LeetCode题练习与总结：预测赢家--486

一、题目描述

给你一个整数数组 nums 。玩家 1 和玩家 2 基于这个数组设计了一个游戏。

玩家 1 和玩家 2 轮流进行自己的回合，玩家 1 先手。开始时，两个玩家的初始分值都是 0 。每一回合，玩家从数组的任意一端取一个数字（即，nums[0] 或 nums[nums.length - 1]），取到的数字将会从数组中移除（数组长度减 1 ）。玩家选中的数字将会加到他的得分上。当数组中没有剩余数字可取时，游戏结束。

如果玩家 1 能成为赢家，返回 true 。如果两个玩家得分相等，同样认为玩家 1 是游戏的赢家，也返回 true 。你可以假设每个玩家的玩法都会使他的分数最大化。

示例 1：

输入：nums = [1,5,2]
输出：false
解释：一开始，玩家 1 可以从 1 和 2 中进行选择。
如果他选择 2（或者 1 ），那么玩家 2 可以从 1（或者 2 ）和 5 中进行选择。如果玩家 2 选择了 5 ，那么玩家 1 则只剩下 1（或者 2 ）可选。 
所以，玩家 1 的最终分数为 1 + 2 = 3，而玩家 2 为 5 。
因此，玩家 1 永远不会成为赢家，返回 false 。

示例 2：

输入：nums = [1,5,233,7]
输出：true
解释：玩家 1 一开始选择 1 。然后玩家 2 必须从 5 和 7 中进行选择。无论玩家 2 选择了哪个，玩家 1 都可以选择 233 。
最终，玩家 1（234 分）比玩家 2（12 分）获得更多的分数，所以返回 true，表示玩家 1 可以成为赢家。

提示：

1 <= nums.length <= 20
0 <= nums[i] <= 10^7

二、解题思路

这个问题可以通过动态规划（DP）来求解。动态规划是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。

解题思路如下：

创建一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示当数组剩余部分为下标从 i 到 j 时，当前玩家与另一个玩家的分数之差的最大值。
初始化 dp[i][i] 为 nums[i]，因为当数组中只有一个数字时，当前玩家只能选择这个数字，而另一个玩家没有机会选择。
对于每一个子数组，计算当前玩家可以选择的两个数字（nums[i] 和 nums[j]），并选择能使分数差最大化的数字。具体来说，当前玩家可以选择 nums[i]，然后剩余部分为 i+1 到 j，此时对手会从 dp[i+1][j] 中选择最优策略；或者当前玩家可以选择 nums[j]，然后剩余部分为 i 到 j-1，此时对手会从 dp[i][j-1] 中选择最优策略。当前玩家的分数差为 nums[i] - dp[i+1][j] 或 nums[j] - dp[i][j-1]，取这两种情况的最大值。
填充 dp 数组，按照子数组长度递增的顺序，计算每个子数组的 dp[i][j]。
最后，检查 dp[0][n-1] 是否大于或等于 0，如果是，则玩家 1 可以成为赢家。

三、具体代码

class Solution {public boolean predictTheWinner(int[] nums) {int n = nums.length;int[][] dp = new int[n][n];// 初始化dp数组，当只有一个数字时，当前玩家只能选择这个数字for (int i = 0; i < n; i++) {dp[i][i] = nums[i];}// 填充dp数组for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {for (int j = i + 1; j < n; j++) {dp[i][j] = Math.max(nums[i] - dp[i + 1][j], nums[j] - dp[i][j - 1]);}}// 检查玩家1是否能成为赢家return dp[0][n - 1] >= 0;}
}

四、时间复杂度和空间复杂度

1. 时间复杂度

代码中包含两个嵌套循环，这两个循环用于填充 dp 数组：

外层循环控制 dp 数组的行索引 i，从 n - 2 递减到 0，因此外层循环执行了 n - 1 次。
内层循环控制 dp 数组的列索引 j，从 i + 1 增加到 n - 1。对于每个特定的 i，内层循环的执行次数是 n - i - 1。

因此，我们可以将总执行次数表示为两个循环执行次数的乘积之和：

(n - 1) + (n - 2) + (n - 3) + ... + 1 + 0

这是一个等差数列求和，其和为 (n - 1) * n / 2。由于我们只关心最高阶项，所以时间复杂度可以简化为 O(n^2)。

2. 空间复杂度

空间复杂度取决于代码中使用的额外空间。在给定的代码中，我们使用了一个二维数组 dp，其大小为 n * n，其中 n 是输入数组 nums 的长度。

因此，空间复杂度是 O(n^2)，因为我们需要存储 n^2 个整数值。

五、总结知识点

类定义：定义了一个名为 Solution 的类，这是 Java 中常见的命名方式，用于封装解决问题的方法。
方法定义：在类内部定义了一个名为 predictTheWinner 的公共方法，它接受一个整数数组 nums 作为参数，并返回一个布尔值。
数组长度：使用 int n = nums.length; 获取输入数组的长度。
二维数组：声明并初始化了一个二维数组 dp，用于动态规划计算。
循环结构：
- 初始化循环：使用一个 for 循环来初始化 dp 数组的对角线元素，即当只有一个数字时，当前玩家只能选择这个数字。
- 嵌套循环：使用两个嵌套的 for 循环来填充 dp 数组的其他元素。
动态规划：
- 状态定义：dp[i][j] 表示当数组剩余部分为下标从 i 到 j 时，当前玩家与另一个玩家的分数之差的最大值。
- 状态转移方程：dp[i][j] = Math.max(nums[i] - dp[i + 1][j], nums[j] - dp[i][j - 1]);，这表示当前玩家可以选择 nums[i] 或 nums[j]，并计算这两种选择下的最大分数差。
数学函数：使用 Math.max 函数来计算两个值中的最大值。
条件判断：使用 return dp[0][n - 1] >= 0; 来判断玩家 1 是否能成为赢家，即如果 dp[0][n - 1] 的值大于或等于 0，则玩家 1 赢。
逻辑推理：代码中包含了逻辑推理，即通过动态规划的方式推断出玩家 1 是否能在游戏中获胜。