔记】位图和布隆过滤器前言一. 位图1.1 位图相关面试题1.2 C库中的位图1.3位图优缺点1.4位图相关考察题目 二.布隆过滤器2.1 什么是布隆过滤器…

小迪安全第四十二天笔记 简单的mysql注入 mysql的基础知识 用户管理数据库模式 mysql 写入与读取 跨库查询

前言 之前的安全开发我们学习了 php联动数据库的模式 &#xff0c;这个模式是现在常用的模式 这一节来学习 如何 进行数据库的注入和数据库相关知识 1、了解数据库的结构 我们使用 navicate连接数据库之后看一下 一共四层结构 库 》表》字段》数据 这个层级关系…

如何估算自然对流传热系数

介绍 一般来说&#xff0c;对流可以定义为通过加热流体&#xff08;例如空气或水&#xff09;的运动来传递热量的过程。 自然对流&#xff08;对流的一种特定类型&#xff09;可以定义为流体在重力作用下由于较热因此密度较小的物质上升&#xff0c;而较冷且密度较大的物质下…