时间复杂度与空间复杂度计算方法介绍

文章目录

时间复杂度（Time Complexity）
- 基本概念
- 示例
空间复杂度（Space Complexity）
- 基本概念
- 示例
参考

时间复杂度（Time Complexity）

基本概念

时间复杂度衡量的是算法执行所需的时间，它通常表示为输入数据的规模 ( n ) 的函数。

一个算法执行所耗费的时间，从理论上说是不能算出来的，因为只有当把程序放在机器上跑起来，才能知道具体时间。但是需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。

一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
大 O 符号（Big O Notation）：用来描述算法的时间复杂度的上界，表示最坏情况下的时间增长趋势。
常见的时间复杂度：
- O(1) ：常数时间复杂度，不随输入规模变化。eg：O(100) -> O(1)
- O(log n) ：对数时间复杂度，常见于二分查找。
- O(n) ：线性时间复杂度，常见于简单遍历算法。
- O(n log n) ：线性对数时间复杂度，常见于快速排序、归并排序。
- O(n²) ：平方时间复杂度，常见于嵌套循环。
- O(2ⁿ) ：指数时间复杂度，常见于递归的组合问题。
- O(n!) ：阶乘时间复杂度，常见于排列问题。
计算方法
- 逐步分析法：分析算法的每一行代码，累加时间复杂度。
  - 赋值语句、算术运算、比较运算等基本操作的时间复杂度都是 O(1)
  - 对于循环结构，如果循环次数是 n ，那么该部分的时间复杂度是 O(n)
  - 对于嵌套循环，如果内外层分别有 n 次和 m 次，那么时间复杂度是 O(n^m)
- 取最大量级：最终时间复杂度为各部分时间复杂度的最大值。忽略系数和低阶项。
  - 忽略低阶项：eg：O(N^2+N) -> O(N^2)
  - 忽略系数：eg：O(2N^2) -> O(N^2)
    
    如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数

示例

常数时间复杂度 O(1)
```
int a = 10;
int b = a + 5;
```
说明：无论输入数据的规模如何，上述代码中的每个操作都只需要常数时间。因此，这段代码的时间复杂度是 O(1)
线性时间复杂度 O(n)

示例1：
```
for (int i = 0; i < n; i++) {// O(1) 操作
}
```
说明：这里有一个简单的循环，循环执行了 n 次，每次循环执行 O(1) 的操作。因此，总时间复杂度是 O(n)

示例2：
```
for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = i; j < n; j++) {// O(1) 操作}
}
```
说明：在这个例子中，循环运行了 n 次，每次加法操作的时间复杂度是 O(1)。因此，总时间复杂度是 O(n) 。
平方时间复杂度 O(n²)

示例1：
```
for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {// O(1) 操作}
}
```
说明：这是一个双重嵌套循环。外层循环执行 n 次，内层循环也执行 n 次，每次内层循环的操作时间复杂度是 O(1)。因此，总时间复杂度是 O(n×n) = O(n²)

示例2：
```
for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = i; j < n; j++) {// O(1) 操作}
}
```
说明：在这个例子中，内层循环的次数随外层循环的次数变化，第一次内层循环执行 n 次，第二次执行 n−1 次，以此类推，总时间复杂度为 O(n(n+1)/2) ，简化后依然为 O(n²)

对数时间复杂度 O(log n)

示例：

int binarySearch(int arr[], int n, int target) {int low = 0;int high = n - 1;while (low <= high) {int mid = low + (high - low) / 2;if (arr[mid] == target)return mid;else if (arr[mid] < target)low = mid + 1;elsehigh = mid - 1;}return -1;
}

说明：这是二分查找算法的实现。在每次循环中，搜索区间都减半，因此时间复杂度为 O(log n)

线性对数时间复杂度 O(n log n)

示例：
```
void mergeSort(int arr[], int l, int r) {if (l < r) {int m = l + (r - l) / 2;mergeSort(arr, l, m);mergeSort(arr, m + 1, r);merge(arr, l, m, r);}
}
```
说明：归并排序是一种典型的 O(n log n) 时间复杂度算法。它将数组递归地分成两半，直到每个子数组只剩一个元素，然后再合并这些子数组。每次合并的复杂度是 O(n) ，递归深度是 O(log n) ，因此总时间复杂度为 O(n log n)
指数时间复杂度 O(2ⁿ)

示例：
```
int fibonacci(int n) {if (n <= 1)return n;elsereturn fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);
}
```
说明：这里是递归计算斐波那契数列的代码。每次递归调用都需要计算两个子问题，导致时间复杂度为 O(2ⁿ) 。这种复杂度通常会导致非常长的执行时间，不适用于大规模数据。

空间复杂度（Space Complexity）

基本概念

空间复杂度衡量的是算法执行过程中所需的存储空间，它表示为输入数据规模 ( n ) 的函数。
大O符号：同样使用大O符号表示，表示所需空间的增长趋势。
常见的空间复杂度：
- O(1) ：常数空间复杂度，表示不随输入规模变化的额外空间需求。
- O(n) ：线性空间复杂度，表示需要与输入规模成正比的空间。
- O(n²) ：平方空间复杂度，表示需要与输入规模平方成正比的空间。
计算方法
- 逐步分析法：分析算法中所需的存储空间，累加所有部分的空间复杂度。
- 简单变量（如整型、浮点型）占用的空间是 ( O(1) )。
- 数组、列表等数据结构占用的空间与其长度有关，例如一个长度为 ( n ) 的数组占用的空间是 ( O(n) )。
  递归调用时，需要考虑调用栈的空间开销。

示例

常数空间复杂度 O(1)

示例：
```
int a = 5;
int b = 10;
int c = a + b;
```
说明：无论输入数据的规模如何，这段代码只占用了固定的内存空间。因此，空间复杂度是 O(1)
线性空间复杂度 O(n)

示例：
```
int arr[n];
```
说明：如果声明了一个长度为 n 的数组，那么空间复杂度是 O(n) ，因为数组的大小随 n 的增加而增加
平方空间复杂度 O(n²)

示例：
```
int matrix[n][n];
```
说明：这里声明了一个 n×n 的矩阵，因此空间复杂度为O(n²) ，因为存储该矩阵所需的空间随 n 的平方增长

指数空间复杂度 O(2ⁿ)

示例：

void allSubsets(int arr[], int n) {int subset_count = pow(2, n);for (int i = 0; i < subset_count; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if (i & (1 << j))printf("%d ", arr[j]);}printf("\n");}
}