聊一聊数学中的基本定理（一）—

早点关注我，精彩不错过！

系列开篇辞

在每一个独立出来的学科中，无论文科还是理科，总会有几个标志性的成果和结论，一定程度上代表了这个学科的特点，光荣和本质。比如物理学的牛顿定律和相对论，信息科学中的熵，经济学中的宏微观经济学等等。不难看出，正如马克思所说，一个学科只有上升到用数学来描述的高度，才算真正的完善，这些旁的学科的精华所在，无不是用了一个完美的数学模型描述甚至预测了某一种现象，数学是真正的百科之母。

当然我自己也有一个梦想，那就是把一部分魔术的设计也模型化，数学化，计算机化，并希望有生之年能看到她的完成。

但又回头想想，在纯数学领域，有没有其各个分支领域能一定程度上代表数学的成果和结论呢？

我们曾经以“欧拉定理”为主线，在智者的脑海里挂一漏万地徜徉了一圈。而在数学世界里，我还偶然发现，有不少以“基本定理”命名的定理（英文一般是Fundamental Theorem of XXX），它们表面上是名字撞在了一块，其实是真的在各个数学分支上都起着举足轻重的作用。顺着这个线索，我们不仅可以游览一遍宏伟的数学大厦的几处精彩的角落，而且在这些定理的背后，还有无数可以探索一生的秘密。

从今天起，我们就一起来聊聊，那些叫“基本定理”的数学定理吧！

算术基本定理内容

从初中学奥数起，就开始接触到一些初等数论的知识。依稀还记得比如证明质数有无穷多个，各种整除，模运算的推导，徜徉在纯粹数学的世界里，艰难并快乐着。其中最著名的一个定理，自然要数算术基本定理了，从其名字就能看出来，它是很多数论结论的基石，应用广泛。而其证明，也是应用了很多经典的数学思想。本文一方面重新来熟悉下这个定理的内容和意义；另一方面，通过其证明来学习一点这背后的数学思维方法。

算术基本定理：每个大于1的自然数，要么本身就是质数，要么可以写为2个或以上的质数的乘积，而且这些些因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。

算术基本定理描述的是任何一个大于1的自然数分解质因数这件事情的存在性以及唯一性，也即我们常说的有且仅有的意思，它也叫正数唯一分解定理。乍一看，自然思维的人肯定会有疑问说，你这还用证明？数学真是吃饱了撑的吧？你拿个数来进行质因数分解，从最小的质数因子一个个试，一直试到分解完毕，这个过程不就是唯一的么，这还不能说明算术基本定理是成立的么？

粗略想一下还真是，这也是基本的用筛法来求一定大小的质数表和给定整数的质因数分解的算法，即用一套递归方法分解一个整数直到没有质因子为止。从计算机求解的角度而言，这是一个没有随机数的确定过程，自然存在且唯一，就像函数只会有唯一的因变量与自变量对应一样，确实可以算作一种证明了。而且，它还能够直接给出我们求解那个唯一的质因数分解的方案，体现着浓浓的计算机的实用主义精神。

但是数学家们不这么想，他们厌恶计算机人有事没事就穷举，而且执着地认为再怎么穷举也没法举到无穷大那么多，还不关心求解的效率这样有实用主义精神的事，能够多快算出一个天大的数的质因数分解结果与我何干。而他们关心的是存在性，唯一性，可行性等这样定性的性质，至于存在那玩意是啥，都是计算的事情罢了，算不得数学分析的艺术。

所以我们接着来看下，真正正统的数学味的严格证明。

算术基本定理的证明

刚才说过了，定理说的是存在性和唯一性两个方面，即这样的质因数分解（无序的因子有重组合集），既要存在，还得只有一个。换句话说，其分解方法数，不仅大于等于1，还小于等于1。

这类数学问题的基本证明思路就是反证法，因为正着想的思路一看就是死胡同，你可以用最快的计算机去算到一个很大的数都是唯一分解的，但是再大，在数学家的脑海里，和所有，最大，还是没有半毛钱关系，都不是一个范畴的事。

假设存在一些这样的正整数，它们不满足题设说的质因数分解的唯一性，即有2个或以上的分解方法；或不满足存在性，即不存在。那么这些正整数中，一定存在一个最小的，我们把它设为n。

就这么一个显然地说明，数学家们仍然能够找出茬来，什么？谁告诉你一定有最小的了，那万一没有呢？你想想，有个人告诉你我们班没有成绩最差的，没有身高最矮的，你是不是想打人？但数学家会耐心地向你用严密的逻辑解释一番来证明这一点。

如果没有最小的n，那一定有某个不是最小的k（不是空集，一定有元素的条件下），显然我们可以找到比k还小的k1，否则k就是最小的了，同理，我们还可以找到比k2还小的k3......可以一直这样下去。问题是比给定的正整数k小的正整数是有限的，最多(k - 1)个，那这个过程显然不可能持续下去，因此假设不成立，原命题成立，最小的n存在。（其实也就是说，可数集有下确界那么其子集也一定有下确界的。）

你看，数学家和程序员是不是才是世界上最有耐心的人？

好了，这是说明存在最小的，可为什么我们要去关心这个最小的呢？思路在于，我们反证法的精髓在于推出矛盾，那么就一定得去找到一些特例使得结论不能成立，而最小的这个的性质在于，它恰好是所有可能不满足条件的数的和小于n的所有一定满足条件数的分界线，即我们有所有n以下的数都是唯一分解的这个结论可用，而只要我们构造出一个比n小的满足非唯一分解的数来，就能推出矛盾完成证明了！这也是指引我们去完整这个证明的思路。

这里n显然不是1，又不是质数（因为质数又唯一分解就是它自己），因此n必然为合数（自然数的可除性），存在两个大于1小于n的因子a, b，有：n = a * b。

刚才说了，n以下的都满足假设，因此，a, b本身都满足唯一质因数分解的结论，于是可以很容易构造一个n的质因数分解来，只需要把a, b各自的质数到幂次的映射结果加起来就行了。所以n肯定不是那种不存在质因数分解的数，一定是那种至少有两种质因数分解的数，注意这里恰是利用了假设才得出，如果不是没有分解方法，那就必定有两种或以上！于是我们接着这个线索继续找矛盾。

（反证法的时候，要舍得一本正经地胡说八道哈，直到胡说到不能自圆其说的话，悬疑小说就要重写，而反证法证明就完成了。）

假设这两种分解分别为：

n = p1 * p2 * ...... * pr

n = q1 * q2 * ...... * qs

假设有p1 <= p2 <= ...... <= pr，q1 <= q2 <= ...... <= qs，根据对称性，不妨设p1 <= q1。

这里显然p1 = q1是不成立的，否则，n / p1 = n / q1就成了更小的存在两种分解的数了，与最小的矛盾。（这时就体现出最开始给定n是最小的威力了吧！而且，在反证法内部，反证的思想也在无处不在地应用着。）

于是p1 < q1，于是我们可以构造一个比n小一点的数，m = n - p1 * q2 * q3 * ...... * qs ，有：

m = p1(p2 * p3 * ...... * pr - q2 * q3 * ...... * qs)

以及

m = (q1 - p1)q2 * q3 * ...... * qs

这里我们已经有m的两种分解雏形了，我们只需要证明，这两种分解一定不相同即可。

前面说了，这个质因数分解的数学结构是质数值到其幂次的映射，要证明这两个函数不完全相同，只需要任何一条映射元素不同即可，自然我们可以看这个最小的p1，它出现在了第一个分解中，而在第二个分解中，后面的q2, q3, ......, qs都是大于p1的质数，若这两个分解要想同，只有可能p1 | (q1 - p1)，否则m的第二个分解不包含p1在其映射定义域内，两个映射肯定不同。（反证思想无处不在，且处处紧逼！）

继续推下去，曙光就要出现了！因为p1 | (q1 - p1)，所以存在正整数t，p1 * t = q1 - p1，即：

q1 = (t + 1)p1，因为t + 1 > 1，所以这里q1一定不是质数，这与最开始的对n的第二种质因数分解的方法矛盾。

故原假设不成立，唯一性得证！

证明点评

在一般的初等数论书中，一般并不是用的我上面这个证明。而是会先用贝祖定理证明欧几里得引理，然后再以此为基础去反证法推论出算术基本定理。这没什么好坏之分，选用这个只是这个证明没有其他先验知识，不用绕个大弯子才能说明这一点点结论，更加体现自然数本身的性质，而不是形式化证明而已。

关于贝祖定理和欧几里得引理的内容，我们日后讲费马小定理和魔术的时候会再提到，而我们这个对算术基本定理的证明到底体现了自然数的什么性质，以及背后有怎样的数学智慧，我们下一篇接着讲。

我们是谁：

MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！