高等数值计算方法学习笔记第4章第一部分【数值积分（数值微分）】
- 一、数值积分概论
- 1.数值求积的基本思想(牛-莱公式找不到原函数，用矩形近似)
- 2.代数精度的概念
- 1.上述四个公式的代数精度（梯形，左中右矩形公式）
- 2.利用代数精度的概念构造求积公式
- 3.插值型的求积公式
- 二、牛顿-柯特斯公式（第二次课）
- 1.柯特斯系数
- ##############公式表格##############
- 2.例题（5个）
- 3.牛顿-柯特斯公式的代数精度（定理4-2）
- 4.回顾、加强与补充学习
- 三、复合（化）求积公式
- 1.问题与基本思想
- 2.复合梯形公式
- 3.复合辛普森公式
- ############复合公式表格###############
- 4.例题（3个）
- 5.定理证明
一、数值积分概论
1.数值求积的基本思想(牛-莱公式找不到原函数，用矩形近似)
I是Integral
梯形公式就是：上底加下底乘高除2。
如表面意思，左右中就代表取函数的左右中的端点值。
这里累计求和就是分段求近似解。Ak类似于(b-a) xk可以取左右中等。
2.代数精度的概念
定义4-1
如果某个求积公式对于次数不超过 m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次的多项式就不准确成立, 则称该求积公式具有m 次代数精度。
1.上述四个公式的代数精度（梯形，左中右矩形公式）
梯形
左中右矩形公式同理，将公式代入就行。
| 公式 | 具有的代数精度 |
|---|---|
| 左矩形公式 | 0 |
| 中矩形公式 | 1 |
| 右矩形公式 | 0 |
| 梯形公式 | 1 |
2.利用代数精度的概念构造求积公式
3个未知数，构造三个方程，解方程。（积分区间为相反数，奇函数结果为0）：
4个未知数，构造四个方程，解方程：
3.插值型的求积公式
什么是拉格朗日插值多项式？（点击！！！）
R是Remainder
书101页
公式：
ω n + 1 = ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) . . . ( x − x n ) \omega _{n+1}=(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n) ωn+1=(x−x0)(x−x1)...(x−xn)
1.11是带权积分中值定理。后面用到。
parabola抛物线
L是Lagrange拉格朗日
二、牛顿-柯特斯公式（第二次课）
1.柯特斯系数
柯特斯系数推导要记忆。其实就是将k-j分母连乘提取出来并且将h=(b-a)/n带入即可。
注意k取(0,1,2,3...n)
此处需要推导：
出现负数不稳定的原因是因为前面的带权积分中值定理，需要不变号才能成立。
##############公式表格##############
| 名称 | 公式 | 误差(余项) |
|---|---|---|
| 梯形公式 |  |  |
| 辛普森(Simpson)公式 |  |  展开得： |
| 柯特斯(Cotes)公式 |  |  (不做要求) |
| 插值型的求积公式 |  |  |
公式好记 ∑ k = 0 n A k f k \sum_{k=0}^{n} A_kf_k ∑k=0nAkfk其中fk是均分的，然后系数Ak需要记忆。
e=2.718281828459
2.例题（5个）
其中C是Continuous。C2代表二阶导连续。同理Cn代表n阶导连续。
注意k取(0,1,2,3...n)套上面公式即可。
1,4,1公式
H是Hermite。什么是Hermite？埃尔米特插值 点击！！！
第三个等式到第四个等式用到了上面的带权积分中值定理。 g(x)不变号，f(x)可以提取出来。
7，32，12，32，7
什么是截断误差？点击！！
例题4的这个积分其实就是π= 3.1415926
什么是截断误差？点击！！
套公式！
e=2.718281828459
3.牛顿-柯特斯公式的代数精度（定理4-2）
知道即可，证明不要求。（证明看带权积分中值定理，误差余项）
4.回顾、加强与补充学习
将f(x)=1，x,，x2，x3…带入得到下面等式。
范德蒙行列式百度百科！
可以直接套用上面的矩阵，不用一个个求积分了
将f(x)=1，x,，x2，x3…，xn带入如果带入xm左右两边相等，说明求积公式的代数精度为m
注意一般需要将xm+1带入说明当f(x)=xm+1时等式不成立
Ak叫求积系数，一般为正数，数值稳定的。
三、复合（化）求积公式
1.问题与基本思想
在使用牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数(当n≥8时,牛顿.柯特斯求积系数会出现负数)，因而不可能通过提高阶的方法来提高求积精度。（就是不满足前面带权积分中值定理的条件）
为了提高精度通常采用将积分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次的求积公式(梯形公式或辛普森公式)，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。本节只讨论复化的梯形公式和复化的辛普森公式。
前面提到带权积分中值定理，求积系数不能变号。
可以看到有的小区间取的多，有的少。
2.复合梯形公式
h就是一个小步长。即 x k − x k − 1 = ( a + k h ) − ( a + ( k − 1 ) h ) = h x_k-x_{k-1}=(a+kh)-(a+(k-1)h)=h xk−xk−1=(a+kh)−(a+(k−1)h)=h
记住h=(b-a)/n= x k − x k − 1 x_k-x_{k-1} xk−xk−1
其实就是上面梯形余项的求和。然后利用了连续函数的介值定理。后面有证明！
I是Integral积分
T是Trapezoid梯形
composite复合的
3.复合辛普森公式
141公式
其实就是上面辛普森余项的求和。然后利用了连续函数的介值定理。后面有证明！
############复合公式表格###############
| 名称 | 公式 | 余项 |
|---|---|---|
| 复合梯形公式 |  |  |
| 复合辛普森公式 |  |  |
4.例题（3个）
套公式即可，这里需要注意
辛普森公式需引入半个节点值就是表面上n=8时，实际上辛普森公式的n为4.
这里用到了放缩法！sinx<1
什么是截断误差？点击！！可以理解为余项大小。
这里需要注意，求出辛普森公式的n之和。实际的等份数是该n的两倍！
5.定理证明
从上面三个推到下面三个用到了拉格朗日中值定理。
阶数高，收敛速度快，精度高。
后面部分查看专栏，或者点击链接（之后发布）。
