目录
- 一、红黑树的概念
- 二、红黑树的性质
- 三、红黑树的插入操作
- 四、红黑树的验证
- 五、红黑树和AVL树的比较
- 六、代码
一、红黑树的概念
红黑树,是一种二叉搜索树,但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色,可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制,红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍,因而是接近平衡的。
二、红黑树的性质
红黑树有以下五点性质:
- 每个结点不是红色就是黑色。
- 根结点是黑色的。
- 如果一个结点是红色的,则它的两个孩子结点是黑色的。(没有连续的红结点)
- 对于每个结点,从该结点到其所有后代叶子结点的简单路径上,均包含相同数目的黑色结点。(每条路径上的黑色结点数量相同)
- 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指定是空结点)。
为什么满足上面的性质,红黑树就能保证:其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点给树的两倍呢?
1.根据红黑树的性质我们可以知道,黑节点的孩子可以是黑节点,但是必须保证每条路径上黑色节点的数量相等,全黑节点的路径就是最短路径。
2.红节点的孩子节点不能是红节点,我们可以知道,在每条路径黑色节点已经定长的时候,红色节点最少可以是0个,最多可以是和黑色节点相同数量的节点(不考虑子节点为空,因为空也代表黑色节点),所以在黑色节点和红色节点相间时可以找到最长路径,最长路径的长度范围最大也就是两倍的黑色节点数量。
3.最短路径长度是全黑色节点的数量,最长路径长度是红黑相间的路径长度,也就是最多是黑色节点的两倍,所有我们可以知道,红黑树的最长路径长度不会超过最短路径长度的2倍
三、红黑树的插入操作
对于红黑树的插入来说,我们都是要通过构造红黑树节点来进行插入的,那么就有一个问题,究竟是构造红节点还是黑节点呢?
以上图为例,当插入的是红节点时,其父节点如果是黑色,那么将不需要调整红黑树;如果是红色节点也只是影响局部,简单调整;但是插入黑色节点就不一样了,无论你插在哪里,对整棵树的影响很大,所以我们可以插入红色节点,然后往上调整。
在插入节点时,如果父亲节点是黑色则不需要去处理,如果插入的节点的父亲节点是红色,我们分两种情况去讨论,①叔叔节点存在且叔叔节点是红色节点 ②叔叔节点存在且为黑色节点或者叔叔节点不存在,此时我们需要进行旋转操作。
情况一 叔叔节点存在且为红色
情况二 叔叔节点存在且为黑/不存在
① p为g的左节点,cur为p的左节点,需要进行右单旋
② p为g的左节点,cur为g的右节点,需要进行左右双旋
③ p为g的右节点,cur为p的右节点,需要进行左单旋
④ p为g的右节点,cur为p的左节点,需要进行右左单旋
四、红黑树的验证
先利用中序遍历看他是否是一颗搜索树
void InOrder()
{_InOrder(_root);
}void _InOrder(Node* root)
{if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;_InOrder(root->_right);
}
根据红黑树的性质进行判断
bool IsBalance(){if (_root && _root->_col == RED){//判断根节点是否为黑色cout << "根节点是红色" << endl;return false;}//随便找一条路径的黑色节点数量int benchmark = 0;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_col == BLACK){benchmark++;}cur = cur->_left;}return _Check(_root,0,benchmark);}bool _Check(Node* root,int blackNum,int benchmark){if (root == nullptr){if (blackNum != benchmark){//比较每条路径的黑色节点数量cout << "某条路径黑色节点的数量不相等" << endl;return false;}return true;}if (root->_col == BLACK)blackNum++;//如果该节点为红色,则继续判断他的孩子节点的颜色if (root->_col == RED&& root->_parent->_col==RED){//该节点为红色节点,那么他一定存在父亲节点cout << "存在连续的红色节点" << endl;return false;} //递归return _Check(root->_left,blackNum,benchmark) && _Check(root->_right,blackNum,benchmark);}
五、红黑树和AVL树的比较
红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树,增删改查的时间复杂度都是O( l o g 2 N log_2 N log2N),红黑树不追求绝对平衡,其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍,相对而言,降低了插入和旋转的次数,所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优,而且红黑树实现比较简单,所以实际运用中红黑树更多。
六、代码
#pragma once
#include<iostream>
#include<assert.h>enum Color { RED, BLACK };template<class T>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode<T>* _left;RBTreeNode<T>* _right;RBTreeNode<T>* _parent;T _data;Color _col;RBTreeNode(const T& data):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _data(data), _col(RED){}
};template<class T,class Ref,class Ptr>
struct _RBTreeIterator
{typedef RBTreeNode<T> Node;typedef _RBTreeIterator<T, Ref, Ptr> Self;typedef _RBTreeIterator<T, T&, T*> iterator;Node* _node;_RBTreeIterator(Node* node):_node(node){}_RBTreeIterator(const iterator& it){_node = it._node;}Ref operator*(){return _node->_data;}Ptr operator->(){return &_node->_data;}bool operator!=(const Self& s){return _node != s._node;}Self& operator++(){if (_node->_right){//右不为空,下一个就是右子树的最左几点Node* subLeft = _node->_right;while (subLeft->_left){subLeft = subLeft->_left;}_node = subLeft;}else {//右为空,沿着根的路径,找孩子是父亲左的那个祖先Node* cur = _node;Node* parent = cur->_parent;while (parent && cur == parent->_right){cur = parent;parent = parent->_parent;}_node = parent;}return *this;}Self& operator--(){if (_node->_left){//左不为空,下一个就是左子树的最右节点Node* subRight = _node->_left;while(subRight->_right){subRight = subRight->_right;}_node = subRight;}else {//左为空,沿着根的路径,孩子是父亲的右的祖先Node* cur = _node;Node* parent = cur->_parent; while (parent && cur == parent->_left){cur = parent;parent = parent->_parent;}_node = parent;}return *this;}
};template<class K, class T,class KeyOft>
class RBTree
{typedef RBTreeNode<T> Node;
public:typedef _RBTreeIterator<T, T&, T*>iterator;typedef _RBTreeIterator<T, const T&, const T*>const_iterator;iterator begin(){Node* cur = _root;while (cur && cur->_left){cur = cur->_left;}return iterator(cur);}iterator end(){return iterator(nullptr);}//查找Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;KeyOft kot;while (cur){if (kot(cur->_data) < key){cur = cur->_right;}else if (kot(cur->_data) > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}}//析构函数~RBTree(){_Destory(_root);_root = nullptr;}
public:pair<iterator,bool> Insert(const T& data){if (_root == nullptr){//根节点为空,创建一个节点为根节点_root = new Node(data);_root->_col = BLACK;return make_pair(iterator(_root),true);}KeyOft kot;Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (kot(cur->_data) > kot(data)){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (kot(cur->_data) < kot(data)){parent = cur;cur = cur->_right;}else return make_pair(iterator(cur),false); //要插入的元素已经存在,返回 false}cur = new Node(data);Node* newnode = cur;if (kot(cur->_data)< kot(parent->_data)){parent->_left = cur;}else{parent->_right = cur;}cur->_parent = parent;while (parent && parent->_col == RED){Node* grandfather = parent->_parent;if (grandfather->_left == parent){Node* uncle = grandfather->_right;if (uncle && uncle->_col == RED){//叔叔节点存在并且是红色节点parent->_col = BLACK;uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;//继续往上调整cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else {//叔叔节点不存在或者存在但为黑//旋转 + 变色// g// p u// cif (cur == parent->_left){RotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{// g// p u// cRotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;parent->_col = RED;grandfather->_col = RED;}break;}}else if (grandfather->_right == parent){Node* uncle = grandfather->_left;if (uncle && uncle->_col == RED){//叔叔节点存在并且是红色节点parent->_col = BLACK;uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;//继续往上调整cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else {//叔叔节点不存在或者存在但为黑//旋转 + 变色// g// u p// cif (cur == parent->_right){RotateL(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{// g// u p// cRotateR(parent);RotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;parent->_col = RED;grandfather->_col = RED;}break;}}}_root->_col = BLACK; //把根变成黑色return make_pair(iterator(newnode),true);}void InOrder(){ _InOrder(_root);cout << endl;}bool IsBalance(){if (_root && _root->_col == RED){cout << "根节点是红色" << endl;return false;}//随便找一条路径的黑色节点数量int benchmark = 0;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_col == BLACK){benchmark++;}cur = cur->_left;}return _Check(_root, 0, benchmark);}
private:void _Destory(Node* root){//析构,后续遍历销毁if (root == nullptr){return;}_Destory(root->_left);_Destory(root->_right);delete root;}bool _Check(Node* root, int blackNum, int benchmark){if (root == nullptr){if (blackNum != benchmark){cout << "某条路径黑色节点的数量不相等" << endl;return false;}return true;}if (root->_col == BLACK)blackNum++;if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED){//该节点为红色节点,那么他一定存在父亲节点cout << "存在连续的红色节点" << endl;return false;}return _Check(root->_left, blackNum, benchmark) && _Check(root->_right, blackNum, benchmark);}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << " ";_InOrder(root->_right);}void RotateL(Node* parent) //左单旋{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent; //subRL可能为空Node* ppnode = parent->_parent;subR->_left = parent; //parent节点成为subR的左子树节点parent->_parent = subR;if (ppnode == nullptr) //判断当前传入的节点是否为根节点{_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else {if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subR;}else {ppnode->_right = subR;}subR->_parent = ppnode; //subR 成为当前子树的根节点}}void RotateR(Node* parent) //右单旋{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;Node* ppnode = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (ppnode == nullptr){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (parent == ppnode->_left){ppnode->_left = subL;}else {ppnode->_right = subL;}subL->_parent = ppnode;}}private:Node* _root = nullptr;
};void RBTreeTest()
{//RBTree<int, int> t1;//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16,14 };//for (auto e : a)//{// t1.Insert(make_pair(e, e));//}//t1.InOrder();//cout << t1.IsBalance() << endl;
}