【本节目标】

1. 掌握树的基本概念
2. 掌握二叉树概念及特性
3. 掌握二叉树的基本操作
4. 完成二叉树相关的面试题练习

1. 树型结构（了解）

1.1 概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
• 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <=m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个
• 后继树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2 概念（重要）

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4

树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：
非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.3 树的表示形式（了解）

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {int value; // 树中存储的数据Node firstChild; // 第一个孩子引用Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

1.4 树的应用

文件系统管理（目录和文件）

2. 二叉树（重点）

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 或者为空
2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
   
   从上图可以看出：
3. 二叉树不存在度大于2的结点
4. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
   注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
   

2.2 两种特殊的二叉树

1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为k，且结点总数是2^K-1，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
   

2.3 二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^i-1 (i>0)个结点
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
   
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为log₂(n+1) 上取整
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为 i 的结点有：

• 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
• 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
• 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
   A 不存在这样的二叉树
   B 200
   C 198
   D 199
2. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
   A n
   B n+1
   C n-1
   D n/2
3. 一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
   A 383
   B 384
   C 385
   D 386
4. 一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ ）
   A 11
   B 10
   C 8
   D 12

答案：

1. B
   n0 = n2+1
2. A
   2n= n0 +1+ n2
   n0 = n2+1
   假设度为0的节点个数为x
   n2 =n0-1 =x-1
   2n =x+1+x-1
   2n = 2x
   n=x
3. B
4. B

2.4 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
顺序存储在下节介绍。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下

// 孩子表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树Node parent; // 当前节点的根节点
}

孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍，本文采用孩子表示法来构建二叉树。

2.5 二叉树的基本操作

2.5.1 前置说明

在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二叉树结构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，反过头再来研究二叉树真正的创建方式。

public class BinaryTree{public static class BTNode{BTNode left;BTNode right;int value;BTNode(int value){this.value = value;}}private BTNode root;public void createBinaryTree(){BTNode node1 = new BTNode(1);BTNode node1 = new BTNode(2);BTNode node1 = new BTNode(3);BTNode node1 = new BTNode(4);BTNode node1 = new BTNode(5);BTNode node1 = new BTNode(6);root = node1;node1.left = node2;node2.left = node3;node1.right = node4;node4.left = node5;node5.right = node6;}
}

注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。
再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念，二叉树是：

1. 空树
2. 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的。

从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

2.5.2 二叉树的遍历

1.前中后序遍历
学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：
NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。

// 前序遍历
void preOrder(Node root);// 中序遍历
void inOrder(Node root);// 后序遍历
void postOrder(Node root);
比

下面主要分析前序递归遍历，中序与后序图解类似，同学们可自己动手绘制。

前序遍历结果：1 2 3 4 5 6
中序遍历结果：3 2 1 5 4 6
后序遍历结果：3 1 5 6 4 1
2. 层序遍历
层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

【练习】请同学们根据以上二叉树的三种遍历方式，给出以下二叉树的：

选择题

1. 某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为()
   A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA
2. 二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为()
   A: E B: F C: G D: H
3. 设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为()
   A: adbce B: decab C: debac D: abcde
4. 某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出(同一层从左到右)的序列为()
   A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF

【参考答案】 1.A 2.A 3.D 4.A
2.
3.
4.

根据前序和后序能不能创建一棵二又树呢?
不可以
前序和后序只能确定根的位置

2.5.3 二叉树的基本操作

// 获取树中节点的个数
int size(Node root);// 获取叶子节点的个数
int getLeafNodeCount(Node root);// 子问题思路-求叶子结点个数// 获取第K层节点的个数
int getKLevelNodeCount(Node root,int k);// 获取二叉树的高度
int getHeight(Node root);// 检测值为value的元素是否存在
Node find(Node root, int val);//层序遍历
void levelOrder(Node root);// 判断一棵树是不是完全二叉树
boolean isCompleteTree(Node root)

// 获取树中节点的个数
int size(Node root);

// 获取叶子节点的个数
int getLeafNodeCount(Node root);

// 子问题思路-求叶子结点个数

// 获取第K层节点的个数
int getKLevelNodeCount(Node root,int k);

// 获取二叉树的高度
int getHeight(Node root);

放oj上的话 法二有可能溢出 因为法二计算了2遍 法一直接把当前的记录下来避免了重复运算造成的算法效率的降低

// 检测值为value的元素是否存在
Node find(Node root, int val);

//层序遍历
void levelOrder(Node root);

// 判断一棵树是不是完全二叉树
boolean isCompleteTree(Node root)

2.6 二叉树相关oj题

1. 检查两颗树是否相同。OJ链接
   
   

2. 另一颗树的子树。OJ链接
   
   if(root==null)易漏掉 会导致空指针异常

3. 翻转二叉树。OJ链接
   

4. 判断一颗二叉树是否是平衡二叉树。OJ链接
   可以在求树高度的过程中判断树是否平衡
   

5. 对称二叉树。OJ链接
   

6. 二叉树的构建及遍历。OJ链接
   
   
   注意：public static int i最好把static去掉 否则当有多个测试用例时 i无法重新为0

7. 二叉树的分层遍历 。OJ链接
   层序遍历如下：
   
   但此题要求返回List<List < Integer > >
   代码应更新如下:
   
   

8. 给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先 。OJ链接
   法一：
   
   
   法二：
   
   
   
   
   
   

9. 根据一棵树的前序遍历与中序遍历构造二叉树。 OJ链接
   
   
   
   注意：priIndex不能用局部变量 要写成成员变量

10. 根据一棵树的中序遍历与后序遍历构造二叉树OJ链接
    

11. 二叉树创建字符串。OJ链接

12. 二叉树前序非递归遍历实现 。OJ链接
    

13. 二叉树中序非递归遍历实现。OJ链接
    

14. 二叉树后序非递归遍历实现。OJ链接