Matlab的信号频谱分析——FFT变换

Matlab的信号频谱分析

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个时域信号变换到频域。

有些信号在时域上是很难看出什么特征的。但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。

这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。

另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。

通俗点说FFT就是将一个信号解析成是由不同频率、幅值，相位的正弦波叠加而成的。

FFT变换的步骤：

1、对模拟信号离散化

一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了离散的数字信号。

2、采样频率（Fs）的选取

根据采样定理，采样频率需大于信号频率的两倍。

3、采样点数( N )的选取

在FFT变换中，输入N个采样点，就有N个变换结果，每个结果都是一个复数。

每个结果都和上面所说的一个正弦信号的频率、幅值，相位对应。

复数的幅值和正弦信号的幅值对应，相位和相位对应。

而其频率的对应关系为：假设第n个结果，则其对应的频率为 Fn = (n-1)*Fs/N 。

Fs/N为分辨率，例如采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，

则每个结果以1HZ的频率步长递增。如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为2048点，

则每个结果以0.5HZ的频率步长递增。我们讲其分辨率为0.5HZ。

如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。

频率分辨率和采样时间是倒数关系。

注意：为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。

例：假设我们有一个信号，它含有一个2V的直流分量，一个频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。

用数学表达式就是如下：S=2+3cos(2pi50t-pi30/180)+1.5cos(2pi75t+pi90/180)。

我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。

按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。

实际情况如何呢？我们来看看FFT的结果：

% 假设我们有一个信号，它含有一个2V的直流分量，一个频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号，
% 以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。
% 用数学表达式就是如下：S=2+3cos(2pi50t-pi30/180)+1.5cos(2pi75t+pi90/180)。
% 我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。
% 按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz，
% 第n个点的频率就是n-1。
% 我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值，
% 其它各点应该接近0。
% 实际情况如何呢？我们来看看FFT的结果：clc; clear; close all;t = 0:1/255:1; %采样步长
% s1 = 2; % 一个2V的直流
% s2 = 3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180);   % 一个频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号
% s3 = 1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180); % 一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号
y = 2 + 3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180) + 1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180); % 信号叠加
N = length(t); %样点个数
plot(t,y);
xlabel('时间/s'); ylabel('幅值');
title('时域信号time domain signal');
% 采样
fs = 255; %采样频率
df = fs/(N-1); %分辨率
Y = fft(y(1:N)); %真实的幅值
figure(2)
plot((1:N/2),abs(Y(1:N/2))); %由于傅里叶算法转换得到的是对称图，而常用的只需要一半就可以了。
xlabel('Hz'); ylabel('幅值');
title('幅频响应');
% 
% FFT结果的幅值和信号真实幅值对应的关系：除第一个点外，
% FFT结果的其他点的幅值是真实信号幅值N/2倍，而第一个点是真实值的N倍。
% 
% FFT结果的相位和真实信号相位对比：由于是第51个点对应的是50Hz，有个错位关系，
% 还有就是FFT的幅值和真实值也有个转换关系，下面我们通过算法让其完全对应起来。
% f = (0:N-1)*df; %其中每点的频率，第一个点对应的频率为0
Y1 = fft(y(1:N))/(N/2); %真实的幅值
figure(3)
plot(f(1:N/2),abs(Y1(1:N/2))); %由于傅里叶算法转换得到的是对称图，而常用的只需要一半就可以了.
xlabel('Hz'); ylabel('幅值');
title('幅频响应');