正定五种情况是，A正定然后其余都正定

特征向量也是五种情况，使用和A一样的线性变换，除了一个P逆AP的除外。

第十八章所有格林公式和斯托克斯公式还有高斯公式都是一样光滑且有一阶连续偏导的条件。

只有二阶偏导连续的时候，先导x后导y才和先导y后导x是一样的。

方向导数计算的是 全增量和下面的平方和根号之间的问题，而多元函数可微计算的是全增量和其主要部分“全微分”的差，即其后面的小尾巴和平方和根号之间的问题。

方向导数课本上写的是三元函数（即三个自变量，一个因变量）u = u(x,y,z)这个是一个数量场，不是三维坐标，是四维的，然后其梯度的求导是内部自变量的求导，即u对x,y,z求导的（要区别隐函数求导）；而前面隐函数求导，包括是在求方向向量简便矩阵求法和法向量隐函数求导的时候，中都是讲二元函数z = z(x,y)变成了隐函数F（x,y,z） = 0的样子，然后将隐函数当做三元函数，按照三元函数内的法则，将x,y,z当做自变量分别对自己求导，要时刻注意这一点。

微分方程中只有欧拉方程y两撇的系数是x²，其他的微分方程y一撇和y两撇系数都是1。

导数只是微分的一部分，导数只是微分的系数，后面要加上一个dx或dy就是微分的，表示对x或对y求导。

使用斯托克斯公式的时候，“从x轴正向“的方向看去是表示从x轴正向看向x轴负向，而“向x轴看去“从负x轴到正x轴

重点：关于旋转的问题，一共有三种，一种是二元的旋转体积问题，一种是二元的旋转曲面面积，还有一种是三元的旋转曲线方程问题。（前两两种二元的在一元积分学里面都是有公式的，而后面一种旋转曲线方程问题在十七章里面有两种情况，一种是沿着某一个直线旋转，还有一个是沿着x,y,z轴旋转的：然后在十八章的具体题目中，还存在着沿着x,y，z旋转曲线求方程的技巧题目，需要及时去总结！！！）

        关于直线方向向量的求法：

        

         这里求直线的方向向量的方式推荐使用第二种方式更加合适，（1，k）就好了，k是斜率，然后第二种点和点的方式也是另外一种方式。

        二元的旋转体体积的问题有两种，一种是绕着x轴旋转，另外一种是按照y轴进行旋转，体积是对x积分，即dx。在绕着x轴旋转的时候，想象一下，切下一小块dx为厚度，那么圆的面积就是πy(x)^2，—πy(x)^2dx然后范围就是在x上积分就好了。（由于这里的y(x)是平方，所以不用考虑y(x)的正负问题，因为体积是正的。）。在y轴的时候，使用的是长方形法则，将dx当做厚度衡量的一块柱面体积，长是由圆展开的是2πx（这里的x表示所在点里圆心的距离，就是旋转出来的柱体的半径），厚度是dx，高是|y(x)|这里需要加上绝对值，因为这里体积是正的。因为还是对x进行积分，那么还是x的范围。2πx|y(x)|dx。（注意：在186页上还有关于某条直线的旋转的体积，需要看一看。——答案是：找到底下dx和上面dl（这个是取定直线的一段作为微元）比如直线y = x，直线上的微元dl = 根号2dx,自己画图找找规律。）

        二元的旋转体的曲面面积，曲面面积是一个弧微分ds，不是常见的dx了，因为如果使用dx的话，误差会很大，所以使用弧微分ds，所以这里需要弧微分的展开，在二元的条件下弧微分有三种展开的方式——x,y展开，参数展开（将x,y换成极坐标的形式然后带入也是可以的，极坐标有两种形式，一种是关于角度的参数方程，一种直接是r和角度的极坐标方程）。书上只有绕着x轴的一种情况，但是具体情况具体分析，碰到了再说，公式是 2π|y(x)|ds 圆的周长乘以弧微分。题目中会出现绕着y轴旋转的题目，这种题目有两个解决方式；第一种：直接将x,y互换位置，画出新的图像，y还是x的函数，这个时候绕着x轴旋转就等于上述绕着y轴旋转的表面积的是一样的了；第二种方式就是，x,y不互换位置，还是原来的图形，只是将x当作因变量，y当作自变量，在求弧微分的时候，求的是x对y求导的东西，这也是两种方式最大的不同，主要是在求弧微分的时候是不同的！还需要注意一点：在求积分的时候，如果碰到一个x对应两个y，或者是一个y对应的着两个x，这个时候一定需要分情况考虑，将自变量划分一下范围，比如圆点（1.0）的圆，在绕着y轴旋转的时候，由于同一个y对应着两个不同的x，即一个自变量对应着两个因变量，这个时候的因变量就需要分情况了（这里绕y轴旋转的时候，可以将x看做是因变量，而y是自变量。）

        三元的旋转曲线问题，一种是绕着定直线旋转的，一种是绕着x,y,z轴旋转的。首先说说绕着定直线的逻辑。

        绕着某一个定直线的时候，定直线会告诉你两个信息，一个是定直线的方向向量（1，k）一个随便在定直线上取一点（x0,y0,z0），我们需要在曲线L上设置一个M1（x1,x2,x3），然后在M1所在平面上的旋转圆上取P（x,y,z）（就是曲面上），列出两个方程，M1和P的组成的向量垂直于定直线的方向向量，然后M1到M0的距离等于P到M0的距离，得出两个方程之后，这两个方程可以求出x,y,z和x1,y1,z1的关系，这个是关键方程！！！然后将x1,y1,z1带入到曲线的方程中，有F（x1,y1,z1）和G（x1,y1,z1），有了这两个方程就是可以求出x1,y1,z1之间的关系，比如只剩下x1，用x1表示y1和z1的方法，如果用x1表示y1，那么两个方程消去z1，然后即可表示，同理可以表示z1，然后将y1和z1带入到那个关键方程中，那么右边全是x1了，这个时候x1就能用x,y表示了，所以这个是就消去了x1！接下来重复操作，将y1和z1用x,y,z表示，然后随便带入一个F（x）或者是G（x）就好啦。

        绕着x,y,z轴旋转的时候，这个情况就稍微好转了不少，没有了定直线的约束，直接跳过，不过还是设置M1（x1,x2,x3）和P（x,y,z），这两点到圆心的距离是一样的，直接有z = z1, x1^2 + y1^2 = x^2 + y^2 这个是关键方程，然后将 （x1,y1,z）带入曲线L的方程即F（x1,y1,z）和G（x1,y1,z）中，注意这里是z而不是z1，——关键方程，然后利用这两个方程，将x1和y1都分别独自用z表示，方法上面已经说过了，就不再赘述。最后就得到了曲线旋转的曲面方程。

 

级数与反常积分的联系与区别 - 知乎

积分判别法 单减 非负 连续——条件

格林公式和高斯公式和斯托克斯公式的使用条件都是一阶连续偏导数 + 光滑，方向的正向分别是：右手在外，曲面取外侧，曲线运动的方向和封闭曲线形成的曲面法向量呈右手系（即曲线运动的大拇指的方向和法向量得方向相同）。还有有关方向的问题就是 二型曲面一投二代三计算大计算（大计算只有在转化投影的时候才用），比如投影到xoy面的时候，看看曲面的法向量和z轴的夹角是否是锐角和钝角，分别三计算的时候对应的是正和负。

接着上面的话题，主要是格林公式和高斯公式，满足了上述条件之后，就可以使用格林公式和高斯公式，而不是必须等格林的公式 = 0或者是div = 0才可以使用，而其每个衍生出来的四五种情况都是对应不同的条件，一般换面和换路径的时候或里面有奇点的时候才需要注意公式是否等于0，如果不能消掉 = 0的话，那么就不能换路径了，因为换面和换路径的原理就是 A + B - B 其中A+B = 0的话，那么只需要算剩下的B就好了，如果前面的A+B 不等于0的话，就不能换路径了；不过就算A+B不为0的话，补线和补面还是可以计算的，补面或者补线的目的就是形成一个封闭的图形，然后使用格林公式和高斯公式让其积分区域变成面积或者是体积，然后剩下一个B,这个B可以是非常好计算的，这样就将问题简化了一下，将原来非常难计算的A，变成非常好计算的格林或者是高斯 - 比较好计算B（一般是平面。）。

        上述结论：只要满足了上述三个公式的使用条件就可以使用公式进行计算，不需要等到格林或者是高斯的公式 = 0，需要具体情况具体分析。

需要知道特殊类型的曲线化成参数方程的方式，比如关于球的一部分化作是只关于一个参数的参数方程。P409。

高阶、底阶、等价或同阶无穷小的本质其实就是相除比大小。如果相除的极限是0，那么上面的就是下面的高阶无穷小！！！其中的极限是题目中所给的向那个方向的趋向。这个性质非常重要，比如常数a和x在x趋向于0的情况下，如果a不等于0，那么a就是x的低阶无穷小，因为相除就是等于无穷大，如果a为0的话，那么就需要洛必达法则，最后得出的结果就是0，那么a就是x的高阶无穷小。

有加减法存在的时候，任何的等价无穷小都不能使用，只有在乘除的时候可以使用，虽然这只是本质（本质在知乎的收藏里面）的一种表象，但是足以应付考试，甚至是e的指数函数也不可以使用；极限加减拆开的原则是两个极限都是存在的，有些时候可以先拆开了再说，乘除也是一样的，不过一般可以先行计算。

斜渐近线和水平渐近线的本质：斜渐近线一开始求的是a，后面求的是b，其中a是不可以等于0的，因为在求a的式子当中，其中上面的是f(x)下面是x，求的是x趋向于无穷大的情况，如果a = 0的话，那就意味着f(x)在趋向于无穷大的时候是一个常数，那么这个就符合水平渐近线的定义了，而且当斜率为0的时候，也是和x轴是水平的了，也就是水平渐近线了，不是斜渐近线了，故得出结论：水平渐近线是斜渐近线的一种特殊情况。

这道题目考察了梯度的概念和温度场和路径方程的概念；温度场和路径方程是不一样的，但是因为粒子的路径的增长趋向是和温度场的增长的趋向一样的，所以路径方程的斜率切向量和梯度是平行的，要注意切向量和梯度之间的关系。答案中的切向量的求法是运用参数式的求法求出来的，是x,y的关系是y是x的函数，一个自变量一个因变量；而梯度却是关于x,y的二元方程，其中的x,y都是因变量，梯度就是直接对x,y求偏导就好了，而切向量是先化成x = x y = y(x)这样参数方程的样子，然后再分别对参数求导，求出来的切向量，那么这个时候运用切向量平行的公式建立微分方程，最后两边求导就好了.

有理化的总结：有理化分为两种，一种是分子有理化，一种是分母有理化。分子有理化就是将分子中无理数变成有理数的过程，而分母有理化就是将分母中的无理数变成有理数的过程。具体的方式分两种：单个根号的时候，那么就自己乘以自己；如果是两个式子的时候，那么就找到自己的共轭因式，像 一定可以有理化成这个其实就是自己的共轭因式，也就是说一个共轭因式想要找到另一个共轭因式是怎么表达的，那么就进行分子有理化，假设下面有一个分母1，然后上下都乘以一个共轭因式，然后由于根号里面的和外面的相差了一个1而已，那么整个救过就变成了另外一个共轭因子的倒数，但整个式子所表达的值没有变化，这个就是分子有理化。

拉格朗日天然是适合放缩的，想到拉格朗日就要想到放缩。

原函数的导数定义其实就是导数函数求自己连续的定义，即原函数的左导数 = 导数的做左极限。

如果两个级数想加为0，那么其收敛半径为无穷大；用于不缺项的无穷级数收敛半径的判别方式，不能逆过来使用，总有一些例外的情况（注意这个不缺项的不常用，用那个万能的，可以缺项也可以不缺项的，使用全部的代入取极限，🉐出来的结果小于1就好了，可以得出x的取值范围；而那个只能使用在完整项的那个是除了X^n之外的系数U^n进行比较，也要加上绝对值，的出来的结果的倒数就是收敛半径，的出来0就是无穷大，得出来无穷大就是0。）

算不出来的积分无脑用分布积分法，特别是幂函数和三角函数的时候，这两个比较特殊，最后一定会重现的；如果想要不算回去的话，就抓住一个算就好了，比如第一次是用三角函数凑微分的话，下一次还用三角函数凑微分，就能回到过去了。