[NOIP2006 提高组] 金明的预算方案

题目描述

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过 $n$ 元钱就行”。今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

主件	附件
电脑	打印机，扫描仪
书柜	图书
书桌	台灯，文具
工作椅	无

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有 $0$ 个、$1$ 个或 $2$ 个附件。每个附件对应一个主件，附件不再有从属于自己的附件。金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的 $n$ 元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为 $5$ 等：用整数 $1\sim 5$ 表示，第 $5$ 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是 $10$ 元的整数倍）。他希望在不超过 $n$ 元的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第 $j$ 件物品的价格为 $v_j$，重要度为$w_j$，共选中了 $k$ 件物品，编号依次为 $j_1,j_2,\dots ,j_k$，则所求的总和为：

$v_{j_1}\times w_{j_1}+v_{j_2}\times w_{j_2}+\cdots +v_{j_k}\times w_{j_k}$。

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入格式

第一行有两个整数，分别表示总钱数 $n$ 和希望购买的物品个数 $m$。

第 $2$ 到第 $(m+1)$ 行，每行三个整数，第 $(i+1)$ 行的整数 $v_i$，$p_i$，$q_i$ 分别表示第 $i$ 件物品的价格、重要度以及它对应的的主件。如果 $q_i=0$，表示该物品本身是主件。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0

样例输出 #1

2200

提示

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 $1\le n\le 3.2\times 10^4$，$1\le m\le 60$，$0\le v_i\le 10^4$，$1\le p_i\le 5$，$0\le q_i\le m$，答案不超过 $2\times 10^5$。

大致思路

这种问题属于有依赖的背包问题，对于本题，状态又01背包的两种变为了五种：

1. 不选
2. 选主件
3. 选主件和附件1
4. 选主件和附件2
5. 选主件和附件1和附件2

这样，不难得出以下4个方程：
$(f[j][0]为主件，f[j][1]为附件1，f[j][2]为附件2)$
$$f[j]=max(f[j],f[j-w[i][0]]+v[i][0]\ast w[i][0])$$
$$f[j]=max(f[j],f[j-w[i][0]-w[i][1]]+v[i][0]\ast w[i][0]+v[i][1]\ast w[i][1])$$
$$f[j]=max(f[j],f[j-w[i][0]-w[i][2]]+v[i][0]\ast w[i][0]+v[i][2]\ast w[i][2])$$
$$f[j]=max(f[j],f[j-w[i][0]-w[i][1]-w[i][2]]+v[i][0]\ast w[i][0]+v[i][1]\ast w[i][1]+v[i][2]\ast w[i][2])$$

附其他背包详解好文章

AC CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=114514;
//#define int long long int
int n,m,v[N][3],w[N][3];
int f[N];
int main(){cin>>n>>m;int vv,ww,q,tmp=0;for(int i=1;i<=m;i++){cin>>vv>>ww>>q;if(q==0){v[i][0]=vv;w[i][0]=ww;}else if(v[q][1]==0){v[q][1]=vv;w[q][1]=ww;}else {v[q][2]=vv;w[q][2]=ww;}}for(int i=1;i<=m;i++){for(int j=n;j>=v[i][0];j--){if(j>=v[i][0])f[j]=max(f[j],f[j-v[i][0]]+v[i][0]*w[i][0]);if(j>=v[i][0]+v[i][1]&&v[i][1]!=0)f[j]=max(f[j],f[j-v[i][1]-v[i][0]]+v[i][0]*w[i][0]+v[i][1]*w[i][1]);if(j>=v[i][0]+v[i][2]&&v[i][2]!=0)f[j]=max(f[j],f[j-v[i][2]-v[i][0]]+v[i][0]*w[i][0]+v[i][2]*w[i][2]);if(j>=v[i][0]+v[i][1]+v[i][2]&&v[i][1]!=0&&v[i][2]!=0)f[j]=max(f[j],f[j-v[i][1]-v[i][2]-v[i][0]]+v[i][0]*w[i][0]+v[i][1]*w[i][1]+v[i][2]*w[i][2]);}}cout<<f[n];return 0;
}

附：各背包问题代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e3+22;
int n,w[N],f[N][N],v[i],ww;
int ff[N];
void 01_bag(){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=ww;j++){if(j>=w[i]) f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i]);else f[i][j]=f[i-1][j];}}
}void 01_bag_2(){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=ww;j>=w[i];j--){if(j>=w[i])f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);}}
}void wq_bag_1(){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=ww;j++){if(j>=w[i])f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-w[i]]+v[i]);else f[i][j]=f[i-1][j];}}
}void wq_bag_2(){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=w[i];j<=ww;j++){f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);}}
}void mix_bag(){for(int i=1;i<=n;i++){int num=min(p[i],ww/w[i]);for(int k=1;num>0;k<<1){if(k>num)k=num;num-=k;for(int j=ww;j>=c[i]*k;j--){f[j]=max(f[j],f[j-c[i]*k]+v[i]*k);}}}
}void ton_bag(){int style;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>style;if(style==0){//完全背包 for(int j=w[i];j<=ww;j++){f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);}}else if(style==1){//01for(int j=ww;j>=w[i];j--){f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);}}else{//多重背包二进制优化 int num=min(p[i],ww/w[i]);for(int k=1;num>0;k>>1){if(k>num)k=num;num-=k;for(int j=ww;j>=w[i]*k;j--){f[j]=max(f[j],f[j-w[i]*k]+v[i]*k);}}}}
}void erwei_bag(){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=ww;j>=w[i];j--){for(int k=w2;j>=w2[i];k--){f[j][k]=max(f[j][k],f[j-w[i]][k-w2[i]]+v[i]);}}}
}void group_bag(){int group;//n is how many groupsfor(int i=1;i<=n;i++){cin>>group;//lengthfor(int j=1;j<=group;j++){//group's things}for(int j=ww;j>=0;j--){for(int k=1;k<=s;k++){if(j>=w[k]){f[j]=max(f[j],f[j-w[k]]+v[k]);}}}}
}
int main(){cin>>n>>ww;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>w[i]>>v[i];}f[0][0]=0;ff[0]=0;return 0;
}

附封面