高等数学解题常用公式笔记总结

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文章目录

一、等价无穷小
二、等差数列
三、等比数列
四、不定积分
- 代换
五、基本函数图像
六、三角函数
- 反三角函数公式（常用）
- 三角函数之间的关系
- 特殊角
- 角度与π的转换
- 两角和公式
- 倍角公式
- 三倍角公式（不重要）
- 半角公式
- 万能公式
- 和差化积
七、定积分
- 需要记忆的一些定积分结果
- 定积分常用公式
- 偶倍奇零
- 区间再现
- 华里士公式(点火公式)
- 周期函数
- 诱导公式
- 反常积分(广义积分)
- 补充
- 变限积分
八、微分方程
- 一阶线性微分方程
- 二阶常数项齐次线性微分方程
- n阶常数项齐次线性微分方程
- 二阶常数项非齐次线性微分方程
- 一阶全微分方程
九、泰勒公式
- 常见麦克劳林展开式
十、渐近线
- 水平渐近线
- 铅直渐近线
- 斜渐近线
十一、向量代数与空间解析几何
- 向量的模
- 方向角与方向余弦
- 单位向量
- 单位化
- 投影
- 数量积（点乘）
- 向量积（叉乘）
十二、方向导数与梯度
- 方向导数(是个数)
- 梯度
- 方向导数与梯度的关系(梯度的模)
十三、标准几何体表面积/体积公式
- 棱柱与棱锥
- - 棱柱
  - 棱锥
- 圆柱、圆锥、球
- - 圆柱
  - 圆锥
  - 球
十四、定理
- 介值定理
- 函数平均值定理
- 积分中值定理
- 升级版积分中值定理（用拉格朗日）
- 零点定理
- 罗尔中值定理
- 拉格朗日中值定理
- 柯西中值定理
- 二重积分中值定理
- 积分第一中值定理
- 费马定理
十五、格林公式
十六、无条件极值
十七、旋转体体积公式
十八、定义求导
十九三重积分
二十高斯公式
二十一曲率与曲线半径
常用导数恒等式
补充
- 1 极坐标
- 2 一元二次方程
- 3 反三角函数
- 4 幂函数
- 5 指数函数
- 6 对数函数
- 7 乘法与因式分解
- 8 数列求和
- 9 解析几何
- 10 初等几何
- 11 不等式

一、等价无穷小

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二、等差数列

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三、等比数列

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四、不定积分

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代换

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五、基本函数图像

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六、三角函数

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一全正二正弦三正切四余弦

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反三角函数公式（常用）

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三角函数之间的关系

对角相乘为1
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特殊角

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角度与π的转换

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两角和公式

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倍角公式

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三倍角公式（不重要）

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半角公式

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万能公式

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和差化积

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七、定积分

需要记忆的一些定积分结果

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定积分常用公式

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偶倍奇零

第一个是被积函数 $f (x)$ 为非奇非偶时候可以用
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区间再现

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华里士公式(点火公式)

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周期函数

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诱导公式

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反常积分(广义积分)

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补充

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变限积分

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八、微分方程

一阶线性微分方程

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二阶常数项齐次线性微分方程

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n阶常数项齐次线性微分方程

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二阶常数项非齐次线性微分方程

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一阶全微分方程

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九、泰勒公式

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常见麦克劳林展开式

其实用的最多的是这些展开式，级数求和函数中经常用前5个
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十、渐近线

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水平渐近线

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铅直渐近线

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斜渐近线

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十一、向量代数与空间解析几何

向量的模

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方向角与方向余弦

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单位向量

模长为1的向量

单位化

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投影

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数量积（点乘）

参与运算的是向量，结果为数
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向量积（叉乘）

参与运算的是向量，结果还是向量
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十二、方向导数与梯度

方向导数(是个数)

cos为方向余弦
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梯度

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梯度方向即函数增长速度最快的方向或方向导数取最大值的方向

方向导数与梯度的关系(梯度的模)

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十三、标准几何体表面积/体积公式

首先声明：
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棱柱与棱锥

棱柱

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棱锥

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圆柱、圆锥、球

圆柱

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圆锥

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球

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十四、定理

介值定理

英文表述就是：The value between m and M.
观察一下，只有这俩个定理属于闭区间
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函数平均值定理

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积分中值定理

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升级版积分中值定理（用拉格朗日）

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零点定理

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罗尔中值定理

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拉格朗日中值定理

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柯西中值定理

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二重积分中值定理

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积分第一中值定理

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费马定理

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十五、格林公式

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正向：逆时针
逆向：顺时针（钟表方向）[需要加负号]
因为内容比较少也不算太难，直接加这里了。

十六、无条件极值

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十七、旋转体体积公式

在这里插入图片描述旋转体体积公式其实是可以由元素法推出来的，详情：元素法的应用

十八、定义求导

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十九三重积分

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二十高斯公式

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二十一曲率与曲线半径

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常用导数恒等式

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补充

1 极坐标

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2 一元二次方程

$ax^2+bx+c=0$
$b^2-4ac$
$△>0\quad x_{1,2}=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$△=0\quad x_1=x_2$ 重根
$△<0\quad$ 两个负根例如： $i^2=-1\quad \sqrt{-9}=±3i$
根与系数关系： $x_1+x_2=-\frac{b}{a}，x_1×x_2=\frac{c}{a}$

例：求解 $4 y^{''} + 4 y^{'} + 5 y = 0$
解：
$4λ^2+4λ+5=0$
$b^2-4ac=16-4×5=16-80<0$
$λ_{1,2}=\frac{-4±\sqrt{-64}}{2×4}=\frac{-4±i8}{8}=-\frac{1}{2}±i=α±βi$
即 $α=-\frac{1}{2}，β=1$
综上，通解为 $y=e^{αx}(C_1cosβx+C_2sinβx)$
$=e^{-\frac{1}{2}x}(C_1cosx+C_2sinx)$