数学证明的分类

主要分为以下二类：
1. 非形式化证明：科普讲座，口头辩论等
2. 形式化证明：由字符串组成的有限长度序列，不存在任何的逻辑含糊。

演绎与归纳的关系

是一个循环关系
general prinziple -> deductive reasoning -> special case
-> inductive reasoning -> general prinziple

证明技巧

直接证明（逻辑演绎，deduction）

定义：从公认的事实或者公理出发，运用逻辑推演而导出需要证明的命题的真伪的方法。

关于演绎法的几点说明：
1. 演绎法并不能给人以新的知识，结论本身就包含在前提里面。例如由“凡人必死”演绎出“苏格拉底必死”。
2. 演绎法根植于一定的前提条件，本身不能证明前提条件的正确性。因此如果要使演绎法作为一种根本性的方法存在，需要假设一些“先验的，根本的，不容置疑”的真理，即需要一定的先验条件。

肯定前件

如果民主政治是最好的政府系统，则所有人都应当投票。
民主政治是最好的政府系统。
所以，所有人都应当投票。

否定后件

如果民主政治是最好的政府系统，则所有人都应当投票。
所有人都不应当投票。
民主政治不是最好的政府系统。

假言三段

如果我不能起床，则我不能上班。
如果我不能上班，则我不能得到报酬。
所以，如果我不能起床，则我不能得到报酬。

选言三段

我要么选择汤要么选择沙拉。
我不选择汤。
所以，我选择沙拉。

间接证明

反证法

数学归纳法(induction)

定义：欲证明以自然数n编号的一串命题，先证明命题1成立，并证明当命题n成立时命题n+1也成立，则对所有的命题都成立。

归纳法这里有几点说明：
1. 猫A爱吃鱼，猫B爱吃鱼，猫C爱吃鱼 -》 猫爱吃鱼
2. 由因导果或执果索引，便于理解事物表现与内质的关系
3. 透过现象抓本质
4. 无法保证普遍性和必然性，例如欧洲人通过世世代代的经验归纳“天鹅是白的”，直至澳大利亚发现了黑天鹅。
5. 休谟问题，归纳采用了循环论证，引出了“归纳合理性问题”。

构造法

构造实例，显示存在的一般性或推翻命题。

命题：2的质数次幂减一不总是质数
构造：
$2^3-1=7$是质数
$2^11-1=2047=23*89$不是质数

非构造性证明

与构造法相对，不给出具体的构造而证明。

穷举法

换质位法

个案分析

个案分析或分类讨论，是指将结论分成有限的个案，然后逐个证明的方法。

算两次

算两次是一种对同一个量进行两种虽不同但都正确的分析，得到两个虽不同但相等的表达式的方法，常用于证明恒等式。

参考资料

1. 维基百科