参考文献：

1. [BCK98] Mihir Bellare, Ran Canetti, Hugo Krawczyk. A Modular Approach to the Design and Analysis of Authentication and Key Exchange Protocols (Extended Abstract). STOC 1998: 419-428.
2. [CK01] Ran Canetti, Hugo Krawczyk. Analysis of Key-Exchange Protocols and Their Use for Building Secure Channels. EUROCRYPT 2001: 453-474.
3. [Kra01] Hugo Krawczyk. The Order of Encryption and Authentication for Protecting Communications (or: How Secure Is SSL?). CRYPTO 2001: 310-331.
4. [Kra05] Hugo Krawczyk. HMQV: A High-Performance Secure Diffie-Hellman Protocol. CRYPTO 2005: 546-566.
5. [LLM07] Brian A. LaMacchia, Kristin E. Lauter, Anton Mityagin. Stronger Security of Authenticated Key Exchange. ProvSec 2007: 1-16.
6. [FSXY15] Atsushi Fujioka, Koutarou Suzuki, Keita Xagawa, Kazuki Yoneyama. Strongly secure authenticated key exchange from factoring, codes, and lattices. Des. Codes Cryptogr. 76(3): 469-504 (2015).
7. [PWZ23] Jiaxin Pan, Benedikt Wagner, Runzhi Zeng. Lattice-Based Authenticated Key Exchange with Tight Security. CRYPTO (5) 2023: 616-647.

AM & UM

[BCK98] 提出了 authenticated-links model（AM）以及 unauthenticated-links model（UM），并定义了两者之间的 compiler / authenticator，特别地构造了消息传递的 MT-authenticator，基于此获得了 AM 安全协议到 UM 安全协议的通用转换。

Emulation of Protocols

Message-driven Protocols：

• 该协议被某个参与方调用（根据该协议代码运行的会话），根据协议输入、随机带、参与者 ID 等等，设定它的初始状态；

• 协议挂起，等待被激活，包括两种事件：

  1. 消息达到，从网络中递交到本会话的消息；
  2. 外部请求，本参与者中的其他进程发出的信息。

• 某参与方上的协议被激活后，形式化地执行如下的随机化函数：
  $$\pi (\text{当前状态, 输入消息, 外部请求})=(\text{内部状态, 输出消息, 输出请求, 输出日志})$$
  这里的输入消息来自网络，输出消息被发送到网络中；内部状态是私有的，输出日志是公开的；该函数的某些输入输出可以为空。

• 继续等待激活，或者会话终止。

Authenticated-links Model：网络中有多个参与者 $P_1,\cdots ,P_n$，它们各自运行协议 $\pi$ 的若干副本。敌手具有如下能力：

1. 监听到 $\pi$ 的输出消息、输出请求、输出日志，但是不知道它们的内部状态；
2. 任意决定 $\pi$ 的调用和激活顺序；
3. 任意决定 $\pi$ 的外部请求；
4. 任意决定输出消息的是否递交、递交顺序，但是被约束为只能忠实递交消息（$P_i$ 收到来自 $P_j$ 的消息，那么 $P_j$ 曾经向 $P_i$ 发出了该消息）。

假设各个参与方的输入是 $x=(x_i),r=(r_i)$，在敌手 $A$ 的控制下执行 $\pi$，简记 $Ad{v}_{\pi ,A}(x,r)$ 是敌手的视图，$Aut{h}_{\pi ,A,i}(x,r)$ 是各个参与者的视图，定义这些视图的联合：
$$Aut{h}_{\pi ,A}(x,r)=\left(Ad{v}_{\pi ,A}(x,r),Aut{h}_{\pi ,A,1}(x,r),\cdots ,Aut{h}_{\pi ,A,n}(x,r)\right)$$
Unauthenticated-links Model：

1. 除了上述能力，敌手还可以：修改消息、插入假消息；
2. 协议 $\pi$ 具有初始化函数 $I(r)=I_0(r)\Vert I_1(r)\Vert \cdots \Vert I_n(r)$，其中 $r$ 是随机带，$I_0$ 是公共信息，$I_i$ 是 $P_i$ 的私有信息。该初始化函数用于 “引导安全”（the Bootstrapping of security），通常会假设 PKI-based Model（例如 certificate authority, CA）。

类似的，定义联合视图：
$$Unaut{h}_{\pi ,A}(x,r)=\left(Ad{v}_{\pi ,A}(x,r),Unaut{h}_{\pi ,A,1}(x,r),\cdots ,Unaut{h}_{\pi ,A,n}(x,r)\right)$$
协议的模拟：令 $\pi ,{\pi }^{\prime }$ 分别是 AM 和 UM 下的消息驱动协议；我们说 ${\pi }^{\prime }$ 在无认证网络中模拟 $\pi$，如果关于 ${\pi }^{\prime }$ 的任意敌手 $U$，总存在关于 $\pi$ 的某敌手 $A$，使得对于任意的输入 $x$，在随机带 $r$ 下两者的视图（计算）不可区分，
$$Aut{h}_{\pi ,A}(x)\stackrel{c}{\equiv }Unaut{h}_{\pi ,A}(x)$$
它主要是描述了不同敌手模型下两个协议的功能等价性（equivalent behavior）

Message Transmission

[BCK98] 给出了从 AM 下任意的消息驱动协议，加强为 UM 下协议的通用转换：

1. 考虑 AM 下的消息传输协议，
   • 在 $P_i$ 上发起外部请求 $(P_j,m)$，它将 $(P_i,P_j,m)$ 发送到网络，并输出日志 “$P_i$ sent $m$ to $P_j$”；
   • 若 $P_j$ 收到消息 $(P_i,P_j,m)$，它输出日志 “$P_j$ received $m$ from $P_i$”。
2. 假设协议 $\lambda$ 模拟了上述 MT 协议，将它称之为 MT-authenticator，基于它可以定义如下的 compiler，
   1. 编译器 $C_{\lambda }$，输入 AM 下的消息驱动协议 $\pi$，输出另一个协议 ${\pi }^{\prime }$，它调用 $\lambda$ 和 $\pi$ 作为子程序；
   2. $P_i$ 上的 $\pi$ 输出某个消息时， ${\pi }^{\prime }$ 用相应的外部请求激活 $\lambda$；
   3. 协议 ${\pi }^{\prime }$ 被输入消息激活时，使用该消息激活 $\lambda$，仅当日志记录了 “$P_j$ received $m$ from $P_i$” 再用 $m$ 激活 $P_j$ 上的 $\pi$。
3. 可以证明，${\pi }^{\prime }$ 模拟了 $\pi$，我们称 $C_{\lambda }$ 是 authenticator。

[BCK98] 给出了两种 MT-authenticator 的构造，

基于数字签名算法：

基于公钥加密和消息验证码：

为了避免敌手的消息重播攻击，第二条网络流是必须的，因此三轮通信不可避免；在这三轮通信中，消息 $m$ 可以仅在第一轮或第三轮中实际发送，其他两轮仅使用唯一的消息 ID 占位；在认证算法中，身份 $B$ 必须被包含在内。

Key Exchange

虽然上述算法满足了 UM 安全，但是每次消息传递都需要执行公钥密码算法，因此计算效率很低。[BCK98] 基于 KE 协议给出了更加高效的 authenticator 构造。

Ideal KE process：参与方 $P_i$，可信方 $T$，敌手 $S$。KE 协议有四种激活方式，

1. 调用 $P_i$ 作为初始者，和 $P_j$ 建立新的会话密钥；输出日志 “$P_i$ established key $(k,s:=(P_i,P_j,c,\text{Initiator}))$ with $P_j$”，其中 $c$ 是 $P_i$ 和 $P_j$ 之间已有会话的计数器（确保 ID 的唯一性），元组 $s$ 是新会话的 ID（记录到全局集合 $I$ 中），而 $k$ 是可信方 $T$ 产生的会话密钥
2. 调用 $P_j$ 作为接收者，和 $P_j$ 建立关于会话 $s$ 的密钥；仅当会话 $s\in I$ 已经存在，输出日志 “$P_j$ established key $(k,s^{\prime }:=(P_i,P_j,c,\text{Responder}))$ with $P_i$”，并且从 $I$ 中删除 $s$，这里的 $k$ 等于会话 $s$ 对应的 $k$
3. 腐坏已有的会话 $s$（在或曾经在 $I$ 内），获得对应的 $k$；输出日志 “'Session $s$ is corrupted"
4. 腐坏参与者 $P_i$，获取其所有已知的 $k$；输出日志 “'$P_i$ is corrupted"

令 $r_T$ 和 $r_S$ 分别是可信方和敌手的随机带，敌手和参与者的视图为 $Ad{v}_S(r_S,r_T)$ 和 $Idea{l}_{S,i}(r_S,r_T)$，定义联合视图：
$$Idea{l}_S(r_S,r_T)=\left(Ad{v}_S(r_S,r_T),Idea{l}_{S,1}(r_S,r_T),\cdots ,Idea{l}_{S,n}(r_S,r_T)\right)$$
KE protocol：我们说 $\pi$ 是安全的密钥交换协议，如果任意 UM 敌手 $U$，都满足 $Unaut{h}_{\pi ,U}()\stackrel{c}{\equiv }Idea{l}_S()$

[BCK98] 证明了 Diffie-Hellman 协议（$g,(x,g^x),(y,g^y),g^{xy}$）是 AM 安全的，然后用 MT-authenticator 将它加强为 UM 安全的 KE 协议。

然后基于 KE 协议，[BCK98] 构造更加高效的 MT-authenticator，

1. 初始时，参与者之间两两运行 KE 协议，获得会话密钥 $K_{ij}$
2. 参与者 $P_i$ 维护一个发送消息到 $P_j$ 的计数器 $c_{ij}$
   • 在 $P_i$ 上发起外部请求 $(P_j,m)$，它将 $(m,c_{ij},MA{C}_{K_{ij}}(m,c_{ij}))$ 发送到网络，并输出日志 “$P_i$ sent $m$ to $P_j$”
   • 若 $P_j$ 收到消息 $(m,c_{ij},t)$，先验证 $t=MA{C}_{K_{ij}}(m,c_{ij})$，再输出日志 “$P_j$ received $m$ from $P_i$”

将上述协议记为 ${\lambda }_{KE}$，利用它可以构造出通用协议的编译器。

CK Model

[BCK98] 给出的 KE 安全性定义是基于模拟的，仅定义了理想世界中的敌手行为，并没有刻画真实世界中敌手的能力。[CK01] 给出了基于游戏的模型和安全性，被称为 CK 模型和 CK 安全性。

Sessions：某个参与方上执行某协议代码的交互式子例程，具有唯一的会话标识 $(P_i,P_j,s)$，其中 $s$ 是用于区分 $P_i,P_j$ 之间不同会话的 ID；在其执行过程中，维护它的本地状态（local state）和本地输出（local output），前者记录了独立于其他会话的极大信息（session-specific information，不直接包含全局秘密）；当会话完成后，立即擦除（erase）其本地状态。

Key-exchange protocols：用于在参与者之间两两产生会话密钥的消息驱动协议。上层协议使用输入 ( P i , P j , s , role ∈ { Initiator , Responder } ) (P_i,P_j,s,\text{role} \in \{\text{Initiator}, \text{Responder}\}) (Pi​,Pj​,s,role∈{Initiator,Responder}) 在参与者 $P_i$ 上调用此协议，上层协议选取恰当的 $s$ 确保它是会话的唯一标识。我们说 $P_i$ 和 $P_j$ 上的两个会话是匹配的（matching），如果它们的输入分别是 $(P_i,P_j,s,\text{Initiator})$ 和 $(P_j,P_i,s,\text{Responder})$。两个匹配的会话不需要同时完成，只有完成的会话才输出会话密钥。

Attacker capabilities：它是一个完全控制了通信链路的 PPT 敌手，可以监听所有消息，可以决定消息是否递交和何时递交，可以任意修改消息、插入新消息，可以安排会话的初始化顺序和激活顺序。即，它是一个 UM 敌手。

除此之外，敌手还可以发起一些查询，获得指定参与者或者指定会话的某些秘密信息。

1. Session-state reveal：对于未完成的会话，敌手获得它及其子例程的本地状态。对于本地状态应该包含哪些信息，[CK01] 将它留给了具体的协议设计。
2. Session-key query：对于完成的会话，敌手获得它生成的会话密钥；这捕获了上层协议中会话密钥的部分/全部、直接/间接泄露。
3. Party corruption：敌手获得指定参与方的全部内部状态，包括长期秘密、未完成会话的本地状态、以及已完成会话构建的会话密钥。

我们称某会话本地泄露（locally exposed），如果它遭受了上述的三种查询；如果它自身或者其匹配会话（如果存在）本地泄露了，那么称该会话泄露（exposed）。

Session expiration：会话过期，将指定的会话密钥或者本地状态从参与者的内存中擦除。上述的三种查询只能发生在指定会话过期之前；注意一个会话属于某个参与者，其匹配会话不一定过期，因此该会话密钥仍有泄露风险。

Test-session：敌手可以对于已完成、未过期、未发生泄露的会话，发起特殊的 test-session query，随机掷币 b ∈ { 0 , 1 } b \in \{0,1\} b∈{0,1}，决定敌手获得该会话的会话密钥，还是获得同分布的随机数。随后敌手可以继续执行上述的 UM 动作和三种查询，但是不允许对选定的 test-session 做这些查询（保证它最终没有泄露，排除平凡攻击）；除非该会话或者其匹配会话过期了，那么相应的参与方允许被腐坏（其内存已经擦除了会话状态和会话密钥）。

SK-Security：我们说某 KE 协议 $\pi$ 是安全的，如果对于任意的 UM 敌手 $\mathcal{U}$，

• Consistency / Completeness：如果两个未腐坏的参与方完成了一对匹配的会话，那么这一对会话的输出是相同的会话密钥；
• Core property / Soundness：敌手 $\mathcal{U}$ 执行 UM/AM 动作和三种查询，指定某个 test-session 然后猜测 b ′ ∈ { 0 , 1 } b'\in \{0,1\} b′∈{0,1}，它赢得游戏（即 $b=b^{\prime }$）的概率不超过 $1/2+\text{negl}(\lambda )$，其中 $\lambda$ 是安全参数。

该安全性定义仅关注已完成会话，但是并没有对协议的终止属性做出要求；如果所有的会话都被敌手挂起，那么也满足该安全定义。为了简洁性，[CK01] 排除了对协议终止的要求。

该安全性定义捕获了如下的安全属性（反之不然）：

1. 只要交换过程中没有参与方被腐坏，那么将获得正确的会话密钥分布；
2. 会话密钥和参与者身份的正确且一致的绑定；
3. 抵御 MitM 攻击、已知密钥攻击（known-key attacks）；
4. 具有前向安全性（perfect forward secrecy, PFS），等等。

如果禁止会话过期（那么敌手始终无法腐坏 test-session 及其匹配会话所在的参与者），那么上述的安全性定义弱化为 SK-security without PFS。注意 key-transport protocols（或者说 KEM）和 key exchange protocols 的区别：前者直接基于 PKE 传输会话密钥（发送单个密文消息），一旦参与方被腐坏，敌手用长期密钥解密监听到的密文，所有的会话密钥都被完全泄露，因此不具备 PFS 性质。

[CK01] 证明了原始 DH 协议（Two-move Diffie-Hellman）满足 AM 下的上述安全性，然后使用基于签名的 MT-authenticator 得到 UM 下安全的 KE 协议，如下：

CK+ Model

[Kra05] 考虑了一些没有被 CK Model 捕获的攻击，然后给出了 [CK01] 安全性的加强版本，被后续文章称为 “CK+” 模型/安全。

CKI

在 CK 模型中，敌手具有 Party corruption 能力，即敌手 $\mathcal{A}$ 获得 $P$ 的长期密钥，同时也获得了对于 $P$ 的完全控制；因此 test session 排除了长期密钥泄露的参与者上的所有会话。

但是这过于简化了：实际场景中，敌手可能获得了 $P$ 的长期密钥，但是也许并没有获得 $A$ 计算机的访问权限（因此看不到内存中的会话状态）。此时我们希望：如果是 $P$ 自身运行的会话，那么 $\mathcal{A}$ 无法破坏该会话的安全性。

我们说一个会话是干净的（clean），如果：

1. 在该会话的执行过程中，敌手没有执行 Session-state reveal
2. 在该会话完成后（擦除前），敌手没有执行 Session-key query

如果敌手 $\mathcal{A}$ 获得了参与方 $P$ 的长期密钥（但是没有获得 $P$ 的控制权），那么敌手可以假冒为 $P$ 和其他的参与方交互；现在考虑 $\mathcal{A}$ 对于 $P$ 上会话的安全性破坏。

Key-Compromise Impersonation Attacks：敌手 $\mathcal{A}$ 执行一些 UM/AM 动作和三种查询，并且通过某种手段（仅）获得了某个参与方 $P$ 的长期密钥。然后关于 $P$ 上的某个会话执行 test-session query，给出猜测 $b^{\prime }$；要求该会话是干净的，该会话的对等方没有被腐坏，并且该会话的匹配会话（如果存在的话）也是干净的。

wPFS

Perfect Forward Secrecy (PFS)：敌手 $\mathcal{A}$ 执行一些 UM/AM 动作和三种查询，然后指定某个会话为 test-session，等到该会话过期后（注意，并不对其匹配会话做要求），对该会话所在的参与者 $P$ 执行 Party corruption（获得长期密钥和本地内存），然后给出猜测 $b^{\prime }$，其成功概率不超过 $1/2+\text{negl}(\lambda )$，其中 $\lambda$ 是安全参数。

所有的 $2$-message protocols 都无法达到 full PFS：参与者 $P_1$ 作为协议启动方，发送消息给另一个参与者 $P_2$，那么 $P_2$ 立即完成会话并输出会话密钥 $K$，但此时 $P_2$ 上的会话仍未完成（敌手控制消息的递交）。等到 $P_2$ 的会话过期后，敌手 $\mathcal{A}$ 腐坏 $P_1$ 获得会话状态和长期密钥（是否腐坏 $P_2$ 无所谓），从而重构出 $K$，这就破坏了 $P_2$ 的前向安全。

[Kra05] 考虑了 PFS 的弱化版本，限制敌手不能获取 test-session 及其匹配会话的状态。将这个安全属性作为 $2$-message protocols 的替代要求。

weak PFS (wPFS)：敌手 $\mathcal{A}$ 执行一些 UM/AM 动作和三种查询，然后指定某个会话为 test-session，并且通过某种手段获得了该会话两个对等方的长期密钥；要求该会话是干净的，并且该会话的匹配会话（如果存在的话）也是干净的。给出猜测 $b^{\prime }$，其成功概率不超过 $1/2+\text{negl}(\lambda )$，其中 $\lambda$ 是安全参数。

MEX

如果某个参与方的长期密钥泄露了，同时该参与者上运行的某会话的短期秘密也完全泄露了，那么敌手可以很容易构造出该会话的会话密钥。[Kra05] 考虑针对泄露攻击的最大抵御能力：只要不是某一方的长期密钥和短期秘密同时泄露，那么 KE 协议应当保证会话密钥的随机性。

maximal resistance to exposure attacks：敌手 $\mathcal{A}$ 执行一些 UM/AM 动作和三种查询，然后指定某个会话为 test-session，并且通过某种手段获得了

• 该会话的短期秘密 + 对等方的长期密钥；
• 会话拥有者的长期密钥 + 匹配会话（如果存在的话）的短期秘密；
• 该会话的短期秘密 + 匹配会话（如果存在的话）的短期秘密。

给出猜测 $b^{\prime }$，其成功概率不超过 $1/2+\text{negl}(\lambda )$，其中 $\lambda$ 是安全参数。

CK+ Security

[Kra05] 给出的增强安全性：满足 CK 安全性，抵御 CKI 攻击和 MEX 攻击，并且满足 wPFS 属性。

这里按照 [FSXY15] 的写法，描述 PKI-based $2$-message AKE protocols 的 CK+ 安全性。

参与者 $U_i$ 具有长期/静态私钥 $s_i$ 和公钥 $S_i$，其上运行的会话具有短期密钥 $x_i$ 和公钥 $X_i$，并且 $S_i$ 被绑定到 $U_i$ 的身份上（基于 PKI，比如 CA）

1. 上层协议使用消息 $(\Pi ,\mathcal{I},U_A,U_B)$ 激活启动者，该会话的外部输出为 $X_A$

2. 上层协议使用 $(\Pi ,\mathcal{R},U_B,U_A,X_A)$ 激活响应者，该会话的外部输出为 $X_B$，并且计算出会话密钥 $SK$，完成会话并擦除状态

3. 上层协议使用消息 $(\Pi ,\mathcal{I},U_A,U_B,X_A,X_B)$ 激活启动者，计算出会话密钥 $SK$，完成会话并擦除状态

其中，$\Pi$ 是协议 ID，$\mathcal{I},\mathcal{R}$ 是角色 ID（启动者、响应者），$U_A,U_B$ 是参与者 ID，$X_A,X_B$ 是网络消息。双方都以当前视图作为会话 ID（原始 [CK01] 中则由敌手选取；两者不能转化的，导致的 AKE 安全性相互独立），即启动者使用 $sid=(\Pi ,\mathcal{I},U_A,U_B,X_A)$ 或者 $sid=(\Pi ,\mathcal{I},U_A,U_B,X_A,X_B)$，响应者使用 $sid=(\Pi ,\mathcal{R},U_B,U_A,X_A,X_B)$；以会话 ID 作为匹配的依据。

敌手 $\mathcal{A}$ 是一个完全控制信道的 PPT 图灵机，可以执行如下的四种 adversary query，

会话新鲜度，定义如下：

安全游戏，定义如下：

CK+ 安全性，定义如下：

此外，[FSXY15] 还给出了 ID-AKE 相应的 id-CK+ 安全性，不再基于公钥基础设施，而是基于 IBE 方案（也需要中心服务器）。

HMQV

MQV 协议是一种相当高效的 KE 协议，被许多组织标准化。但是，该协议没有安全性证明；事实上，它基本什么安全目标也没有达到！

[Kra05] 给出了 MQV 的哈希变体，它同样高效，且被证明在 ROM 下满足 CK+ 安全性。MQV 和 HMQV 的步骤如下：

MQV 基本就是原始 DH 协议，双方额外持有长期私钥 $a,b$ 和通过 CA 发布的长期公钥 $A,B$。由于 $e,d$ 长度为 $l=|q|/2$，因此 $B^e,A^d$ 的计算代价仅为正规求幂运算的一半。换句话说：原始 DH 协议中每个参与方需要 $2$ 个求幂运算，而 MQV 协议中每个参与方需要 $2.5$ 个求幂运算；两者的总通信开销都是 $2$ 个群元素。

原始 DH 协议是无认证的，只有短期秘密 $x,y$，容易遭受 MitM 攻击。让双方都具有长期秘密 $a,b$，同时使用 $x,y,a,b$ 构造会话密钥，一种直观办法是计算 $SK=(YB{)}^{x+a}=(XA{)}^{y+b}=g^{(x+a)(y+b)}$。但是，$A$ 是公钥，敌手可以使用 $x^{\ast },X^{\ast }=g^{x^{\ast }}/A$ 冒充 $\hat{A}$，然后计算出 $SK=(YB{)}^{x^{\ast }}=(X^{\ast }A{)}^{y+b}$。

避免上述攻击的办法是，改成 $SK=g^{(x+da)(y+eb)}$，其中 $d,e$ 分别是关于 $X,Y$ 的变量。MQV 将变量 $d,e$ 设置为了 $X,Y$ 的比特截断，但是并不安全；HMQV 基于 RO 计算它们，达到了 CK+ 安全性。

eCK Model

[Kra05] 定义的 CK+ 安全性，由于它包含了 CK 模型以及 CK 模型未能捕获的三种攻击，导致其安全性证明极为繁琐。[LLM07] 修改了敌手问询的方式，定义了一种相似的 KE 协议安全性，但可以对所有攻击的抵御给出统一的安全证明，被后续研究称之为 eCK 模型/安全性。

CK+ 和 eCK 是不可比的，前者捕获了 Session State Reveal 攻击，后者捕获了 Adaptive Key Exposure 攻击。因此 CK+ 严格比 CK 更强，但是 eCK 并不比 CK 更强。两者都是强大的 KE 安全模型，但似乎 CK+ 用的更普遍/现实一些。它们捕获的攻击类型如下：

[Kra05] 模块化地考虑了 AKE 安全性的各种组件。

key registration

在 PKI-based AKE 协议中，公钥注册有多种做法。

1. Honest key registration：各个参与方（包括本来就被敌手控制的）的密钥都是诚实生成的，其公钥被正确绑定到相应的参与者；仅当公钥注册完成后，敌手才能腐坏参与方，并且敌手不能再注册公钥。
2. Proof-of-possession：在公钥注册时，CA 会执行某种有效性检查（例如 ZKPoK）；敌手（腐坏的参与方）可以随时注册公钥。
3. Arbitrary key registration： 参与者可以随意注册公钥，CA 不做任何检查；敌手（腐坏的参与方）可以随时注册公钥。

matching sessions

哪些会话被认为是相互匹配的，也有不同的方式。

1. Matching conversations：使用视图/对话（发送和接受的所有消息）作为会话 ID
2. Partner functions：根据某个函数，将视图/对话的函数值作为会话 ID
3. Session IDs are assigned by the adversary：敌手激活某诚实参与方上的会话时，给它提供一个字符串作为会话 ID，约束敌手不能为同一个参与者上的不同会话提供相同字符串

adversary

敌手完全控制了网络，并可以做出如下查询（的子集）。

1. $\text{Send}(M,U,sid)$，将消息 $M$ 发送到参与者 $U$ 上的 $sid$ 会话
2. $\text{Reveal}(U,sid)$，泄露参与者 $U$ 上已完成会话 $sid$ 的会话密钥
3. $\text{Session-State Reveal}(U,sid)$，泄露参与者 $U$ 上未完成会话 $sid$ 的会话状态
4. $\text{Corrupt}(U)$，腐坏参与者 $U$，获得完全控制权
5. $\text{Test}(U,sid)$，将参与者 $U$ 上已完成会话 $sid$ 设为 test session，限制敌手只能做一次该问询

freshness

会话的新鲜度，也有多种定义方式。

1. 基础定义：敌手没有腐坏该会话的 owner 及其 peer，并且没有对该会话或者其匹配会话（如果存在的话）发起 $\text{Reveal}$ 或者 $\text{Session-State Reveal}$ 攻击。
2. 在上述的基础定义上，额外禁止敌手对任意参与者执行 $\text{Corrupt}$ 攻击。
3. 在上述的基础定义上，允许敌手腐坏 owner，前提是该会话已经完成；允许敌手腐坏 peer，前提是其匹配会话已经完成。

General AKE Security

不同的组件，将会组合出不同的 AKE 安全性。[LLM07] 定义了如下的 “一般” 安全性，

eCK Security

[LLM07] 重新定义了敌手的问询方式，以解放 CK 模型中敌手的能力，从而把 CKI, MEX, wPFS 都自然地捕获。此外，[LLM07] 不再像 [CK01] 那样要求协议本身给出会话状态的泄露，而是把所有 session-specific information 视为短期密钥；会话的行为由长期密钥、短期密钥和对话所完全确定。事实上，短期密钥可以被设定为会话的全部随机带。

eCK 模型中的敌手问询包含：

1. $\text{Send}(M,U,sid)$，将消息 $M$ 发送到参与者 $U$ 上的 $sid$ 会话
2. $\text{Reveal}(U,sid)$，泄露参与者 $U$ 上已完成会话 $sid$ 的会话密钥
3. $\text{Ephemeral Key Reveal}(U,sid)$，泄露参与者 $U$ 上未完成会话 $sid$ 的短期密钥
4. $\text{Long-Term Key Reveal}(U)$，泄露参与者 $U$ 的长期密钥
5. $\text{Test}(U,sid)$，将参与者 $U$ 上已完成会话 $sid$ 设为 test session，限制敌手只能做一次该问询

原始 CK 模型中的 $\text{Corrupt}(U)$，可以使用 $\text{Reveal}(U,sid)$, $\text{Ephemeral Key Reveal}(U,sid)$ 和 $\text{Long-Term Key Reveal}(U)$，还有敌手监听到的对话，给构造出来。 不过会话状态是由短期密钥、长期密钥和对话联合确定的，所以原本的 $\text{Session-State Reveal}(U,sid)$ 无法构造出来（需要知道长期密钥的间接信息，但是又不能直接得到长期密钥）。 反过来，CK+ 模型也没有捕获任意的密钥泄露。因此 eCK 和 CK+ 是不可比的。

利用上述的敌手问询，新鲜度被定义如下：

• Freshness for Strong AKE Security. 考虑一个已完成会话 $sid$，其拥有者是 $A$，对等方是 $B$，其匹配会话是 $si{d}^{\ast }$（如果存在的话）。我们说该会话是新鲜的，如果：
  1. 敌手没有执行 $\text{Reveal}(A,sid)$ 或者 $\text{Reveal}(B,si{d}^{\ast })$
  2. 敌手没有同时执行 $\text{Long-Term Key Reveal}(A)$ 和 $\text{Ephemeral Key Reveal}(A,sid)$
  3. 如果存在匹配会话 $si{d}^{\ast }$，敌手没有同时执行 $\text{Long-Term Key Reveal}(B)$ 和 $\text{Ephemeral Key Reveal}(B,si{d}^{\ast })$
  4. 如果不存在匹配会话，在会话 $sid$ 完成之前，敌手没有执行 $\text{Long-Term Key Reveal}(B)$
• Freshness for Strong AKE Security for Two-Pass Protocols. 对于两轮消息的协议，需要将 full PFS 放松为 weak PFS，因此做如下的修改
  1. 前三个要求保持不变；
  2. 第四个要求修改为：如果不存在匹配会话，在整个实验阶段内，敌手没有执行 $\text{Long-Term Key Reveal}(B)$

上述的各个条件排除了各种平凡攻击，并要求 Test Session 可以抵御其余的所有攻击（包含了 CKI, MEX 以及 full/weak PFS）。这就把 CK 模型及其未能捕获的三种攻击，都统一在了单个模型里。

使用 General AKE Security 来定义 eCK 安全性，指定 AKE 实验的组件如下：

• 公钥注册采用 Arbitrary Key Registration
• 伙伴关系采用 Matching Conversations
• 敌手可以执行 Send, Reveal, Ephemeral Key Reveal 和 Long-Term Key Reveal
• 新鲜度采用 Freshness for Strong AKE Security (for Two-Pass Protocols)

eCK 安全性考虑了最强的公钥注册和敌手能力，因此它可以导出采用 Matching Conversations 作为伙伴关系的其他全部安全性。

NAXOS

[LLM07] 基于 DH 假设和 DLOG 问题，构造了 eCK 安全的 AKE 协议 NAXOS，如下图所示：

其中 $H_1,H_2$ 是相互独立的随机谕言机。这里将临时秘密 esk 和静态秘密 ssk，都输入到 RO 里以生成 DH 指数（随机带），从而抵御 MEX 攻击；该方法被称为 NAXOS technique，后续的很多研究都使用该技术。