一、𝑓(𝒙;𝒘) = 𝒘T𝒙的推导
学习线性回归，我们那先要对于线性回归的表达公示，有所认识。
我们先假设空间是一组参数化的线性函数：
其中权重向量𝒘 ∈ R𝐷 和偏置𝑏 ∈ R都是可学习的参数，函数𝑓(𝒙;𝒘,𝑏) ∈ R也称为线性模型。
不失一般性， 在本章后面的描述中我们采用简化的表示方法， 直接用 𝒘和 𝒙 分别表示增广权重向量和增广特征向量. 这样， 线性回归的模型简写为 𝑓(𝒙;𝒘) = 𝒘T𝒙.
这就是题目中提到的线性回归模型的推导由来。
这里为了更好的学习线性回归模型，这里我们普及一下大学时线性代数的一些概念。
二、向量、增广向量、增广权重向量、增广特征向量的概念：
1. 向量（Vector）
定义：
向量是一组有序排列的数，表示空间中的点、数据样本或特定属性的集合。
示例：
假设我们有一个人的身体数据，包括身高和体重，我们可以用一个向量表示：
这个向量表示身高 180 cm，体重 75 kg。
常见类型：
- 列向量（常用）： n×1 维，如上例。
- 行向量： 1×n，例如： x=[180,75]。
应用：
- 在机器学习中，向量用来表示数据样本（输入特征）、模型参数等。
- 在物理中，向量用来表示力、速度等有大小和方向的量。
2. 增广向量（Augmented Vector）
定义：
增广向量是在普通向量的基础上，增加一个额外的常数（通常是 1），以便于在数学计算中引入偏置项（Intercept/Bias）。
示例：
假设我们有一个特征向量：
增广后：
为什么要加 1？
在机器学习的线性回归公式中：
y = w_1 x_1 + w_2 x_2 + b
如果将 b 视为 w_3 并将增广向量 x 扩展为：
y = w_1 x_1 + w_2 x_2 + w_3 ⋅1
这时，增广后的矩阵运算更为简洁，公式变为：
应用：
- 机器学习： 在回归、分类等问题中，引入偏置项。
- 计算机视觉： 处理图像坐标变换（如平移操作）。
- 信号处理： 统一矩阵运算，减少额外计算。
3. 增广权重向量（Augmented Weight Vector）
定义：
增广权重向量是在普通权重向量的基础上，增加一个额外的偏置项 b，以与增广输入向量匹配。
示例：
假设我们有普通的权重向量：
增广后：
这样，使用增广权重向量，计算目标值时，可以与增广向量配合使用：
应用：
- 机器学习： 简化计算，避免单独处理偏置项。
- 神经网络： 统一偏置与权重的管理，提高计算效率。
4. 增广特征向量（Augmented Eigenvector）
定义：
增广特征向量是在线性代数的特征值分解问题中，在特征向量的基础上，附加额外的约束条件或辅助信息，以便解决某些特定问题。
特征向量的基本公式：
给定矩阵 A，特征向量满足：
Av=λv
如果原始特征向量是：
增广后：
为什么要增广？
- 在控制系统、信号处理等领域，增广特征向量可以用于增加额外信息，如系统约束或观测量。
- 在奇异值分解（SVD）、PCA等方法中，增加维度可以提高数值稳定性或处理特殊边界条件。
应用：
- 控制工程：增广状态向量来处理观测噪声。
- 计算机视觉：在3D变换中加入齐次坐标（如在2D坐标 (x,y)增广为 (x,y,1)）。
5. 总结：区别与联系
| 名称 | 定义 | 增加的元素 | 作用 | 例子 |
|---|---|---|---|---|
| 向量 | 一组数，表示数据或坐标 | 无 | 描述特征或数据点 | [180,75][180, 75] |
| 增广向量 | 在向量后加 1，使计算更方便 | 1 | 统一计算偏置项 | [180,75,1][180, 75, 1] |
| 增广权重向量 | 在权重后加偏置项 bb 以匹配增广向量 | 1 | 使得矩阵运算统一，减少额外处理 | [0.5,1.2,20][0.5, 1.2, 20] |
| 增广特征向量 | 在特征向量后加常数或约束 | 1 或更多 | 处理约束问题、增加系统观测能力 | [2,3,1][2, 3, 1] |
它们之间的联系：
- 增广向量和增广权重向量通常一起使用，用于机器学习中的线性模型。
- 增广特征向量更偏向于线性代数的特征值分解和矩阵分析，并不直接用于机器学习的建模中。
三、这里思考一个问题：空间可以由线性模型表示吗？
答案是yes，空间可以在一定条件下用线性模型来表示，特别是在欧几里得空间或特征空间中，线性模型可以用于描述点、方向、平面和超平面等几何对象。
1. 线性模型的基本形式
线性模型的一般数学形式是：
在向量形式下可以表示为：
其中：
- x 表示输入向量，描述空间中的点或特征。
- w 是权重向量，表示空间中的方向或特定超平面的法向量。
- b 是偏置，表示超平面与原点的距离。
2. 用线性模型表示几何空间的例子
例 1：平面在三维空间中的表示
假设我们在三维空间中有一个平面，其方程可以写成：
2x+3y−z+5=0
将其改写成线性模型的形式：
z=2x+3y+5z
这实际上是一个线性回归模型，其中：
- x1=x, x2=y，y=z。
- 权重 w=[2,3]。
- 偏置 b=5。
解释：
- 这个线性方程表示三维空间中的一个平面，线性模型可以表示任意方向的平面。
- 平面的法向量 (2,3,−1)代表其朝向。
例 2：二维平面上的直线
假设我们要表示一个 2D 平面上的直线：
y=4x+2
这里：
- x 是输入变量，y 是输出。
- 斜率 w1=4，偏置 b=2。
这条直线可以看作是一个 2D 空间中的线性模型，描述输入 x 和输出 y 之间的线性关系。
解释：
- 该直线分割了平面空间，表示空间中的一个一维子空间。
- 例如，在分类问题中，它可以用来将数据点分成两个类别。
例 3：超平面在高维空间中的表示（机器学习中的决策边界）
在机器学习中，支持向量机（SVM）和线性回归模型使用超平面来表示数据分布。例如，假设在 3D 空间中，数据点属于两个类别，我们可以用一个线性模型来区分它们：
w1x1+w2x2+w3x3+b=0
这个方程描述的是三维空间中的一个超平面，它可以将空间划分成两部分。
解释：
- 在 n 维空间中，线性方程表示的是一个 (n−1)维的超平面。
- 例如，在二维空间中，线性方程表示一条直线，在三维空间中，表示一个平面。
例 4：主成分分析（PCA）用于空间降维
在高维空间中，主成分分析（PCA）是一种常见的线性方法，用于找到数据的最佳投影方向。例如，给定一组三维点 (x1,x2,x3)，PCA 试图找到一个最佳的线性方向来表示这些点，从而将其降维到一个平面或直线。
PCA 线性模型通常可以写作：
其中：
- W 是投影矩阵，定义了降维后的新坐标轴。
- 这个模型可以找到数据所在的低维子空间。
3. 线性模型表示空间的局限性
尽管线性模型可以表示许多几何对象，但也存在局限：
- 无法表示非线性空间结构： 如果数据存在曲面或复杂的非线性关系，线性模型无法准确表示。
- 只能描述平直的结构： 例如圆、球等非线性空间无法用简单的线性方程来表示。
- 需要特征变换： 为了处理复杂空间，通常需要使用特征工程（如多项式特征扩展）或非线性映射（如核方法）。
4. 非线性空间如何用线性模型处理？
如果数据或空间具有非线性特征，可以通过以下方式将其转换为线性模型：
-
特征变换（Feature Engineering）
通过增加维度，空间变得线性。
-
核方法（Kernel Methods）
- 在支持向量机（SVM）中，核函数（如高斯核）将数据映射到高维线性可分空间。
-
神经网络（Deep Learning）
- 通过多层非线性激活函数，神经网络可以近似任意复杂的空间映射。
5. 结论
- 线性模型可以表示许多常见的空间，如直线、平面和高维超平面。
- 对于更复杂的空间结构，需要进行特征变换或使用非线性方法来补充线性模型的局限性。
- 在机器学习、数据分析和几何处理中，线性模型是非常重要的基础工具。
