序言
最近在学习python语言，语言有通用性，此文记录复习动态规划并练习python语言。
动态规划（Dynamic Programming）
动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。20世纪50年代初，美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，从而创立了动态规划。动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域，并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了显著的效果。
基本思想：将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。
斐波那契数列（Fibonacci sequence）
斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：F(0)=1，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）。
先以斐波那契数列为例，了解动态规划。
def fibonacci(num):if num == 0:return 1if num == 1:return 1return fibonacci(num - 1) + fibonacci(num - 2)if __name__ == "__main__":print(fibonacci(10))
上述是以递归的方式实现的，然而递归方式存在以下几个缺点：
- 1）递归调用，占用空间大；
- 2）递归太深，容易发生栈溢出；
- 3）可能存在大量重复计算；
| 结果 | （n-1）项 | （n-2）项 |
|---|---|---|
| f(n) | f(n-1) | f(n-2) |
| … | … | … |
| f(5) | f(4) | f(3) |
| f(4) | f(3) | f(2) |
| f(3) | f(2) | f(1) |
| f(2) | f(1) | f(0) |
以上述表格为例，可以看到在求下一个递归结果时，计算了之前已经计算出来的结果，存在重复计算项。
如果采用动态规划的方式，那么可以节省计算，采用数组暂存之前已经计算出来的结果。如下，
def fibonacci_dp(num):# 定义一个数组暂存dp结果，数组初始值为-1dp = [-1] * (num + 1)dp[0] = 1dp[1] = 1for i in range(2, num + 1):dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]return dp[num]if __name__ == "__main__":print(fibonacci_dp(10))
不同路径
上面的斐波那契数列是一维数组，较为简单，下面以二维数组为例。
题目描述
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例1: 输入：m = 3, n = 7 输出：28
示例2: 输入：m = 3, n = 2 输出：3
解释： 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1.向右 -> 向下 -> 向下
2.向下 -> 向下 -> 向右
3.向下 -> 向右 -> 向下
示例3:
输入：m = 7, n = 3 输出：28
示例4:
输入：m = 3, n = 3 输出：6
1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 10^9
python代码
class UniquePaths(object):def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:""":type m: int:type n: int:rtype: int"""# 初始化一个二维数组dp = [[0] * n for _ in range(m)]for i in range(m):dp[i][0] = 1for j in range(n):dp[0][j] = 1for i in range(1, m):for j in range(1, n):dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]return dp[m - 1][n - 1]if __name__ == "__main__":demo = UniquePaths()print(demo.uniquePaths(7, 3))
最小路径和
题目描述
给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
说明：一个机器人每次只能向下或者向右移动一步。
示例1：
输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
示例2：
输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12
提示：
m == grid.length
n == grid[i].length
1 <= m, n <= 200
0 <= grid[i][j] <= 100
python代码
class MinPathSum(object):def minPathSum(self, grid):""":type grid: List[List[int]]:rtype: int"""row = len(grid)column = len(grid[0])# 定义dp[i][j]为到(i,j)处的最小路径和dp = [[0] * column for _ in range(row)]dp[0][0] = grid[0][0]# 第0行j列for j in range(1, column):dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j]# 第i行0列for i in range(1, row):dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0]# 非第0行或第0列for i in range(1, row):for j in range(1, column):dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]return dp[row - 1][column - 1]if __name__ == "__main__":demo = MinPathSum()grid = [[1, 3, 1], [1, 5, 1], [4, 2, 1]]print(demo.minPathSum(grid))
零钱兑换
题目描述
给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。
计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
示例 1：
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1
示例 2：
输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1
示例 3：
输入：coins = [1], amount = 0
输出：0
提示：
1 <= coins.length <= 12
1 <= coins[i] <= 231 - 1
0 <= amount <= 104
python代码
class CoinChange(object):def coinChange(self, coins: list[int], amount: int) -> int:""":type coins: List[int]:type amount: int:rtype: int"""# 状态转移方程dp(i) = min(dp(i-Cj)) + 1，Cj为货币面值"""i<0 忽略i==0 dp[0] = 0i==1 dp[1] = min(dp[1-1], dp[1-2], dp[1-5]) + 1 = 1i==2 dp[2] = min(dp[2-1], dp[2-2], dp[2-5]) + 1 = 1i==3 dp[3] = min(dp[3-1], dp[3-2], dp[3-5]) + 1 = 2i==4 dp[4] = min(dp[4-1], dp[4-2], dp[4-5]) + 1 = 2... ..."""dp = [0] * (amount + 1)dp[0] = 0for i in range(1, amount + 1):mini = int(1e9)for coin in coins:if i >= coin:res = dp[i - coin]if 0 <= res < mini:mini = resdp[i] = mini + 1 if mini < int(1e9) else -1if amount < 1:return 0return dp[amount]if __name__ == "__main__":demo = CoinChange()coins = [1, 2, 5]amount = 11print(demo.coinChange(coins, amount))
