数据结构–最小生成树

$连通图$的生成树是$包含图中全部顶点的一个极小连通子图$。
若图中顶点数为n，则它的生成树含有 n-1 条边。对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通
图，若加上一条边则会形成一个回路。

最⼩⽣成树（最⼩代价树）

$道路规划要求：所有地⽅都连通，且成本尽可能的低$

部分生成树：

对于⼀个$带权连通⽆向图$G = (V, E)，⽣成树不同，每棵树的权（即树中所有边上的权值之和）也可能不同。设R为G的所有⽣成树的集合，若T为R中$边的权值之和最⼩的⽣成树$，则T称为G的$最⼩⽣成树（Minimum-Spanning-Tree,MST）。$

注：
• 最⼩⽣成树可能有多个，但边的权值之和总是唯⼀且最⼩的
• 最⼩⽣成树的边数 = 顶点数 - 1。砍掉⼀条则不连通，增加⼀条边则会出现回路
• 如果⼀个连通图本身就是⼀棵树，则其最⼩⽣成树就是它本身
• 只有连通图才有⽣成树，⾮连通图只有⽣成森林

Prim 算法（普⾥姆）

Prim 算法（普⾥姆）：
从某⼀个顶点开始构建⽣成树；
每次将代价最⼩的新顶点纳⼊⽣成树，直到所有顶点都纳⼊为⽌。

对于这个图，用prim算法可以得到下面最小生成树：

注：最小生成树可能不唯一，可能存在多棵最小生成树

Kruskal 算法（克鲁斯卡尔）

Kruskal 算法（克鲁斯卡尔）：
每次选择⼀条权值最⼩的边，使这条边的两头连通（原本已经连通的就不选）直到所有结点都连通

对于这个图，用Kruskal算法可以得到下面最小生成树：

$判断是否属于同一个集合可以使用并查集算法实现$

Prim 算法 v.s. Kruskal 算法

Prim 算法（普⾥姆）：
从某⼀个顶点开始构建⽣成树；
每次将代价最⼩的新顶点纳⼊⽣成树，直到所有顶点都纳⼊为⽌。

时间复杂度：$O(|V{|}^2)$
适合⽤于边稠密图

Kruskal 算法（克鲁斯卡尔）：
每次选择⼀条权值最⼩的边，使这条边的两头连通（原本已经连通的就不选）直到所有结点都连通

时间复杂度：$O(|E|lo{g}_2|E|)$
适合⽤于边稀疏图

$代码与例题部分可以查看下面的文章：$
最小生成树（Kruskal算法+Prim算法）简单讲解+最小生成树例题