1. 计算每个高斯分布的责任度

责任度（Responsibility） 表示数据点 由第 k 个高斯分布生成的概率占总概率的比例。在 E步（Expectation Step） 中计算。

公式：

其中：

• ​: 责任度，表示数据点 ​ 属于第 k 个高斯分布的概率
• ​: 第 k 个高斯分布的混合权重（满足 ）
• : 高斯分布的概率密度函数 (PDF)
• ​: 第 k 个高斯分布的均值向量
• ​: 第 k 个高斯分布的协方差矩阵
• K: 高斯分布的数量

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2. 使用责任度更新GMM参数

在 M步（Maximization Step） 中，使用上一步计算得到的责任度  更新混合高斯模型的参数，包括 混合权重、均值 和 协方差矩阵。

(1) 更新混合权重

• : 第 k 个高斯分布的混合权重
• N: 数据点的总数

解释： 每个 代表数据点 ​ 由第 k 个分布生成的“责任”，将所有数据点的责任求和并平均即可得到新的混合权重。

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(2) 更新均值

• : 第 k 个高斯分布的均值
• : 数据点 属于第 k 个高斯分布的责任

解释： 使用每个数据点对第 k 个分布的“贡献”（即 ），通过加权平均来更新均值。

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(3) 更新协方差矩阵

• : 第 k 个高斯分布的协方差矩阵
• : 数据点
• ​: 第 k 个高斯分布的均值
• : 数据点 ​ 属于第 k 个高斯分布的责任

解释： 使用责任度加权后的平方误差，计算第 k 个高斯分布的协方差。

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EM算法的完整步骤（总结）

1. 初始化参数：随机初始化混合权重 ​、均值 ​ 和协方差矩阵 ​。

2. E步（Expectation Step）：
   计算每个数据点 ​ 属于第 k 个高斯分布的责任度 ​：

   

3. M步（Maximization Step）：
   更新混合权重 、值 ​ 和协方差矩阵 ：

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4. 重复：
   重复执行 E步 和 M步，直到参数收敛（例如，似然函数的值不再显著变化）。