强化学习基础之贝尔曼期望方程

本文将对强化学习的基础概念、随机过程、数学推导以及分类进行全面总结。我们将确保章节之间思路连贯，内容尽量详细，并在有公式的地方附带解释。希望通过这篇文章，能够帮助读者更深入地理解强化学习的核心原理及其应用。

1. 强化学习基础概念

强化学习（Reinforcement Learning, RL） 是一种机器学习方法，它通过智能体（agent）与环境（environment）之间的互动来学习如何做出最佳决策。智能体通过执行动作（actions）并根据环境反馈的奖励（rewards）来优化其行为策略。最终目标是让智能体学会在给定环境中最大化累积奖励。

状态（State）：描述智能体当前所处的情境。
动作（Action）：智能体可以采取的行为。
奖励（Reward）：环境对智能体行为的即时反馈。
策略（Policy）：决定智能体在每个状态下应采取的动作规则。
价值函数（Value Function）：评估状态或状态-动作对的好坏程度。
模型（Model）：描述环境动态特性的数学表示，通常包括状态转移概率和奖励函数。

2. 随机过程

强化学习（Reinforcement Learning, RL）和马尔科夫决策过程（Markov Decision Process, MDP）有着密切的关系，而马尔科夫链（Markov Chain）是 MDP 的一个特例。理解这两者之间的联系对于掌握强化学习的理论基础非常重要。

2.1 马尔科夫链 (Markov Chain)

马尔科夫链是一种随机过程，它描述了一组状态之间的转换。关键特性是“无记忆性”或称为“马尔科夫性质”，即未来的状态只依赖于当前的状态，而不受之前历史的影响。换句话说，在给定当前状态的情况下，过去的历史对预测未来没有帮助。例如，天气预报可以看作是一个马尔科夫链：明天是否下雨只取决于今天的天气状况，而不是前几周的天气记录。

2.2 马尔科夫决策过程 (Markov Decision Process)

马尔科夫决策过程扩展了马尔科夫链的概念，加入了智能体（Agent）能够采取的动作以及这些动作带来的奖励。MDP定义了一个框架，其中包含：

状态空间（S）：所有可能的状态集合。
动作空间（A）：在每个状态下可选的所有动作集合。
转移概率（P）：从一个状态到另一个状态的概率分布，给定某个动作被采取。
奖励函数（R）：执行某个动作后获得的即时奖励。

在MDP中，智能体根据当前状态选择动作，并依据转移概率进入新的状态，同时收到相应的奖励。目标是找到一种策略，使得长期累积奖励最大化。

2.3 强化学习与 MDP 的关系

强化学习本质上是在解决一个 MDP 问题。通过与环境互动，智能体试图学习最优策略来指导其行为。具体来说：

智能体观察当前状态 $s$ 并选择一个动作 $a$ 。
环境根据转移概率 $P (s^{'} ∣ s, a)$ 将智能体转移到新状态 $s^{'}$ ，并给出奖励 $r$ 。
智能体更新其知识（如价值函数或 Q 值），以改进未来的决策。

因此，可以说强化学习是基于 MDP 的一种方法论，用来处理那些具有不确定性和动态变化的问题。它利用了马尔科夫性质简化了对未来事件的预测，使问题变得更容易处理。许多经典的强化学习算法，如 Q-learning、SARSA 等，都是为了解决特定形式的 MDP 问题而设计的。

简而言之，马尔科夫链提供了关于状态转换的基础数学模型，而马尔科夫决策过程则进一步引入了动作和奖励的概念，构成了强化学习所依赖的核心框架。通过理解和应用这些概念，研究人员和实践者能够构建出更有效的学习算法，让智能体学会如何在复杂环境中做出更好的决策。

3. 数学相关的推导

3.1 状态价值函数 $V (s)$

状态价值函数 $V_\pi(s)$ 表示从状态 $s$ 开始，并遵循某一策略 $\pi$ ，所能获得的未来累积奖励的期望值。它衡量的是在一个给定状态下，按照当前策略继续行动的长期效果。

$V_\pi(s) = \mathbb{E}_\pi \left[ G_t \mid S_t = s \right]$

$V_\pi(s)$ ：表示在策略 $\pi$ 下，从状态 $s$ 开始所能获得的未来累积奖励的期望值。
$\mathbb{E}_\pi$ ：表示根据策略 $\pi$ 的期望（平均）值。
$G_t$ ：是从时间步 $t$ 开始的累积奖励，即未来的总奖励，通常定义为：

$G_t = R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \gamma^2 R_{t+3} + \cdots$

$R_{t+i}$ ：是在时间步 $t + i$ 获得的即时奖励。
$\gamma$ ：是折扣因子（ $\leq \gamma < 1$ ），用于衡量未来奖励的重要性。较小的 $\gamma$ 意味着更重视即时奖励，而较大的 $\gamma$ 则更看重未来的奖励。

3.2 动作价值函数 $Q (s, a)$

动作价值函数 $Q_\pi(s, a)$ 表示从状态 $s$ 开始，采取动作 $a$ ，然后遵循某一策略 $\pi$ ，所能获得的未来累积奖励的期望值。它不仅依赖于状态 $s$ ，还明确考虑了特定动作 $a$ 的影响。

$Q_\pi(s, a) = \mathbb{E}_\pi \left[ G_t \mid S_t = s, A_t = a \right]$

$Q_\pi(s, a)$ ：表示在策略 $\pi$ 下，从状态 $s$ 开始，采取动作 $a$ 后所能获得的未来累积奖励的期望值。
$\mathbb{E}_\pi$ ：表示根据策略 $\pi$ 的期望（平均）值。
$G_t$ ：是从时间步 $t$ 开始的累积奖励，定义同上。

3.3 贝尔曼期望方程

贝尔曼期望方程是用于计算状态价值函数 $V_\pi(s)$ 和动作价值函数 $Q_\pi(s, a)$ 的关键工具。它们展示了如何通过考虑所有可能的后续状态和动作来计算一个状态或状态-动作对的价值。

对于状态价值函数 $V_\pi(s)$ ：

$V_\pi(s) = \sum_a \pi(a|s) \sum_{s', r} p(s', r | s, a) [r + \gamma V_\pi(s')]$

$\pi(a|s)$ ：表示在状态 $s$ 下选择动作 $a$ 的概率。
$p (s^{'}, r ∣ s, a)$ ：表示从状态 $s$ 执行动作 $a$ 后转移到新状态 $s^{'}$ 并获得奖励 $r$ 的概率。

这个公式的意思是：当前状态 $s$ 的价值等于根据当前策略 $\pi$ 选择动作后，所有可能的结果（新状态 $s^{'}$ 和即时奖励 $r$ ）所带来的即时奖励加上未来奖励的加权平均值。

对于动作价值函数 $Q_\pi(s, a)$ ：

$Q_\pi(s, a) = \sum_{s', r} p(s', r | s, a) \left[ r + \gamma \sum_{a'} \pi(a' | s') Q_\pi(s', a') \right]$

$p (s^{'}, r ∣ s, a)$ ：表示从状态 $s$ 执行动作 $a$ 后转移到新状态 $s^{'}$ 并获得奖励 $r$ 的概率。
$\pi(a' | s')$ ：表示在新状态 $s^{'}$ 下选择动作 $a^{'}$ 的概率。

这个公式的意思是：当前状态-动作对 $(s, a)$ 的价值等于执行该动作后，所有可能的结果（新状态 $s^{'}$ 和即时奖励 $r$ ）所带来的即时奖励加上未来奖励的加权平均值。

3.4 最优贝尔曼等式

当策略达到最优时（即 $\pi^*$ ），V 值和 Q 值之间的关系变得更加简单：

$V^*(s) = \max_a Q^*(s, a)$

这表明，在最优情况下，一个状态的价值等于该状态下所有可能动作的最大 Q 值。

$Q^*(s, a) = \sum_{s', r} p(s', r | s, a) [r + \gamma V^*(s')]$

这说明最优 Q 值可以通过考虑即时奖励加上后续状态的最大 V 值来计算。

4. 强化学习的分类

强化学习可以根据不同的角度进行分类，以下是几个主要的分类方式：

4.1 按照是否需要环境模型

基于模型的方法：智能体拥有环境的完整或部分模型，可以预测未来的状态和奖励。这种方法通常更适合已知环境结构的任务。
无模型方法：智能体直接从与环境的交互中学习，不需要显式的环境模型。这类方法更灵活，适用于未知或复杂的环境。

4.2 按照学习方式

值函数方法：通过估计状态或状态-动作对的价值来指导决策，如 Q-learning、SARSA。
策略梯度方法：直接优化策略参数以最大化预期奖励，如 REINFORCE、PPO。
Actor-Critic 方法：结合了值函数和策略梯度的优点，包含两个组件：“演员（Actor）”负责选择动作，“评论家（Critic）”评估这些动作的好坏。

4.3 按照探索与利用的平衡

ε-greedy 策略：大多数时间选择当前估计的最佳动作（利用），偶尔随机选择其他动作（探索）。具体公式如下：

$\pi(a|s) = \begin{cases} 1 - \epsilon + \frac{\epsilon}{|A|}, & \text{如果 } a = \arg\max_{a'} Q(s, a') \\ \frac{\epsilon}{|A|}, & \text{否则} \end{cases}$