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💀本章内容：《树和二叉树》的介绍✨

1.树的概念及结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 因此，树是递归定义的
  
  树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点struct Node* _pNextSibling; // 指向其下一个兄弟结点DataType _data; // 结点中的数据域
};

树在实际中的运用

下图可以看得出Linux使用的就是树形结构，父亲节点可以有n个孩子

2.二叉树概念及结构

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:
1.或者为空
2.由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：
1.二叉树不存在度大于2的结点
2.二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

满二叉树和完全二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
   
   

二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

二叉树顺序表存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
顺序表存储二叉树，只适用于完全二叉树否则会有空间上的浪费

3.堆的概念

如果有一个关键码的集合，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储，在一个一维数组中，将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

用顺序存储完成堆的实现

一个数组，我们可以看作一个二叉树，但还不是堆，所以使用向上/下调整成一个堆。

1. 建堆
   升序：建大堆
   降序：建小堆
2. 利用堆删除思想来进行排序
   建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。
   表示二叉树的值在数组位置中父子的下标关系
   parent = (child-1)/2
   leftchild = parent * 2 +1
   rightchild = parent * 2 +2

创捷堆需要的结构

typedef int HpDatatype;
typedef struct Heap
{HpDatatype* data;//元素int size;//长度int capcity;//容量
}Heap;

初始化

//初始化
void HeapInit(Heap* php)
{assert(php);php->data = (HpDatatype*)malloc(sizeof(HpDatatype) * 4);if (php->data == NULL){perror("malloc fail");return;}php->size = 0;php->capcity = 4;}

销毁堆

//销毁堆
void HeapDestroy(Heap* php)
{assert(php);free(php->data);php->data = NULL;php->size = 0;php->capcity = 0;}

交换两个数

//交换两个数
void Swap(HpDatatype* p1, HpDatatype* p2)
{HpDatatype tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}

向上调整

时间复杂度：N*logN

//向上调整
void AdjustUp(HpDatatype* a, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (a[child] > a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}

插入

//插入
void HeapPush(Heap* php, HpDatatype x)
{assert(php);if (php->capcity == php->size){HpDatatype* tmp = (HpDatatype*)realloc(php->data, sizeof(HpDatatype) * php->capcity * 2);if (tmp == NULL){perror("malloc fail");return;}php->data = tmp;php->capcity *= 2;}php->data[php->size] = x;php->size++;AdjustUp(php->data, php->size-1);
}

向下调整

时间复杂度：O(N)

//向下调整
void AdjustDown(HpDatatype* a, int n, int parent)
{int child = parent * 2 + 1;if (child+1 < n && a[child] < a[child + 1]){child++;}while (child < n){if (a[parent] < a[child]){Swap(&a[parent], &a[child]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}

删除

//删除
void HeapPop(Heap* php)
{assert(php);//assert(!HeapEmpty(php->data));Swap(&php->data[0], &php->data[php->size - 1]);php->size--;AdjustDown(php->data, php->size, 0);
}

返回堆顶

//返回堆顶
HpDatatype HeapTop(Heap* php)
{assert(php);return php->data[0];
}

判空

//判空
bool HeapEmpty(Heap* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}

堆的大小

//堆的大小
int HeapSize(Heap* php)
{return php->size;
}