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题目描述

$\text{hhuggo}$ 把 $\text{kouki}$ 的平板拿走了导致 $\text{kouki}$ 不能打《Phigros》！他给了 $\text{kouki}$ 一个整数 $x$ 和一个整数数组 $a_1,a_2,...,a_n$ 。$\text{kouki}$ 必须确定 $a_1!+a_2!+...+a_n!$ 是否能被 $x!$ 整除，答对了才能拿回他的平板（绝对不是因为 $\text{hhuggo}$ 写不出题目而不好意思去问 $\text{kiwi}$ 于是转而婉转地去问 $\text{kouki}$）。

众所周知，这里的 $k!$ 是 $k$ 的阶乘，即所有小于或等于 $k$ 的正整数的乘积。例如， $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ ， $5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120 $。

输入输出格式

【输入格式】

测试用例的第一行包含两个整数 $n$ 和 $x$。

第二行包含 $n$ 个整数 $a_1,a_2,...,a_n$ ，表示给定数组的元素。

【输出格式】

对于每个测试用例，输出一行。如果 $a_1!+a_2!+...+a_n!$ 能被 $x!$ 整除，则打印 “YES”(不带引号)，否则打印 “NO”(不带引号)。
注意答案输出的大小写问题,答案仅接受全大写的“YES"和“NO”。

数据范围

$1\le n\le 5\times 10^5$

$1\le x\le 5\times 10^5$

$1\le a_i\le x$

测试样例

6 4
3 2 2 2 3 3

YES

10 5
4 3 2 1 4 3 2 4 3 4

NO

样例说明

在第一个样例中，$3!+2!+2!+2!+3!+3!=24$，而且$4!=24$，所以输出 YES 。

思路

简明题意

给出一个长度为 $n$ 的数组 $a$ ，给出一个正整数 $x$ ，保证数组 $a$ 里面的元素都是正整数。问$a_1!+a_2!+a_3!...+a_n!$ 是否能被 $x!$ 整除。

对于 $1<k<x$，我们需要把 $k!$ 向 $(k+1)!$ 合并，合并后可能会产生一些无法合并的余项。
这些余项最多是$$(x-1)\ast (x-1)!+(x-2)\ast (x-2)!+...+1\ast 1!$$ 而 $$x!=(x-1)\ast (x-1)!+(x-2)\ast (x-2)!+...+1\ast 1!+1$$所以余项一定严格小于x!，所以只要有余项，就输出”NO”，否则就是YES”

代码

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 10;  // 数组大小int n, x, a, num[N];  // n为乘客数，x为判断的目标阶乘，num数组用于记录每个数出现的次数void solve() {cin >> n >> x;  // 输入数组大小n和目标阶乘x// 初始化num数组for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> a;  // 输入每个数组元素num[a]++;  // 记录该元素出现的次数}// 从1到x-1检查是否能合并至 x!for (int i = 1; i < x; i++) {num[i+1] += num[i] / (i + 1);  // 将i!合并到(i+1)!num[i] %= (i + 1);  // 计算当前余项if (num[i]) {  // 如果有余项，说明无法合并至x!cout << "NO\n";  // 输出 NOreturn;  // 结束当前测试用例}}// 如果没有余项，则可以被x!整除cout << "YES\n"; 
}int main() {int T = 1; while (T--) solve();return 0;
}

复杂度分析

时间复杂度

输入部分：读取每个测试用例的数据需要 $O(n)$ 时间，最多有 $n$ 个元素。
合并和检查部分：对于每个数组元素，我们最多执行 $x$ 次合并操作，每次合并操作的复杂度为常数 $O(1)$。
总体时间复杂度：由于每个测试用例的处理时间是 $O(n+x)$，而根据题目中的数据范围，最大 $n$ 和 $x$ 都为 $5\times 10^5$，所以总的时间复杂度为 $O(n+x)$，即 $O(10^5)$，对于所有测试用例，时间复杂度为 $O({\sum }_{i=1}(n_i+x_i))$

空间复杂度

我们使用了一个大小为 $N$ 的数组 $num[]$ 来记录每个元素的出现次数，大小为 $O(N)$。
所以空间复杂度为 $O(N)$，其中 $N$ 为题目给定的最大值（在此问题中最大为 $5\times 10^5$）