空间数据的表达方式：点和向量两种形式。
向量的内积，也叫做点乘，是逐点相乘后累加，最终结果是一个标量，物理意义是一个向量在另一个向量上的投影。
外积，也叫做叉乘，两个向量拼起来成，结果是一个矩阵，物理意义是旋转。
向量旋转
向量旋转可以由旋转轴向量加角度表示，一般采用右手坐标系。
a到b的旋转可以由向量w来描述
坐标系的变换包括平移和旋转，平移是对原点的平移，旋转是绕着三个轴旋转。
刚体运动：在三维空间中，把一个几何不变物体作旋转、平移的运动叫刚体运动。
刚体运动包括平移T和旋转R。
坐标系发生旋转，原坐标系下向量的值，按下面的方式进行变换。
这个矩阵一般叫旋转矩阵R，其必要条件是行列式为1的正交矩阵。
SO(n) 是特殊正交群：Special Orthogonal Group
旋转矩阵为正交阵，它的逆（即转置）描述了一个相反的旋转
旋转平移矩阵
世界坐标系中的向量a，经过一次旋转(R)和平移(t)后，得到了a':
𝑎′= 𝑅𝑎 + 𝑡 这里的t为平移向量。
将平移向量放进 矩阵运算中，则原向量变成齐次向量，矩阵变成了变换矩阵。
特殊欧式群：变换矩阵具有如下的特性。
罗德里格公式：
假设有一个旋转轴为n，角度为θ的旋转，显然，它对应的旋转向量为θn。
从一个旋转矩阵到旋转向量的转换。对于转角θ：
欧拉角：
用三个角度描述一个刚体在三维空间中的姿态，偏航-俯仰-滚转： yaw-roll-pitch → z-x-y。
欧拉角的缺点：万向锁。
当某一个轴旋转90°，有两个轴的对应平面重合，则此情况下两个旋转的效果是一样的，这种情况叫做万向锁。
为了避免万向锁对旋转计算的影响，SLAM中一般使用四元数来提起欧拉角描述旋转，当然本质是一样的。
一个四元数q 拥有一个实部和三个虚部:
三个虚部之间的运算关系：
也可以用一个标量和一个向量来表达四元数:
四元数的四则运算：
设𝒒𝒂 = [𝑠𝑎, 𝑣𝑎] , 𝒒𝒃 = [𝑠𝑏, 𝑣𝑏]，则
四元数的共轭，
设𝒒𝒂 = [𝑠𝑎, 𝑣𝑎] 𝑞𝑎 = 𝑠𝑎 + 𝑥𝑎𝑖 + 𝑦𝑎𝑗 + 𝑧𝑎k，则
四元数的模长
四元数的逆
四元数与旋转之间的计算关系：
三维空间的单位向量𝒏 = [𝑛𝑥, 𝑛𝑦, 𝑛𝑧]',某个旋转是绕单位向量𝒏进行了角度为𝜃的旋转,该旋转的四元数形式为： 
四元素如何用于计算旋转
