数据结构之时间复杂度-空间复杂度

大家好，我是深鱼~

1.数据结构前言

1.1什么是数据结构

1.2什么是算法

1.3数据结构和算法的重要性

1.4如何学好数据结构和算法

2.算法的效率

3.时间复杂度

3.1时间复杂度的概念

3.2大O的渐进表示法

【实例1】：双重循环的时间复杂度：O（N)

【实例2】：双重循环的时间复杂度：O（N+M）

【实例3】：常数循环的时间复杂度：O（1）

【实例4】：strchr的时间复杂度：O(N)

【实例5】：冒泡排序的时间复杂度：O（N^2)

【实例6】：二分查找的时间复杂度：O（log2N）

【实例7】：阶乘递归的时间复杂度:O(N）

【实例8】：斐波那契递归的时间复杂度：O（2^N)

4.空间复杂度

【实例1】：冒泡排序的空间复杂度：O（1）

【实例2】：斐波那契递归的空间复杂度：O（N）

【实例3】：函数阶乘递归的空间复杂度：O(N)

【拓展】递归版斐波那契数列的空间复杂度：O（N）

1.数据结构前言

1.1什么是数据结构

实现一些项目，需要在内存中将数据存储起来，数据结构就是计算机存储、组织数据的方式。指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。eg：数组，链表，树...

1.2什么是算法

算法简单来说就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化为输出结果的。常见的算法有：排序，查找，查重，推荐算法...

1.3数据结构和算法的重要性

在校招的笔试中会有很多有关数据结构和算法的题

可以看看链接，在未来工作中：

数据结构和算法对一个程序员来说的重要性

1.4如何学好数据结构和算法

<1>多敲代码

<2>注重画图和思考

2.算法的效率

算法的效率看两点，第一点看时间效率，也就是时间复杂度，第二点看空间效率，也就是空间复杂度，但是随着计算机行业的发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度，所以如今我们不用太关注一个算法的空间复杂度

3.时间复杂度

3.1时间复杂度的概念

算法的时间复杂度是数学里面一个带有未知数的函数表达式，算法的复杂度不是看这个算法的运行时间，因为环境不同，具体的运行时间就不一样，eg：10年前2核cpu、2g内存的机器和今天8核cpu、8g内存的机器，运行的时间就不一样。算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度

3.2大O的渐进表示法

请计算一下Func1基本操作执行了多少次？

void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{for (int j = 0; j < N ; ++ j){++count;}
}
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{++count;
}
printf("%d\n", count);
}

Func1 执行的基本操作次数：F（N)=N*N+2*N+10

当N = 10 F(N) = 130

当N = 100 F(N) = 10210

当N = 1000 F(N) = 1002010

N越大，后两项对结果的影响越小，所以实际计算时间复杂度时，我们只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法(估算），即时间复杂度：O（N^2)

大O渐进表示法：

(1)用常数1取代运行时间中的所有加法常数

(2)在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项

(3)如果最高阶存在且不是1，则取除与这个项目相乘的常数

【实例1】：双重循环的时间复杂度：O（N)

本来应该是2*N，根据大O渐进表示法（3）简化为O(N)

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}

【实例2】：双重循环的时间复杂度：O（N+M）

（如果前提：M>>N,那么时间复杂度就是O（M）;

N>>M,那么时间复杂度就是O（N）;

M和N差不多,那么时间复杂度O（M）或O（N）都可以)

一般情况下时间复杂度计算时未知数都是用的N，但是也可以使用M，K等等其他的

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++ k)
{
++count;
}
for (int k = 0; k < N ; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}

【实例3】：常数循环的时间复杂度：O（1）

本来是100，根据大O渐进表示法（1）简化为O(1)

（O（1）不是代表算法运行一次，而是常数次）

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}

【实例4】：strchr的时间复杂度：O(N)

// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, int character );

strchr函数的逻辑实际就是下面这个

while（*str）

{

if（*str==character)

return str;

else

++str;

}

以hello world这个字符串为例：

假设查找的是h： 1 最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

假设查找的是w： N/2 平均情况：任意输入规模的期望运行次数(大概就是最好最坏相加/2）

假设查找的是d： N 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

当一个算法随着输入的不同，时间复杂度不同，时间复杂度做悲观预期，看最坏的情况（即这个例子的时间复杂度是O（N））

【实例5】：冒泡排序的时间复杂度：O（N^2)

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
} 
}

时间复杂度：N-1,N-2,N-3...1 精确值也就是N*（N-1)/2,那么大O的渐变表示法就是O（N^2)

算时间复杂度不能只看几层循环，而要去看他的思想

【实例6】：二分查找的时间复杂度：O（log2N）

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
assert(a);
int begin = 0;
int end = n-1;
while (begin < end)
{
int mid = begin + ((end-begin)>>1);
if (a[mid] < x)
begin = mid+1;
else if (a[mid] > x)
end = mid;
else
return mid;
}
return -1;
}

最好的情况：O（1）

最坏的情况：O（log2N）

为什么是O（log2N)呢？

【画图理解】：假设我们要查找X次，一个数组的大小是N，每一次二分查找如果没有找到，N就除以2，考虑最坏的结果，那么直到N一直除到只剩1为止就结束了

N/2/2/2/2...=1

2^X=N

X=log2N

可见二分查找算法是一个非常牛逼的算法

N个数中查找大概查找次数

1000 10

100W 20

10亿 30

但是这个算法的前提是数组有序

【实例7】：阶乘递归的时间复杂度:O(N）

递归算法时间复杂度：递归次数*每次递归调用的次数

// 计算阶乘递归Factorial的时间复杂度？
long long Factorial(size_t N)
{
return N < 2 ? N : Factorial(N-1)*N;
}

Fac（N) Fac（N-1) ... Fac（1）

【实例8】：斐波那契递归的时间复杂度：O（2^N)

// 计算斐波那契递归Fibonacci的时间复杂度？
long long Fibonacci(size_t N)
{
return N < 2 ? N : Fibonacci(N-1)+Fibonacci(N-2);
}

【画图理解】：理解递归的逻辑思想，每一次递归都会调用小的两个递归，最后右边的递归调用会先结束，那么递归的次数就是等比数列的和减去右下角因提前结束而缺少的次数

Fib（N）=2^0+2^1+2^2+...+2^n-X

此处的每次递归调用的次数是个常数，就相当于没*

那么大O渐进表示法也就是O（2^N)

可见斐波那契数列的递归写法完全是一个没有实际用途的算法，因为太慢了

4.空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是一个算法在运行过程中的临时额外占用存储空大小的量度

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没有太大的意义，所以空间复杂度算的是变量的个数

空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法

【注意】:函数运行时所需要的栈空间（存储参数，局部变量，一些存储器信息等等）在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时申请额外空间来确定

【实例1】：冒泡排序的空间复杂度：O（1）

冒泡排序中有三个变量：exchang，end，i，那么根据大O渐进表示法为O（1）

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}

【实例2】：斐波那契递归的空间复杂度：O（N）

N个数的数组，动态开辟了N+1个空间，简化过后空间复杂度为O（N）

这个函数返回的是斐波那契数列的前n项的数组，而不是一个数

那个函数的时间复杂度为O（N），比递归的O（2^N)简化了很多

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
//返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
if(n==0)
return NULL;
long long * fibArray =
(long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n ; ++i)
{
fibArray[i ] = fibArray[ i - 1] + fibArray [i - 2];
}
return fibArray ;
}

【实例3】：函数阶乘递归的空间复杂度：O(N)

// 计算阶乘递归Factorial的空间复杂度？
long long Factorial(size_t N)
{
return N < 2 ? N : Factorial(N-1)*N;
}

【画图理解】：递归函数调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数的个空间，所以空间复杂度为O（N）（只要看递归的深度）

【拓展】递归版斐波那契数列的空间复杂度：O（N）

// 计算斐波那契递归Fibonacci的空间复杂度？
long long Fibonacci(size_t N)
{
return N < 2 ? N : Fibonacci(N-1)+Fibonacci(N-2);
}

【画图理解】：本函数调用空间的顺序是Fbi（N),Fbi（N-1）...Fbi(1),也就是最左边的一个枝干，然后这些函数的空间销毁，继续下一个枝干，这样函数递归的深度一直都是N，而不会是2^N

空间是可以重复利用，不累计的

时间是一去不复返，累积的

这次数据结构之时间和空间复杂度的内容就到此啦，有什么问题欢迎评论区或者私信交流，觉得笔者写的还可以，或者自己有些许收获的，麻烦铁汁们动动小手，给俺来个一键三连，万分感谢 !