以下是几种常见的求特殊方程正整数解的方法和示例：
一元一次方程
- 例题：已知关于(x)的方程(mx + 3 = 9 - x)（(m)为不等于(1)的整数）的解是正整数，求该方程的正整数解，并求相应(m)的值.
- 求解步骤：
- 首先解方程(mx + 3 = 9 - x)，移项可得(mx + x = 9 - 3)，即((m + 1)x = 6)，解得(x=\frac{6}{m + 1})。
- 因为方程解是正整数，所以(m + 1)是(6)的正因数，(6)的正因数有(1)、(2)、(3)、(6)。
- 当(m + 1 = 1)时，(m = 0)，此时(x = 6)；当(m + 1 = 2)时，(m = 1)，不符合(m)为不等于(1)的整数这一条件，舍去；当(m + 1 = 3)时，(m = 2)，此时(x = 2)；当(m + 1 = 6)时，(m = 5)，此时(x = 1)。
二元一次方程组
- 例题：已知二元一次方程组(\begin{cases}x + y = 5m\x - y = 9m\end{cases})有正整数解，求正整数(m)的值.
- 求解步骤：
- 解方程组(\begin{cases}x + y = 5m\x - y = 9m\end{cases})，将两个方程相加即可得(2x = 14m)，即(x = 7m)；将(x = 7m)代入(x + y = 5m)，可得(y = 5m - 7m=-2m)。
- 因为方程组有正整数解，所以(x = 7m)和(y = -2m)都是正整数，又因为(m)是正整数，所以(m)只能取(1)，此时(x = 7)，(y = -2)不符合要求，舍去；当(m = 2)时，(x = 14)，(y=-4)不符合要求，舍去；当(m = 3)时，(x = 21)，(y=-6)不符合要求，舍去；当(m = 4)时，(x = 28)，(y=-8)不符合要求，舍去；当(m = 5)时，(x = 35)，(y=-10)不符合要求，舍去；当(m = 6)时，(x = 42)，(y=-12)不符合要求，舍去；当(m = 8)时，(x = 56)，(y=-16)不符合要求，舍去；当(m = 10)时，(x = 70)，(y=-20)不符合要求，舍去；(\cdots)
- 发现当(m)为奇数时，(y)为负偶数，不符合正整数解的要求；当(m)为偶数时，(y)为负偶数，不符合正整数解的要求。所以该方程组无正整数解 。
不定方程
- 对于不定方程(x{2}+y{2}=N)，其中(N)为给定正整数，可以使用双层循环遍历(x)和(y)的值来求解正整数解.
- 求解步骤：
- 从(x = 1)开始，到(\sqrt{N})结束，对于每个(x)值，从(x)开始到(\sqrt{N})遍历(y)的值。
- 当(x{2}+y{2}=N)时，找到了一组正整数解，将其输出。
- 如果遍历完所有可能的(x)和(y)值都没有找到满足方程的解，则输出无解的信息 。
指数方程
如方程(a{x}+b{y}=c^{z})，这是一类形式简单优美但求解复杂的不定方程，其正整数解的确定是一个富有挑战性的基础研究课题.
- 求解方法：
- 代数数论方法：利用代数数域的性质和相关定理，对这类方程进行分析和求解。例如，通过研究方程在特定数域中的整数环上的性质，来确定可能的解的范围和形式 。
- 对数线性型方法：基于对数的线性组合的性质，对指数方程进行估计和求解。这种方法通常需要运用到一些高级的数学分析技巧和不等式估计 。
- 广义费马方程的结果和丢番图逼近方法：结合广义费马方程的已知结果，以及丢番图逼近的理论和方法，来研究指数方程的正整数解。通过对指数函数增长的急剧变化和对应正整数解的稀少性的统一的观察和分析，来寻找可能的解 。
