动态规划

Dynamic Programming

简写为 DP，是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。20世纪50年代初，美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，从而创立了动态规划。动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域，并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了显著的效果。

动态规划算法的基本步骤包括：

确定状态：确定需要求解的状态，并将其表示为变量。
确定状态转移方程：根据问题的特定约束条件和目标函数，确定状态之间的转移关系，并将其表示为数学公式。
初始化：为初始状态赋初值，并将其表示为初始条件。
递推计算：根据状态转移方程，使用循环依次计算各个状态的解，并将其保存在数组或表中。
求解最终结果：根据问题的目标，从计算得到的解中得出最终结果。

动态规划算法可以用于解决各种问题，例如最短路径问题、背包问题、最长公共子序列问题等。在实现动态规划算法时，需要根据具体问题的特点进行设计和调整，以确保算法的正确性和效率。

适用条件

任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定条件，它就失去了作用。同样，动态规划也并不是万能的。适用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性。

最优化原理（最优子结构性质）

最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质 [8] 。

无后效性

将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又称为无后效性 [8] 。

子问题的重叠性

动态规划算法的关键在于解决冗余，这是动态规划算法的根本目的。动态规划实质上是一种以空间换时间的技术，它在实现的过程中，不得不存储产生过程中的各种状态，所以它的空间复杂度要大于其他的算法。选择动态规划算法是因为动态规划算法在空间上可以承受，而搜索算法在时间上却无法承受，所以我们舍空间而取时间。

真题举例（1）

44. 通配符匹配

给定一个字符串 (s) 和一个字符模式 (p) ，实现一个支持 '?' 和 '*' 的通配符匹配。
'?' 可以匹配任何单个字符。'*' 可以匹配任意字符串（包括空字符串）。
两个字符串完全匹配才算匹配成功。

说明:

s 可能为空，且只包含从 a-z 的小写字母。
p 可能为空，且只包含从 a-z 的小写字母，以及字符 ? 和 *。

示例 1:

输入:s = "aa"  p = "a"
输出: false
解释: "a" 无法匹配 "aa" 整个字符串。

示例 2:

输入:s = "aa"  p = "*"
输出: true
解释: '*' 可以匹配任意字符串。

示例 3:

输入:s = "cb"  p = "?a"
输出: false
解释: '?' 可以匹配 'c', 但第二个 'a' 无法匹配 'b'。

示例 4:

输入:s = "adceb"  p = "*a*b"
输出: true
解释: 第一个 '*' 可以匹配空字符串, 第二个 '*' 可以匹配字符串 "dce".

示例 5:

输入:s = "acdcb"  p = "a*c?b"
输出: false

代码1：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;class Solution
{
public:bool isMatch(string s, string p){vector<vector<bool>> dp(s.size() + 1, vector<bool>(p.size() + 1));dp[0][0] = 1;for (int j = 1; j <= p.size(); j++){dp[0][j] = dp[0][j - 1] && p[j - 1] == '*';}for (int i = 1; i <= s.size(); i++){for (int j = 1; j <= p.size(); j++){if (p[j - 1] == '*'){dp[i][j] = dp[i][j - 1] || dp[i - 1][j];}else{dp[i][j] = (s[i - 1] == p[j - 1] || p[j - 1] == '?') && dp[i - 1][j - 1];}}}return dp[s.size()][p.size()];}
};int main()
{Solution s;cout << s.isMatch("aa", "a") << endl;cout << s.isMatch("aa", "*") << endl;cout << s.isMatch("cb", "?a") << endl;cout << s.isMatch("adceb", "*a*b") << endl;cout << s.isMatch("acdcb", "a*c?b") << endl;return 0;
}

代码2：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;class Solution
{
public:bool isMatch(string s, string p){int m = s.size();int n = p.size();vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));dp[0][0] = true;for (int i = 1; i <= n; i++){if (p[i - 1] == '*')dp[0][i] = true;elsebreak;}for (int i = 1; i <= m; i++){for (int j = 1; j <= n; j++){if (p[j - 1] == '*'){dp[i][j] |= dp[i][j - 1];dp[i][j] |= dp[i - 1][j];}else{if (p[j - 1] == '?' || s[i - 1] == p[j - 1]){dp[i][j] |= dp[i - 1][j - 1];}}}}return dp[m][n];}
};int main()
{Solution s;cout << s.isMatch("aa", "a") << endl;cout << s.isMatch("aa", "*") << endl;cout << s.isMatch("cb", "?a") << endl;cout << s.isMatch("adceb", "*a*b") << endl;cout << s.isMatch("acdcb", "a*c?b") << endl;return 0;
}

代码3：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;class Solution
{
public:bool isMatch(string s, string p){if (p.empty())return s.empty();if (s.empty()){if (p[0] == '*')return isMatch(s, p.substr(1));elsereturn false;}if (p[0] == '*')return isMatch(s, p.substr(1)) || isMatch(s.substr(1), p);elsereturn (s[0] == p[0] || p[0] == '?') && isMatch(s.substr(1), p.substr(1));}
};int main()
{Solution s;cout << s.isMatch("aa", "a") << endl;cout << s.isMatch("aa", "*") << endl;cout << s.isMatch("cb", "?a") << endl;cout << s.isMatch("adceb", "*a*b") << endl;cout << s.isMatch("acdcb", "a*c?b") << endl;return 0;
}

代码4：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;class Solution {
public:bool isMatch(string s, string p) {if (s == "" && p == "" || (s == "" && p == "*"))return true;if (s == p)return true;int lens = s.length();int lenp = p.length();bool questionm = false, starm = false;for (int k = 0; k < lenp; k++) {if (p[k] == '?')questionm = true;if (p[k] == '*')starm = true;}if (lenp != lens && questionm == false && starm == false)return false;int i = 0, j = 0;int mstar = 0, sstar = -1;while (i < lens) {if (j < lenp && p[j] == '*') {mstar = i;sstar = j;j += 1;} else if (j < lenp && (s[i] == p[j] || p[j] == '?')) {i++;j++;} else if (sstar != -1) {mstar += 1;j = sstar + 1;i = mstar;} elsereturn false;}while (j < lenp) {if (p[j] != '*')return false;j++;}return true;}
};int main()
{Solution s;cout << s.isMatch("aa", "a") << endl;cout << s.isMatch("aa", "*") << endl;cout << s.isMatch("cb", "?a") << endl;cout << s.isMatch("adceb", "*a*b") << endl;cout << s.isMatch("acdcb", "a*c?b") << endl;return 0;
}

62. 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 10^9

代码1：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;class Solution
{
public:int uniquePaths(int m, int n){int N = m + n - 2;int M = m < n ? m - 1 : n - 1;long ans = 1;for (int i = 1; i <= M; i++)ans = ans * (N - i + 1) / i;return ans;}
};int main()
{Solution s;cout << s.uniquePaths(3, 7) << endl;cout << s.uniquePaths(3, 2) << endl;cout << s.uniquePaths(7, 3) << endl;cout << s.uniquePaths(3, 3) << endl;return 0;
}

代码2：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;class Solution
{
public:int uniquePaths(int m, int n){if (m <= 0 || n <= 0){return 0;}vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));for (int i = 0; i < m; i++){dp[i][0] = 1;}for (int i = 0; i < n; i++){dp[0][i] = 1;}for (int i = 1; i < m; i++){for (int j = 1; j < n; j++){dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];}}return dp[m - 1][n - 1];}
};int main()
{Solution s;cout << s.uniquePaths(3, 7) << endl;cout << s.uniquePaths(3, 2) << endl;cout << s.uniquePaths(7, 3) << endl;cout << s.uniquePaths(3, 3) << endl;return 0;
}

代码3：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef vector<int> BigInt;
class Solution
{
public:int uniquePaths(int m, int n){if (m == 0 || n == 0)return 0;if (m == 1 || n == 1)return 1;int m_ = m - 1 + n - 1;int n_ = n - 1;BigInt a = fac(m_);int result = 0;for (int i = n_; i >= 1; i--)a = div(a, i);for (int i = m_ - n_; i >= 1; i--)a = div(a, i);int k = a.size() - 1;while (a[k] == 0)k--;for (int i = k; i >= 0; i--)result = result * 10 + a[i];return result;}BigInt fac(int n){BigInt result;result.push_back(1);for (int factor = 1; factor <= n; ++factor){long long carry = 0;for (auto &item : result){long long product = item * factor + carry;item = product % 10;carry = product / 10;}if (carry > 0){while (carry > 0){result.push_back(carry % 10);carry /= 10;}}}return result;}BigInt div(BigInt a, int d){int b = 0;BigInt result;int len = a.size();for (int i = len - 1; i >= 0; i--){b = b * 10 + a[i];result.insert(result.begin(), b / d);b = b % d;}return result;}
};int main()
{Solution s;cout << s.uniquePaths(3, 7) << endl;cout << s.uniquePaths(3, 2) << endl;cout << s.uniquePaths(7, 3) << endl;cout << s.uniquePaths(3, 3) << endl;return 0;
}

代码4：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;class Solution {
public:int uniquePaths(int m, int n) {vector<vector<int>> path(m, vector<int>(n, 0));for (int i = 0; i < n; i++)path[0][i] = 1;for (int i = 0; i < m; i++)path[i][0] = 1;for (int i = 1; i < m; i++)for (int j = 1; j < n; j++)path[i][j] = path[i - 1][j] + path[i][j - 1];return path[m - 1][n - 1];}
};int main()
{Solution s;cout << s.uniquePaths(3, 7) << endl;cout << s.uniquePaths(3, 2) << endl;cout << s.uniquePaths(7, 3) << endl;cout << s.uniquePaths(3, 3) << endl;return 0;
}

63. 不同路径 II

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

示例 1：

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2：

输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1

提示：

m == obstacleGrid.length
n == obstacleGrid[i].length
1 <= m, n <= 100
obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1

代码1：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;class Solution
{
public:int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>> &obstacleGrid){int m = obstacleGrid.size();int n = obstacleGrid[0].size();int p[m][n];int k = 0;while (k < m && obstacleGrid[k][0] != 1)p[k++][0] = 1;while (k < m)p[k++][0] = 0;k = 0;while (k < n && obstacleGrid[0][k] != 1)p[0][k++] = 1;while (k < n)p[0][k++] = 0;for (int i = 1; i < m; i++)for (int j = 1; j < n; j++){if (obstacleGrid[i][j] == 1)p[i][j] = 0;elsep[i][j] = p[i - 1][j] + p[i][j - 1];}return p[m - 1][n - 1];}
};int main()
{Solution s;vector<vector<int>> obstacleGrid = {{0,0,0},{0,1,0},{0,0,0}};cout << s.uniquePathsWithObstacles(obstacleGrid) << endl;obstacleGrid = {{0,1},{0,0}};cout << s.uniquePathsWithObstacles(obstacleGrid) << endl;return 0;
}

代码2：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;class Solution
{
public:int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>> &obstacleGrid){int m = obstacleGrid.size(), n = obstacleGrid[0].size();vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));for (int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] != 1; i++){dp[i][0] = 1;}for (int i = 0; i < n && obstacleGrid[0][i] != 1; i++){dp[0][i] = 1;}for (int i = 1; i < m; i++){for (int j = 1; j < n; j++){if (obstacleGrid[i][j] != 1){dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];}}}return dp[m - 1][n - 1];}
};int main()
{Solution s;vector<vector<int>> obstacleGrid = {{0,0,0},{0,1,0},{0,0,0}};cout << s.uniquePathsWithObstacles(obstacleGrid) << endl;obstacleGrid = {{0,1,0},{0,0,0}};cout << s.uniquePathsWithObstacles(obstacleGrid) << endl;return 0;
}

代码3：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;class Solution
{
public:int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>> &obstacleGrid){if (obstacleGrid.size() == 0 || obstacleGrid[0].size() == 0)return 0;int m = obstacleGrid.size();int n = obstacleGrid[0].size();vector<vector<int>> info(m, vector<int>(n, 0));for (int i = 0; i < m; ++i){if (obstacleGrid[i][0] == 1){for (int j = i; j < m; j++){info[j][0] = 0;}break;}elseinfo[i][0] = 1;}for (int i = 0; i < n; ++i){if (obstacleGrid[0][i] == 1){for (int j = i; j < n; ++j){info[0][j] = 0;}break;}elseinfo[0][i] = 1;}for (int i = 1; i < m; ++i){for (int j = 1; j < n; ++j){if (obstacleGrid[i][j] == 1){info[i][j] = 0;}else{info[i][j] = info[i - 1][j] + info[i][j - 1];}}}return info[m - 1][n - 1];}
};int main()
{Solution s;vector<vector<int>> obstacleGrid = {{0,0,0},{0,1,0},{0,0,0}};cout << s.uniquePathsWithObstacles(obstacleGrid) << endl;obstacleGrid = {{0,1,0},{0,0,0}};cout << s.uniquePathsWithObstacles(obstacleGrid) << endl;return 0;
}

代码4：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;class Solution {
public:int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>> &obstacleGrid) {int m = obstacleGrid.size(), n = obstacleGrid[0].size();if (obstacleGrid[0][0] == 1 || obstacleGrid[m - 1][n - 1] == 1)return 0;vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));dp[0][0] = 1;for (int i = 1; i < m; i++) {if (obstacleGrid[i][0] == 0)dp[i][0] = dp[i - 1][0];}for (int i = 1; i < n; i++) {if (obstacleGrid[0][i] == 0)dp[0][i] = dp[0][i - 1];}for (int i = 1; i < m; i++) {for (int j = 1; j < n; j++) {if (obstacleGrid[i][j] == 0)dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];}}return dp[m - 1][n - 1];}
};int main()
{Solution s;vector<vector<int>> obstacleGrid = {{0,0,0},{0,1,0},{0,0,0}};cout << s.uniquePathsWithObstacles(obstacleGrid) << endl;obstacleGrid = {{0,1,0},{0,0,0}};cout << s.uniquePathsWithObstacles(obstacleGrid) << endl;return 0;
}

64. 最小路径和

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例 1：

输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

示例 2：

输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12

提示：

m == grid.length
n == grid[i].length
1 <= m, n <= 200
0 <= grid[i][j] <= 100

代码1：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;class Solution
{
public:int minPathSum(vector<vector<int>> &grid){if (grid.size() == 0)return 0;int m = grid.size();int n = grid[0].size();vector<vector<int>> m_memo = vector<vector<int>>(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));for (int i = n - 1; i >= 0; --i)m_memo[m - 1][i] = grid[m - 1][i] + m_memo[m - 1][i + 1];for (int j = m - 1; j >= 0; --j)m_memo[j][n - 1] = grid[j][n - 1] + m_memo[j + 1][n - 1];for (int i = m - 2; i >= 0; --i){for (int j = n - 2; j >= 0; --j){m_memo[i][j] = grid[i][j] + min(m_memo[i][j + 1], m_memo[i + 1][j]);}}return m_memo[0][0];}
};int main()
{Solution s;vector<vector<int>> grid = {{1,3,1},{1,5,1},{4,2,1}};cout << s.minPathSum(grid) << endl;grid = {{1,2,3},{4,5,6}};cout << s.minPathSum(grid) << endl;return 0;
}

代码2：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;class Solution
{
public:int minPathSum(vector<vector<int>> &grid){int row = grid.size();int column = grid[0].size();for (int i = 1; i < column; ++i){grid[0][i] = grid[0][i - 1] + grid[0][i];}for (int i = 1; i < row; ++i){grid[i][0] = grid[i - 1][0] + grid[i][0];}for (int i = 1; i < row; ++i){for (int j = 1; j < column; ++j){int temp = grid[i - 1][j] > grid[i][j - 1] ? grid[i][j - 1] : grid[i - 1][j];grid[i][j] = grid[i][j] + temp;}}return grid[row - 1][column - 1];}
};int main()
{Solution s;vector<vector<int>> grid = {{1,3,1},{1,5,1},{4,2,1}};cout << s.minPathSum(grid) << endl;grid = {{1,2,3},{4,5,6}};cout << s.minPathSum(grid) << endl;return 0;
}

代码3：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;class Solution
{
public:int minPathSum(vector<vector<int>> &grid){int row = grid.size();int col = grid[0].size();vector<int> f(col, 0);for (int i = 0; i < row; ++i){f[0] = f[0] + grid[i][0];for (int j = 1; j < col; ++j){if (i == 0)f[j] = f[j - 1] + grid[i][j];elsef[j] = min(f[j - 1], f[j]) + grid[i][j];}}return f[col - 1];}
};int main()
{Solution s;vector<vector<int>> grid = {{1,3,1},{1,5,1},{4,2,1}};cout << s.minPathSum(grid) << endl;grid = {{1,2,3},{4,5,6}};cout << s.minPathSum(grid) << endl;return 0;
}

代码4：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;class Solution {
private:int m, n;int memo[100][100];
public:int minPathSum(vector<vector<int>> &grid) {m = grid.size(), n = grid[0].size();for (int i = 0; i < m; i++) {memset(memo[i], -1, sizeof(int) * n);}return dfs(grid, 0, 0);}int dfs(vector<vector<int>> &grid, int r, int c) {if (r < 0 || r >= m || c < 0 || c >= n)return 1000000;if (memo[r][c] != -1)return memo[r][c];if (r == m - 1 && c == n - 1) {memo[r][c] = grid[m - 1][n - 1];return memo[r][c];}int right = dfs(grid, r, c + 1);int down = dfs(grid, r + 1, c);memo[r][c] = min(right, down) + grid[r][c];return memo[r][c];}
};int main()
{Solution s;vector<vector<int>> grid = {{1,3,1},{1,5,1},{4,2,1}};cout << s.minPathSum(grid) << endl;grid = {{1,2,3},{4,5,6}};cout << s.minPathSum(grid) << endl;return 0;
}

续：https://hannyang.blog.csdn.net/article/details/132091605