一、写一个用r语言分层抽样算积分的代码

以下是一个使用R语言分层抽样算积分的代码：```R
# 定义需要求解的函数
f <- function(x) sin(x)# 分层抽样算法
stratified_sampling <- function(f, a, b, n, m) {# 生成划分区间x <- seq(a, b, length.out = m + 1)# 计算每个区间所需的样本数量s <- round(n * (x[2:m+1] - x[1:m]) / (b - a))# 生成每个区间内的样本点samples <- lapply(s, function(s) runif(s, min = a, max = b))# 计算样本点对应的函数值y <- lapply(samples, function(sample) f(sample))# 计算每个区间的均值means <- sapply(y, function(y) mean(y))# 计算加权平均值sum((x[2:m+1] - x[1:m]) * means)
}# 进行积分计算
stratified_sampling(f, 0, pi, 100, 5)
解释一下代码：首先在代码中定义了一个需要求解的函数f(x)。这里求解的是函数f(x) = sin(x)在区间[0,π]上的积分。然后定义了一个名为stratified_sampling()的函数，用于进行分层抽样算法计算积分。这个函数包含五个参数：f表示需要求解的函数，a和b表示积分区间，n表示总样本数量，m表示分层数量。在函数中，首先生成一个分层数量加1个元素的序列x，用于划分区间。然后根据每段区间的长度，计算该段区间所需的样本数量，生成一个列表samples，其中每个元素是该区间内的样本点。接着计算每个样本点对应的函数值。然后计算各个区间内的样本点的平均值，得到一个均值列表means。最后，根据每段区间的长度和该区间内样本点的加权平均值，计算积分的近似值。最后，调用stratified_sampling()函数，并传入需要求解的函数，积分区间，总样本数量以及分层数量的值，进行积分计算并返回计算结果。运行代码，可以得到函数f(x) = sin(x)在区间[0,π]上的积分近似值

二、写一个用r语言分层抽样f(x)=exp(x)算积分的代码

以下是一个使用R语言分层抽样算法计算f(x) = exp(x)的积分的代码：# 定义需要求解的函数
f <- function(x) exp(x)# 分层抽样算法
stratified_sampling <- function(f, a, b, n, m) {# 生成划分区间x <- seq(a, b, length.out = m + 1)# 计算每个区间所需的样本数量s <- round(n * (x[2:m+1] - x[1:m]) / (b - a))# 生成每个区间内的样本点samples <- lapply(s, function(s) runif(s, min = a, max = b))# 计算样本点对应的函数值y <- lapply(samples, function(sample) f(sample))# 计算每个区间的均值means <- sapply(y, function(y) mean(y))# 计算加权平均值sum((x[2:m+1] - x[1:m]) * means)
}# 进行积分计算
stratified_sampling(f, 0, 1, 1000, 10)解释一下代码：这段代码与上一个示例相似，只有其中函数f(x)被改为了f(x) = exp(x)。因此，我们可以使用同样的分层抽样算法，来计算在区间[0,1]上的f(x) = exp(x)的积分。运行代码，可以得到函数f(x) = exp(x)在区间[0,1]上的积分近似值。

三、写一个用r语言分别用随机投点法、平均估计法重要抽样法和分层抽样计算f(x)=exp(x)积分的代码

# 随机投点法计算f(x)=exp(x)在[0,1]区间的积分
set.seed(1234)
N <- 1000000
x <- runif(N, 0, 1)
fx <- exp(x)
sum(fx) / N# 平均估计法重要抽样法计算f(x)=exp(x)在[0,1]区间的积分
set.seed(1234)
N <- 1000000
x <- runif(N, 0, 1)
fx <- exp(x) / dunif(x, 0, 1) # 由于面积相等，所以f(x) =
# exp(x)/uniform_pdf(x)=exp(x)/(1-0)=exp(x)
sum(fx) / N# 分层抽样计算f(x)=exp(x)在[0,1]区间的积分
set.seed(1234)
N <- 1000000
n1 <- N * 0.6
n2 <- N * 0.4
x1 <- runif(n1, 0, 0.5)
x2 <- runif(n2, 0.5, 1)
h1 <- exp(x1) / 0.5
h2 <- exp(x2) / 0.5
w1 <- 0.6 / n1
w2 <- 0.4 / n2
I1 <- sum(h1 * w1)
I2 <- sum(h2 * w2)
I <- I1 + I2
I

四、写一个用r语言分别用随机投点法、平均估计法重要抽样法和分层抽样计算f(x)=exp(x)积分的代码，并比较每种算法的误差

# 随机投点法计算f(x)=exp(x)在[0,1]区间的积分
set.seed(1234)
N <- 1000000
x <- runif(N, 0, 1)
fx <- exp(x)
I1 <- sum(fx) / N
error1 <- abs(I1 - (exp(1) - 1))# 平均估计法重要抽样法计算f(x)=exp(x)在[0,1]区间的积分
set.seed(1234)
N <- 1000000
x <- runif(N, 0, 1)
fx <- exp(x) / dunif(x, 0, 1) # 由于面积相等，所以f(x) = exp(x)
sum_fx <- sum(fx)
sum_wx <- sum(1/dunif(x, 0, 1))
I2 <- sum_fx/sum_wx
error2 <- abs(I2 - (exp(1) - 1))# 分层抽样计算f(x)=exp(x)在[0,1]区间的积分
set.seed(1234)
N <- 1000000
n1 <- N * 0.6
n2 <- N * 0.4
x1 <- runif(n1, 0, 0.5)
x2 <- runif(n2, 0.5, 1)
h1 <- exp(x1) / 0.5
h2 <- exp(x2) / 0.5
w1 <- 0.6 / n1
w2 <- 0.4 / n2
I1 <- sum(h1 * w1)
I2 <- sum(h2 * w2)
I3 <- I1 + I2
error3 <- abs(I3 - (exp(1) - 1))# 输出误差
cat("随机投点法误差:", error1, "\n")
cat("平均估计法重要抽样法误差:", error2, "\n")
cat("分层抽样误差:", error3, "\n")

五、写一个用r语言分别用随机投点法、平均估计法、重要抽样法和分层抽样计算f(x)=exp(x)积分的代码，并比较每种算法的误差

# 随机投点法计算f(x)=exp(x)在[0,1]区间的积分
set.seed(1234)
N <- 1000000
x <- runif(N, 0, 1)
fx <- exp(x)
I1 <- sum(fx) / N
error1 <- abs(I1 - (exp(1) - 1))# 平均估计法计算f(x)=exp(x)在[0,1]区间的积分
set.seed(1234)
N <- 1000000
x <- runif(N, 0, 1)
fx <- exp(x)
I2 <- mean(fx)
error2 <- abs(I2 - (exp(1) - 1))# 重要抽样法计算f(x)=exp(x)在[0,1]区间的积分
set.seed(1234)
N <- 1000000
x <- rbeta(N, 1, 2) # 选择绘图方便的beta(1,2)作为重要分布
fx <- (exp(x) / dbeta(x, 1, 2))
I3 <- mean(fx)
error3 <- abs(I3 - (exp(1) - 1))# 分层抽样计算f(x)=exp(x)在[0,1]区间的积分
set.seed(1234)
N <- 1000000
n1 <- N * 0.6
n2 <- N * 0.4
x1 <- runif(n1, 0, 0.5)
x2 <- runif(n2, 0.5, 1)
h1 <- exp(x1) / 0.5
h2 <- exp(x2) / 0.5
w1 <- 0.6 / n1
w2 <- 0.4 / n2
I4 <- sum(h1 * w1) + sum(h2 * w2)
error4 <- abs(I4 - (exp(1) - 1))# 输出误差
cat("随机投点法误差:", error1, "\n")
cat("平均估计法误差:", error2, "\n")
cat("重要抽样法误差:", error3, "\n")
cat("分层抽样误差:", error4, "\n")