学习数学时感觉最有意思的题目就是证明题了，证明题能练习一种能力：

你知道一件事情时对的，怎么说清楚它是对的；你认为一件事情时错的，怎么说清楚它是错的。

这和生活中的辩论有点像，要有理有据地说清楚原因。不过生活中的辩论站在任何一方的角度上都可以有不同的辩法，数学有意思的地方就在于它的一致性：一个问题用不同的方法得出的都是相同的结论。

数学证明在 SATⅡ 和 AMC 中都以选择题的形式出现，考的不深，但在 IB AA 中考的就比较深了，毕竟本来 AA 的核心就是 math analysis，本文详细来说说数学证明有哪些思路。

一、直接证明的方法

Direct proof

当你妈问你：“昨天吃饭没有？”你说：“吃了。”

你妈接着问：“怎么证明你昨天吃饭了？”这时候，一道证明题就出现了！

你此时如果回答：“正常人每天都是要吃饭的，我是一个正常人，所以我昨天吃饭了”。这就是直接证明的方法。

咱们回味一下刚才的“证明过程”，你先说了一个大前提“正常人每天都是要吃饭的”，这是人们公认的对的，在数学中，这个大前提可以是公理  axiom、定理 theorem、公式 formula、运算法则 rule、性质 property 等。

而第二句话“我是一个正常人”，说明了在本道题中，题目所给条件能符合这个大前提（比如可以适用这个定理、能套这个公式），于是能得出结论。

以上就是最经典的证明方法，初中数学也常常训练这种方法。

二、反证法 

Proof by contradiction

故事又回到你妈的那个问题：“怎么证明你昨天吃饭了？”

此时如果你回答：“如果我昨天没吃饭，今天都要饿趴下了”。这就是反证法。

咱们回味一下刚才的“证明过程”，你并没有先说什么定理，而是上来就说“如果我昨天没吃饭”，这里的“如果”引导的是一个自己补充的条件，就相当于你做这道题的时候多了一个条件！这很重要。

多了一个条件你就可以用这个条件自由发挥，但要注意的是：这个条件推出的任何可行的结果都不能作为结论（因为这个条件是你假设的，不是真正成立的），但是，这个条件如果推出任何矛盾的结果，就能说明这个这个条件的补充是错误的。

这个条件不成立，就说明条件的反面成立。这就是反证法，在“直接证明”不好用的时候，咱们会考虑反证法。

我印象中最早用到的反证法的题是“证明质数有无限多个”、“证明根号二是无理数”。IB 中考题如下，大家看看自己会证吗？

三、数学归纳法证明 

Proof by induction

故事又又回到你妈的那个问题：“怎么证明你昨天吃饭了？”

此时如果你回答：“我前一天吃完饭，第二天就很饿了，第二天也得吃饭”。这就是数学归纳法。

咱们回味一下刚才的“证明过程”，你用到的是一个“递推”的思路，并没有直接说昨天的事儿，而是说了相邻两天的关系，也就是说明了“前一天吃饭了，后一天就必须要吃饭”，就能推出每一天都吃饭了。

那为什么“前一天吃饭了”又是如何证明的呢？答：是“靠大前天吃饭了”证明的。那么“大前提吃饭了”又是如何证明的呢？总有一个头吧？这个头就是 n=1 的情况。

在数学归纳法的证明中，n=1 成立虽然简单，但要明确写出。

四、三角函数证明及其他技巧

故事又又又回到你妈的那个问题：“怎么证明你昨天吃饭了？”

如果你说“吃饭能提供每天的蛋白质、糖、能量、维生素，现在咱们去医院测一下我身上的这些指标，就能证明我昨天吃饭了“。

这就需要一些特殊工具检测了，虽然思路上算是“直接法证明”的一种（找了一种判定），但如何快速准确的测出这些指标，还是得需要一些专门的工具。

数学题中，有些证明题也需要特殊的“数学工具”，比如三角函数证明题，很多同学不会，因为三角函数公式太多了，想用好就很难。

除此之外，还有综合条件的分析思维、不等式缩放的技巧、判定的选择都是证明题的难点。篇幅有限，不好一一讲到了，以后咱们会在之后 IB 课程中详细讲解。

大家可以练练我以上说到的四种题型。