00.BBST——平衡二叉搜索树

本文是介绍众多平衡二叉搜索树（BBST）的第一篇——介绍AVL树。故先来引入BBST的概念。由于上一篇介绍的二叉搜索树（BST）在极度退化的情况下，十分不平衡，不平衡到只朝一侧偏，成为一条链表，复杂度可达$O(n)$，所以我们要在“平衡”方面做一些约束，以防我们的树结构退化得那么严重。

具体来说，含$n$个节点，高度为$h$的BST，若满足$h=O(lo{g}_{2}n)$，则称为称为平衡二叉搜索树。

01.AVL树

AVL树是一种BBST（稍后会证明）。它约束自己是否平衡，主要靠一个指标——平衡因子。定义：平衡因子=左子树高度-右子树高度。如果满足$-2<全部平衡因子<2$，则该AVL树处于平衡状态；否则，需要靠一系列措施，将其恢复平衡。

首先先证明AVL树满足BBST的要求，即$h=O(lo{g}_{2}n)$（下式）。我们可转而证明n=Ω(Φ^h)（即，AVL的节点数不会太少）

[结论] 高度为$h$的AVL Tree 至少有 $fib((h+3)-1$ 个节点
[证明]

02.AVL的插入

插入一个节点会导致一串祖先的失衡,删除一个节点至多导致一个祖先失衡。但是，通过后续代码就可发现，删除节点比插入节点复杂的多。原因是，插入节点只要调整好了一处，这条路径上的所有祖先都可平衡，复杂度是O(1)。而删除节点是，调整好了一处平衡，另一处就会不平衡，自下而上层层调整，复杂度是O(n)。

2.1单旋——zig 与 zag

zig 与 zag 分别对应右单旋和左单旋。单旋的操作改变的是两个节点的相对位置。改变的是三条线：一上一下一子树。新树根上行指向原根，新树根原子树给到原根。如下图，V到Y那去，Y到C那去。

2.2插入节点后的单旋实例

在下图处添加一个节点，自上而下更新高度（或平衡因子），g会率先进入不平衡状态。观察g，p，v呈一条线，而非“之”字，所以用单旋调整（之字形对应双旋）。具体来说，对g左单旋。

2.3手玩小样例

例题：将1，2，3，4，5，6依次插入空的AVL Tree，最终AVL Tree长成什么样？

[过程]首先正常插入1，2；插入3时，1是第一个发现不平衡的节点，zag(1)，即对1进行左单旋，成功解决；正常插入4

插入5时，3是第一个发现不平衡的节点，zag(3)，即对3进行左单旋，成功解决

插入6时，2是第一个发现不平衡的节点，zag(2)，即对2进行左单旋，成功解决

2.4双旋实例

双旋的操作改变的是三个节点的相对位置。分为两种情况——zig-zag与zag-zig。

在下图处添加一个节点，自上而下更新高度（或平衡因子），g会率先进入不平衡状态。观察g，p，v呈“之”字，所以用双旋。具体来说，先zig§，再zag(g).

2.5小结

AVL树中插入节点引发失衡，经旋转调整后重新平衡，此时包含节点g,p,v的子树高度是不变的，子树高度复原，更高祖先也必平衡，全树复衡。故在AVL树中修正插入节点引发的失衡不会出现失衡传播。

03.AVL的删除

删除一个节点至多导致一个祖先失衡。

3.1单旋删除

3.2双旋删除

3.3小结

AVL树中删除节点引发失衡，经旋转调整后重新平衡，此时包含节点g,p,v的子树高度有可能不变也有可能减小1，故在AVL树中修正删除节点引发的失衡有可能出现失衡传播。

04.3+4重构

通过观察以上插入和删除的结果示意图，发现结构是一样的——三个节点按顺序呈三角形，四个子树按原来的顺序分别挂在两个孩子节点的下边。（如下图）

那我们就不必关注具体的技巧了，而是将三个节点和四个子树拆开，像暴力组装魔方那样（先拆散）拼上。

template <typename T>
BinNode<T> * BST<T>::connect34(BinNode<T> * a, BinNode<T> * b, BinNode<T> * c, BinNode<T> * T1, BinNode<T> * T2, BinNode<T> *T3, BinNode<T> * T4)
{b->left = a;  b->right = c;a->left = T1; a->right = T2;c->left = T3; c->right = T4;a->parent = b; c->parent = b;if (T1) T1->parent = a;if (T2) T2->parent = a;if (T3) T3->parent = c;if (T4) T4->parent = c;a->updateHigh(); b->updateHigh(); c->updateHigh();return b;
}template <typename T>
BinNode<T> * BST<T>::rotateAt(BinNode<T> * v)
{BinNode<T> * p = v->parent;BinNode<T> * g = p->parent;BinNode<T> * T1, *T2, *T3, *T4, *a, *b, *c;if (p == g->left && v == p->left){a = v; b = p; c = g;T1 = v->left; T2 = v->right; T3 = p->right; T4 = g->right;}else if (p == g->left && v == p->right){a = p; b = v; c = g;T1 = p->left; T2 = v->left; T3 = v->right; T4 = g->right;}	else if (p == g->right && v == p->left){a = g; b = v; c = p;T1 = g->left; T2 = v->left; T3 = v->right; T4 = p->right;}else{a = g; b = p; c = v;T1 = g->left; T2 = p->left; T3 = v->left; T4 = v->right;}b->parent = g->parent; //向上链接return connect34(a, b, c, T1, T2, T3, T4);}

05.综合评价AVL

5.1优点

1. 查找、插入、删除，最坏时间复杂度为$O(logn)$
2. $O(n)$的存储空间

5.2缺点

1. 需要额外维护高度或平衡因子这一指标（后续Splay Tree可改善这一问题）
2. 删除操作后，最多需旋转$\Omega (logn)$次
3. 单次动态调整后，全树拓扑结构的变化量可能高达$\Omega (logn)$ （RedBlack Tree可缩到$O(1)$）

谢谢观看~

06.代码

注意

1. fromParentTo()是根节点的情况
2. connect34()向上链接别忘

插入算法

为什么不用现成的BST::insert(val)？ BST::insert自带更新一串高度，旋转调整之后还得把这一串更新回来。

BinNode<T> * insert(T const & val){BinNode<T> * & X = BST<T>::search(val);if (!X){X = new BinNode<T>(val, BST<T>::hot); BinTree<T>::size++;BinNode<T> * X_copy = X;while (X_copy && AvlBalanced(X_copy)){X_copy->updateHigh();X_copy = X_copy->parent;}if (X_copy) //说明是因为遇到了不平衡节点才退出了while，现在解决不平衡问题{BinNode<T> * & tmp = BinTree<T>::fromParentTo(X_copy);tmp = BST<T>::rotateAt(tallerChild(tallerChild(X_copy))); // 内部自带单个节点更新高度}return X;}}

删除算法

受限于BST::remove的返回值仅仅是bool，所以用底层的removeAt. removeAt的返回值是接替者，但有时，接替者是NULL。还好有BST::hot，存放被删节点的父亲。实际上，BST::remove的更新高度也是从hot开始的

bool remove(T const & val) {BinNode<T> * & X = BST<T>::search(val);if (!X) return false;else{BST<T>::removeAt(X, BST<T>::hot);BinTree<T>::size--;// 与insert不同的是，remove可能要调整很多次for (BinNode<T> * g = BST<T>::hot; g; g = g->parent){int i = BF(g);if (!AvlBalanced(g)){BinNode<T> * & tmp = BinTree<T>::fromParentTo(g);tmp = BST<T>::rotateAt(tallerChild(tallerChild(g))); }else g->updateHigh();}return true;}}

完整代码：AVL.h

# pragma once
# include "BST.h"# define BF(x) (int)(getHigh(x->left) - getHigh(x->right))
# define AvlBalanced(x)  ( -2 < BF(x) && BF(x) < 2 )template <typename T>
BinNode<T> * tallerChild(BinNode<T> * x)
{return  (getHigh(x->left) > getHigh(x->right)) ? x->left : x->right;
}template <typename T>
class AVL :public BST<T>
{public:bool remove(T const & val) {BinNode<T> * & X = BST<T>::search(val);if (!X)  return false;else{BST<T>::removeAt(X, BST<T>::hot);BinTree<T>::size--;// （可优化：直到到某祖先，高度不变，停止上行。那就要在刚刚更新高度时记录中途退出的位置，以便在此处判断）for (BinNode<T> * g = BST<T>::hot; g; g = g->parent){int i = BF(g);if (!AvlBalanced(g)){BinNode<T> * & tmp = BinTree<T>::fromParentTo(g);tmp = BST<T>::rotateAt(tallerChild(tallerChild(g))); // 内部自带单个节点更新高度}else g->updateHigh();}return true;}}BinNode<T> * insert(T const & val){BinNode<T> * & X = BST<T>::search(val);if (!X){X = new BinNode<T>(val, BST<T>::hot); //这一句话将两个关系连接BinTree<T>::size++;BinNode<T> * X_copy = X;while (X_copy && AvlBalanced(X_copy)){X_copy->updateHigh();X_copy = X_copy->parent;}if (X_copy) //说明是因为遇到了不平衡节点才退出了while，现在解决不平衡问题{BinNode<T> * & tmp = BinTree<T>::fromParentTo(X_copy);tmp = BST<T>::rotateAt(tallerChild(tallerChild(X_copy))); // 内部自带单个节点更新高度}return X;}}
};

感谢观看~

附上前传：
C++数据结构之BinaryTree（二叉树）的实现
C++数据结构之BST（二叉搜索树）的实现