2016年全国高中数学联赛加试T2解答
加试T2为平面几何。
题意如图, O 1 , O 2 O_1,O_2 O1,O2分别为三角形 X A C , Y A B XAC,YAB XAC,YAB外心。 B X × A C = C Y × A B BX \times AC = CY \times AB BX×AC=CY×AB,求证: A U = A V AU=AV AU=AV
我仍然使用最擅长的三角法计算。本题计算的难度在于 O 1 O 2 O_1O_2 O1O2这条直线悬浮在空中,为了计算,必须要找到能依靠的边和角,而A为两圆的公共点,外心可以导角和,所以我处理的时候依靠图形 A O 1 O 2 U V AO_1O_2UV AO1O2UV,而这个熟悉的图形又想到张角定理,这个思路十分自然,事实证明这个思路证明题目很快。
因为 O 1 O 2 U V O_1O_2UV O1O2UV顺序不定,所以认为角有方向,以逆时针为正。
在 A O 1 O 2 U AO_1O_2U AO1O2U中使用张角定理,则
A O 1 s i n U A O 2 + A O 2 s i n O 1 A U = A U s i n O 1 A O 2 {AO_1\over sinUAO_2}+{AO_2 \over sin O_1AU}={AU\over sinO_1AO_2} sinUAO2AO1+sinO1AUAO2=sinO1AO2AU
同理在 A O 1 O 2 V AO_1O_2V AO1O2V也有类似结论,由于等式右边仅仅 A U , A V AU,AV AU,AV不同,所以为了证明 A U = A V AU=AV AU=AV,只需证等式左边相等,再利用外心导角求出各个角并化简,有原命题等价于:
c o s Y + c o s ( A + Y ) R 1 = c o s X + c o s ( A + X ) R 2 {cosY+cos(A+Y)\over R_1}={cosX+cos(A+X)\over R_2} R1cosY+cos(A+Y)=R2cosX+cos(A+X)
利用正弦定理求出 R 1 , R 2 R_1,R_2 R1,R2,利用和差化积化简分子,等价于:
s i n C s i n ( B + C 2 − Y ) s i n Y = s i n B s i n ( B + C 2 − X ) s i n X {sinCsin({B+C\over 2}-Y)\over sinY}={sinBsin({B+C\over 2}-X)\over sinX} sinYsinCsin(2B+C−Y)=sinXsinBsin(2B+C−X)
利用和角公式化简,只需证:
s i n C s i n B + C 2 c o t Y − s i n C c o s B + C 2 = s i n B s i n B + C 2 c o t X − s i n B c o s B + C 2 sinCsin{B+C\over 2}cotY-sinCcos{B+C\over 2}=sinBsin{B+C\over 2}cotX-sinBcos{B+C\over 2} sinCsin2B+CcotY−sinCcos2B+C=sinBsin2B+CcotX−sinBcos2B+C
把条件利用正弦定理化为:
s i n X s i n ( C − Y ) = s i n Y s i n ( B − X ) sinXsin(C-Y)=sinYsin(B-X) sinXsin(C−Y)=sinYsin(B−X)
可验证这个式子和需要证明的式子等价。
这个解答只能算一个思路,计算过程省略了不少,但是没有实质性难度。如果是联赛,需要详细证明一下张角定理的推广形式(允许面积和角有正负)。