【数学建模笔记】评价模型-基于熵权法的TOPSIS模型

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本系列文章和课程一样，只使用Python实现，好久没玩数学建模了
国赛中不能再用TOPSIS，可以做辅助算法。

1. 算法原理

熵权TOPSIS方法是一种结合熵权法和TOPSIS的决策分析模型。

首先使用熵权法确定各指标的权重；
然后采用TOPSIS方法对备选防范进行评价和排序。

（可以把TOPSIS换成别的评价方法，或者赋权重方法换成不是熵权法的方法，比如随机森林，也可以在TOPSIS之前聚个类）

1.1 熵权法（Entropy Weight Method）

熵权法基于信息熵理论，用于计算决策指标的权重。信息是可以反映指标值分布的均匀性，信息熵越大，指标值的分布越均匀，其所含信息越少，相应的权重也越小。

1.1.1 标准化处理

设有 $m$ 个评价对象， $n$ 个评价指标。原始数据矩阵为 $\boldsymbol{X}=[x_{ij}]$ ，其中 $x_{ij}$ 表示第 $i$ 个评价对象在第 $j$ 个指标上的表现，标准化后的数据矩阵 $\boldsymbol{R}=[r_{ij}]$ 可通过以下公式得到：
$r_{i j}=\frac{x_{i j}}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{m} x_{i j}^{2}}}$
需要统一量纲，进行标准化处理，要不然算法不容易收敛。

1.1.2 计算熵值 $e_j$

$p_{i j}=\frac{r_{i j}}{\sum\limits_{i=1}^{m} r_{i j}}$
$e_{j}=-k \sum\limits_{i=1}^{m} p_{i j} \log \left(p_{i j}\right)$ ，其中 $k=\frac{1}{\log m}$ ，如果 $p_{ij}=0$ ，则 $p_{ij}\log(p_{ij})=0$ .

1.1.3 计算权重 $w_j$

$d_j=1-e_j$
求出权重 $w_{j}=\frac{d_{j}}{\sum\limits_{j=1}^{n} d_{j}}$

1.2 TOPSIS方法

TOPSIS是一种基于距离的方法，用于评估和选择最佳方案。方法是通过计算每个方案与理想最优解（正理想解）和最差解（负理想解）的距离来进行排序。

1.2.1 计算加权标准化决策矩阵

计算加权标准化决策矩阵 $\boldsymbol{V}=[v_{ij}]$ ： $v_{i j}=w_{j} \cdot r_{i j}$ .

1.2.2 确定正理想解 $\boldsymbol{A}^{+}$ 和负理想解 $\boldsymbol{A}^{-}$

正理想解是解中更好的部分，负理想解是解中更差的部分。
$A^{+}=\left(\max _{i \leq m} v_{i j}\right. ，对于利益型指标； \min _{i \leq m} v_{i j} ，对于成本型指标 ) \\ A^{-}=\left(\min _{i \leq m} v_{i j}\right. ，对于利益型指标； \max _{i \leq m} v_{i j} ，对于成本型指标 )$
算法的终极目的是越靠近好的越远离差的。利益型指标是越大越好，成本型指标是越小越好。不一定非要利益型或者成本型，有时候要选择没有波动性值……可以在这儿改进。