高等数学（第七版）同济大学习题8-4 个人解答

高等数学（第七版）同济大学习题8-4

函数作图软件：Mathematica

$\begin{aligned}&1. \ 求过点(4, \ -1, \ 3)且平行于直线\frac{x-3}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{5}的直线方程.&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 所求直线与已知直线平行，所求直线的方向向量s=(2,\ 1, \ 5)，直线方程为\frac{x-4}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{5} & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&2. \ 求过两点M_1(3, \ -2, \ 1)和M_2(-1, \ 0, \ 2)的直线方程.&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 所求直线的方向向量s=\overrightarrow{M_1M_2}=(-1-3, \ 0-(-2), \ 2-1)=(-4, \ 2, \ 1)，所求直线方程为\frac{x-3}{-4}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{1}. & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&3. \ 用对称式方程及参数方程表示直线\begin{cases}x-y+z=1，\\\\2x+y+z=4.\end{cases}.&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 根据题意可知直线的方向向量s=\left|\begin{array}{cccc}i &j &k\\1 &-1 &1\\2 &1 &1\end{array}\right|=(-2, \ 1, \ 3).取x=0，代入直线方程得\begin{cases}-y+z=1，\\\\y+z=4.\end{cases}\\\\ &\ \ 解得y=\frac{3}{2}，z=\frac{5}{2}，得到直线经过得一点\left(0,\ \frac{3}{2}, \ \frac{5}{2}\right)，则直线的对称式方程为\frac{x-0}{-2}=\frac{y-\frac{3}{2}}{1}=\frac{z-\frac{5}{2}}{3}，\\\\ &\ \ 参数方程为\begin{cases}x=-2t，\\\\y=\frac{3}{2}+t，\\\\z=\frac{5}{2}+3t.\end{cases} & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&4. \ 求过点(2, \ 0, \ -3)且与直线\begin{cases}x-2y+4z-7=0，\\\\3x+5y-2z+1=0.\end{cases}垂直的平面方程.&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 根据题意，所求平面的法向量可取直线的方向向量，即n=s=\left|\begin{array}{cccc}i &j &k\\1 &-2 &4\\3 &5 &-2\end{array}\right|=(-16, \ 14, \ 11)，\\\\ &\ \ 所求平面方程为-16(x-2)+14(y-0)+11(z+3)=0，即16x-14y-11z-65=0. & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&5. \ 求直线\begin{cases}5x-3y+3z-9=0，\\\\3x-2y+z-1=0.\end{cases}与直线\begin{cases}2x+2y-z+23=0，\\\\3x+8y+z-18=0.\end{cases}的夹角的余弦.&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 已知两直线的方向向量分别为s_1=\left|\begin{array}{cccc}i &j &k\\5 &-3 &3\\3 &-2 &1\end{array}\right|=(3, \ 4, \ -1)，s_2=\left|\begin{array}{cccc}i &j &k\\2 &2 &-1\\3 &8 &1\end{array}\right|=(10, \ -5, \ 10)，\\\\ &\ \ 两直线的夹角的余弦cos\ \theta=cos\ \widehat{(s_1, \ s_2)}=\frac{s_1\cdot s_2}{|s_1|\ |s_2|}=\frac{3\times 10-4\times 5-1\times 10}{\sqrt{3^2+4^2+(-1)^2}\sqrt{10^2+(-5)^2+10^2}}=0. & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&6. \ 证明直线\begin{cases}x+2y-z=7，\\\\-2x+y+z=7.\end{cases}与直线\begin{cases}3x+6y-3z=8，\\\\2x-y-z=0.\end{cases}平行.&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 已知两直线的方向向量分别是s_1=\left|\begin{array}{cccc}i &j &k\\1 &2 &-1\\-2 &1 &1\end{array}\right|=(3, \ 1, \ 5)，s_2=\left|\begin{array}{cccc}i &j &k\\3 &6 &-3\\2 &-1 &-1\end{array}\right|=(-9, \ -3, \ -15)，\\\\ &\ \ 因为s_2=-3s_1，所以两直线平行. & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&7. \ 求过点(0, \ 2, \ 4)且与两平面x+2z=1和y-3z=2平行的直线方程.&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 所求直线与两个平面平行，所以所求直线的方向向量可取s=n_1\times n_2=\left|\begin{array}{cccc}i &j &k\\1 &0 &2\\0 &1 &-3\end{array}\right|=(-2, \ 3, \ 1)，\\\\ &\ \ 所求直线方程为\frac{x-0}{-2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-4}{1}. & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&8. \ 求过点(3, \ 1, \ -2)且通过直线\frac{x-4}{5}=\frac{y+3}{2}=\frac{z}{1}的平面方程.&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 利用平面束方程，过直线\frac{x-4}{5}=\frac{y+3}{2}=\frac{z}{1}的平面束方程为\frac{x-4}{5}-\frac{y+3}{2}+\lambda\left(\frac{y+3}{2}-z\right)=0，\\\\ &\ \ 将点(3, \ 1, \ -2)代入上式得\lambda=\frac{11}{20}，则所求平面方程为\frac{x-4}{5}-\frac{y+3}{2}+\frac{11}{20}\left(\frac{y+3}{2}-z\right)=0，\\\\ &\ \ 即8x-9y-22z-59=0 & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&9. \ 求直线\begin{cases}x+y+3z=0，\\\\x-y-z=0.\end{cases}与平面x-y-z+1=0的夹角.&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 已知直线的方向向量s=\left|\begin{array}{cccc}i &j &k\\1 &1 &3\\1 &-1 &-1\end{array}\right|=(2, \ 4, \ -2)，平面的法向量n=(1, \ -1, \ -1)，\\\\ &\ \ 设直线与平面的夹角为\varphi，则sin\ \varphi=|cos\ \widehat{(n, \ s)}|=\frac{|s\cdot n|}{|s|\ |n|}=\frac{|2\cdot 1+4\cdot (-1)+(-2)\cdot(-1)|}{\sqrt{2^2+4^2+(-2)^2}\sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2}}=0，即\varphi=0. & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&10. \ 试确定下列各组中的直线和平面间的关系：&\end{aligned}$

$\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \frac{x+3}{-2}=\frac{y+4}{-7}=\frac{z}{3}和4x-2y-2z=3；\\\\ &\ \ (2)\ \ \frac{x}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{7}和3x-2y+7z=8；\\\\ &\ \ (3)\ \ \frac{x-2}{3}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-4}和x+y+z=3. & \end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 设直线的方向向量s，平面的法向量为n，直线与平面的夹角为\varphi，且sin\ \varphi=|cos\ \widehat{(n, \ s)}|=\frac{|s\cdot n|}{|s|\ |n|}.\\\\ &\ \ (1)\ s=(-2, \ -7, \ 3)，n=(4, \ -2, \ -2)，sin\ \varphi=\frac{|(-2)\cdot 4+(-7)\cdot(-2)+3\cdot(-2)|}{\sqrt{(-2)^2+(-7)^2+3^2}\sqrt{4^2+(-2)^2+(-2)^2}}=0，即\varphi=0，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 所以直线平行于平面或在平面上，将直线上的点A(-3, \ -4, \ 0)代入方程，方程不成立，所以点A不在平面上，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 直线不在平面上，与平面平行.\\\\ &\ \ (2)\ s=(3, \ -2, \ 7)，n=(3, \ -2, \ 7)，sin\ \varphi=\frac{|3\cdot3+(-2)\cdot(-2)+7\cdot7|}{\sqrt{3^2+(-2)^2+7^2}\sqrt{3^2+(-2)^2+7^2}}=1，即\varphi=\frac{\pi}{2}，直线与平面垂直.\\\\ &\ \ (3)\ s=(3, \ 1, \ -4)，n=(1, \ 1, \ 1)，sin\ \varphi=\frac{|3\cdot1+1\cdot1+(-4)\cdot1|}{\sqrt{3^2+1^2+(-4)^2}\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=0，即\varphi=0，将直线上的\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 点A(2, \ -2, \ 3)代入方程，方程成立，即点A在平面上，直线在平面上. & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&11. \ 求过点(1, \ 2, \ 1)而与两直线\begin{cases}x+2y-z+1=0，\\\\x-y+z-1=0.\end{cases}和\begin{cases}2x-y+z=0，\\\\x-y+z=0.\end{cases}平行的平面方程.&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 两直线的方向向量为s_1=\left|\begin{array}{cccc}i &j &k\\1 &2 &-1\\1 &-1 &1\end{array}\right|=(1, \ -2, \ -3)，s_2=\left|\begin{array}{cccc}i &j &k\\2 &-1 &1\\1 &-1 &1\end{array}\right|=(0, \ -1, \ -1)，\\\\ &\ \ 取n=s_1\times s_2=\left|\begin{array}{cccc}i &j &k\\1 &-2 &-3\\0 &-1 &-1\end{array}\right|=(-1, \ 1, \ -1)，则过点(1, \ 2, \ 1)，以n为法向量的平面方程为\\\\ &\ \ -1\cdot(x-1)+1\cdot(y-2)-1\cdot(z-1)=0，即x-y+z=0. & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&12. \ 求点(-1, \ 2, \ 0)在平面x+2y-z+1=0上的投影.&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 过点(-1, \ 2, \ 0)与平面x+2y-z+1=0垂直的直线为\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-0}{-1}，参数方程为\begin{cases}x=-1+t，\\\\y=2+2t，\\\\z=-t.\end{cases}，\\\\ &\ \ 代入平面方程得-1+t+2\cdot(2+2t)-(-t)+1=0，得t=-\frac{2}{3}，所求点(-1, \ 2, \ 0)在平面x+2y-z+1=0上\\\\ &\ \ 的投影为\left(-\frac{5}{3}, \ \frac{2}{3}, \ \frac{2}{3}\right). & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&13. \ 求点P(3, \ -1, \ 2)到直线\begin{cases}x+y-z+1=0，\\\\2x-y+z-4=0.\end{cases}的距离.&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 直线的方向向量s=\left|\begin{array}{cccc}i &j &k\\1 &1 &-1\\2 &-1 &1\end{array}\right|=(0, \ -3, \ -3)，在直线上取点(1, \ -2, \ 0)，直线的方程可表示为\\\\ &\ \ 参数方程\begin{cases}x=1，\\\\y=-2-3t，\\\\z=-3t\end{cases}（1）,过点P(3, \ -1, \ 2)，以s=(0, \ -3, \ -3)为法向量的平面方程为\\\\ &\ \ -3\cdot(y+1)-3\cdot(z-2)=0，即y+z-1=0.(2)将(2)式代入(1)式，得t=-\frac{1}{2}，于是直线与平面的交点\\\\ &\ \ 为\left(1, \ -\frac{1}{2}, \ \frac{3}{2}\right)，所求距离为d=\sqrt{(3-1)^2+\left(-1+\frac{1}{2}\right)^2+\left(2-\frac{3}{2}\right)^2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}. & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&14. \ 设M_0是直线L外一点，M是直线L上任意一点，且直线的方向向量为s，试证：点M_0到直线L\\\\&\ \ \ \ \ \ 的距离d=\frac{|\overrightarrow{M_0M} \times s|}{|s|}.&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 点M_0到直线L的距离为d，由向量积的几何意义可知|\overrightarrow{M_0M}\times s|表示以\overrightarrow{M_0M}，s为邻边的平行四边形的面积，\\\\ &\ \ 而\frac{|\overrightarrow{M_0M} \times s|}{|s|}表示以|s|为边长的该平行四边形的高，即为点M_0到直线L的距离，于是d=\frac{|\overrightarrow{M_0M} \times s|}{|s|}. & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&15. \ 求直线\begin{cases}2x-4y+z=0，\\\\3x-y-2z-9=0.\end{cases}在平面4x-y+z=1上的投影直线的方程.&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 作过已知直线的平面束，在该平面束中找出与已知平面垂直的平面，该平面与已知平面的交线为所求，\\\\ &\ \ 设过直线\begin{cases}2x-4y+z=0，\\\\3x-y-2z-9=0.\end{cases}的平面束方程为2x-4y+z+\lambda(3x-y-2z-9)=0，整理得\\\\ &\ \ (2+3\lambda)x+(-4-\lambda)y+(1-2\lambda)z-9\lambda=0，由(2+3\lambda)\cdot 4+(-4-\lambda)\cdot(-1)+(1-2\lambda)\cdot 1=0，\\\\ &\ \ 得\lambda=-\frac{13}{11}，代入平面束方程，得17x+31y-37z-117=0，所求投影直线的方程为\\\\ &\ \ \begin{cases}17x+31y-37z-117=0，\\\\4x-y+z=1.\end{cases} & \end{aligned}$