线性代数的本质(二)

文章目录

  • 线性变换与矩阵
    • 线性变换与二阶方阵
    • 常见的线性变换
    • 复合变换与矩阵乘法
    • 矩阵的定义
    • 列空间与基
    • 矩阵的秩
    • 逆变换与逆矩阵

线性变换与矩阵

线性变换与二阶方阵

本节从二维平面出发学习线性代数。通常选用平面坐标系 O x y Oxy Oxy ,基向量为 i , j \mathbf i,\ \mathbf j i, j,平面内的任意向量都可以写成基向量的线性组合
v = x i + y j \mathbf v=x\mathbf i+y\mathbf j v=xi+yj
这样,平面内的点和有序实数对 ( x , y ) (x,y) (x,y) 一一对应。借助平面坐标系,我们可以从代数的角度来研究几何变换。

变换与函数类似,函数把数映射到数,变换把点(向量)映射到点(向量)。
T : v ↦ T ( v ) T:\quad \mathbf v\mapsto T(\mathbf v) T:vT(v)

例如,(1) 平面内任意一点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y) 绕原点 O O O 逆时针方向旋转 60 ° 60\degree 60° 角得到点 P ′ ( x ′ , y ′ ) P'(x',y') P(x,y),坐标变换公式为
{ x ′ = 1 2 x − 3 2 y y ′ = 3 2 x + 1 2 y \begin{cases} x'=\frac{1}{2}x-\frac{\sqrt 3}{2}y \\ y'=\frac{\sqrt 3}{2}x+\frac{1}{2}y \end{cases} {x=21x23 yy=23 x+21y
可写为向量形式
[ x ′ y ′ ] = x [ 1 2 3 2 ] + y [ − 3 2 1 2 ] \begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}= x\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\\\frac{\sqrt 3}{2}\end{bmatrix}+ y\begin{bmatrix}-\frac{\sqrt 3}{2}\\\frac{1}{2}\end{bmatrix} [xy]=x[2123 ]+y[23 21]

(2) 平面内任意一点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y) 关于 y y y 轴的对称点 P ′ ( x ′ , y ′ ) P'(x',y') P(x,y)的表达式为
{ x ′ = − x y ′ = y \begin{cases} x'=-x \\ y'=y \end{cases} {x=xy=y
可写为向量形式
[ x ′ y ′ ] = x [ − 1 0 ] + y [ 0 1 ] \begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}= x\begin{bmatrix}-1\\0\end{bmatrix}+ y\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} [xy]=x[10]+y[01]

事实上,在平面坐标系 O x y Oxy Oxy 中,很多几何变换都具有如下坐标变换公式
{ x ′ = a x + b y y ′ = c x + d y \begin{cases} x'=ax+by \\ y'=cx+dy \end{cases} {x=ax+byy=cx+dy
向量形式为
[ x ′ y ′ ] = x [ a c ] + y [ b d ] \begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}= x\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}+ y\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix} [xy]=x[ac]+y[bd]
其中 ( x ′ , y ′ ) (x',y') (x,y)为平面内任意一点 ( x , y ) (x,y) (x,y) 变换后的点。我们把形如上式的几何变换叫做平面线性变换

容易证明,线性变换满足下列两条性质

(1) 可加性: T ( v + w ) = T ( v ) + T ( w ) T(\mathbf v+\mathbf w)=T(\mathbf v)+T(\mathbf w) T(v+w)=T(v)+T(w)
(2) 伸缩性: T ( c v ) = c L ( v ) T(c\mathbf v)=cL(\mathbf v) T(cv)=cL(v)

事实上,这两条性质才是线性变换的严格定义。

为了进一步了解线性变换的本质,取任意向量 v = x i + y j \mathbf v=x\mathbf i+y\mathbf j v=xi+yj ,在线性变换 T T T 的作用下
T ( v ) = T ( x i + y j ) = x T ( i ) + y T ( j ) T(\mathbf v)=T(x\mathbf i+y\mathbf j)=xT(\mathbf i)+yT(\mathbf j) T(v)=T(xi+yj)=xT(i)+yT(j)
可知,变换后的向量 T ( v ) T(\mathbf v) T(v) 由变换后的基向量以同样的系数完全确定。设变换后的基向量分别为
T ( i ) = a i + c j = [ a c ] , T ( j ) = b i + d j = [ b d ] T(\mathbf i)=a\mathbf i+c\mathbf j=\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix},\quad T(\mathbf j)=b\mathbf i+d\mathbf j=\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix} T(i)=ai+cj=[ac],T(j)=bi+dj=[bd]

注意:本章线性变换中的坐标始终使用最初的 O x y Oxy Oxy 坐标系。

于是,线性变换 T : v ↦ T ( v ) T:\mathbf v\mapsto T(\mathbf v) T:vT(v) 对应的坐标运算为
[ x ′ y ′ ] = x [ a c ] + y [ b d ] \begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}= x\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}+ y\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix} [xy]=x[ac]+y[bd]
由于上述变换由变换后的基向量唯一确定,我们可以按顺序写为数表的形式

我们把这个数表称为二阶矩阵,一般用大写英文字母表示。变换后的向量则定义为矩阵与向量的乘积
[ a b c d ] [ x y ] = x [ a c ] + y [ b d ] = [ a x + b y c x + d y ] \begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}= x\begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix}+ y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} ax+by \\ cx+dy \end{bmatrix} [acbd][xy]=x[ac]+y[bd]=[ax+bycx+dy]
可知,矩阵代表一个特定的线性变换,我们完全可以把矩阵的列看作变换后的基向量,矩阵向量乘法就是将线性变换作用于给定向量

Grant:矩阵最初的定义就来自线性变换。

至此,任何一个线性变换都可以写为矩阵与向量乘积的形式。反之,确定了坐标系后,任何一个矩阵都唯一确定了一个线性变换。矩阵和向量的乘积与线性变换实现了一一对应。

一般地,直线在线性变换后仍然保持直线

证明:如图 l l l 为向量 w 1 , w 2 \mathbf w_1,\mathbf w_2 w1,w2 终点所确定的直线, v \mathbf v v 为终点在直线 l l l 上的任意向量。
v = w 1 + λ ( w 2 − w 1 ) = ( 1 − λ ) w 1 + λ w 2 ( λ ∈ R ) \mathbf v=\mathbf w_1+\lambda(\mathbf w_2-\mathbf w_1)=(1-\lambda)\mathbf w_1+\lambda \mathbf w_2 \quad (\lambda\in\R) v=w1+λ(w2w1)=(1λ)w1+λw2(λR)
λ 1 + λ 2 = 1 \lambda_1+\lambda_2=1 λ1+λ2=1
v = λ 1 w 1 + λ 2 w 2 \mathbf v=\lambda_1 \mathbf w_1+\lambda_2 \mathbf w_2 v=λ1w1+λ2w2
这就是由向量 w 1 , w 2 \mathbf w_1,\mathbf w_2 w1,w2 的终点所确定的直线的向量形式。由线性变换的基本性质可知,直线 l l l 在线性变换 A A A 的作用下变成
v ′ = A ( λ 1 w 1 + λ 2 w 2 ) = λ 1 A w 1 + λ 2 A w 2 \mathbf v'=A(\lambda_1 \mathbf w_1+\lambda_2 \mathbf w_2)=\lambda_1 A\mathbf w_1+\lambda_2 A\mathbf w_2 v=A(λ1w1+λ2w2)=λ1Aw1+λ2Aw2
(1) 如果 A w 1 ≠ A w 2 A\mathbf w_1\neq A\mathbf w_2 Aw1=Aw2,那么 v ′ \mathbf v' v 表示由向量 A w 1 , A w 2 A\mathbf w_1,A\mathbf w_2 Aw1,Aw2 的终点确定的直线。此时矩阵 A A A 对应的线性变换把直线变成直线;
(2) 如果 A w 1 = A w 2 A\mathbf w_1 = A\mathbf w_2 Aw1=Aw2,那么 λ 1 A w 1 + λ 2 A w 2 = A w 1 \lambda_1 A\mathbf w_1+\lambda_2 A\mathbf w_2=A\mathbf w_1 λ1Aw1+λ2Aw2=Aw1 。由于向量 A w 1 A\mathbf w_1 Aw1 的终点是一个确定的点,因而,矩阵 A A A 所对应的线性变换把直线 l l l 映射成了一个点 A w 1 A\mathbf w_1 Aw1

常见的线性变换

Grant:我们可以使用无限网格刻画二维空间所有点的变换。线性变换是操作空间的一种手段,它能够保持网格线平行且等距,并保持原点不动

我们已经知道,在线性变换的作用下,直线仍然保持直线(或一个点)。为了方便,我们只考虑在平面直角坐标系内,单位正方形区域的线性变换。

根据向量加法的平行四边形法则,单位正方形区域可用向量形式表示为
[ x y ] = x i + y j ( 0 ⩽ x , y ⩽ 1 ) \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=x\mathbf i+y\mathbf j \quad(0\leqslant x,y\leqslant 1) [xy]=xi+yj(0x,y1)
由线性变换基本性质知,变换后的区域为
A [ x y ] = x ( A i ) + y ( A j ) ( 0 ⩽ x , y ⩽ 1 ) A\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=x(A\mathbf i)+y(A\mathbf j) \quad(0\leqslant x,y\leqslant 1) A[xy]=x(Ai)+y(Aj)(0x,y1)

表示以 A i , A j A\mathbf i,A\mathbf j Ai,Aj 为邻边的平行四边形区域。因此,我们只需考虑单位向量 i , j \mathbf i,\mathbf j i,j 在线性变换作用下的结果,就能得到单位正方形区域在线性变换作用下所变成的图形。

恒等变换:把平面内任意一点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y) 变成它本身,记为 I I I 。对应的矩阵称为单位阵
[ 1 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} [1001]

旋转变换:(rotations)平面内任意一点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y) 绕原点 O O O按逆时针方向旋转 θ \theta θ 角,记为 R θ R_{\theta} Rθ 。对应的矩阵为
[ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} [cosθsinθsinθcosθ]

切变变换:(shears)平行于 x x x 轴的切变变换对应的矩阵为
[ 1 k 0 1 ] \begin{bmatrix} 1 & k\\ 0 & 1 \end{bmatrix} [10k1]
类似的,平行于 y y y 轴的切变变换对应的矩阵为
[ 1 0 k 1 ] \begin{bmatrix} 1 & 0\\ k & 1 \end{bmatrix} [1k01]

反射变换:(reflection)一般的我们把平面内任意一点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y) 关于直线 l l l 对称的线性变换叫做关于直线 l l l 的反射变换。

(1) 关于 y y y 轴的反射变换对应的矩阵为
[ − 1 0 0 1 ] \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} [1001]
(2) 关于直线 y = x y=x y=x 的反射变换对应的矩阵为
[ 0 1 1 0 ] \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} [0110]
(3) 关于直线 y = k x y=kx y=kx 的反射变换对应的矩阵为
1 k 2 + 1 [ 1 − k 2 2 k 2 k k 2 − 1 ] \frac{1}{k^2+1}\begin{bmatrix} 1-k^2 & 2k\\ 2k & k^2-1 \end{bmatrix} k2+11[1k22k2kk21]

伸缩变换:(stretching)将每个点的横坐标变为原来的 k 1 k_1 k1 倍,纵坐标变为原来的 k 2 k_2 k2 倍,其中 k 1 , k 2 ≠ 0 k_1,k_2\neq0 k1,k2=0 。对应的矩阵为
[ k 1 0 0 k 2 ] \begin{bmatrix} k_1 & 0\\ 0 & k_2 \end{bmatrix} [k100k2]

投影变换:(projection)平面内任意一点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y) 在直线 l l l 的投影称为关于直线 l l l 的投影变换。

(1) 关于 x x x 轴的投影变换对应的矩阵为
[ 1 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix} [1000]
(2) 关于 y y y 轴的投影变换对应的矩阵为
[ 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} [0001]
(3) 关于直线 y = k x y=kx y=kx 的投影变换对应的矩阵为
1 k 2 + 1 [ 1 k k k 2 ] \frac{1}{\sqrt{k^2+1}}\begin{bmatrix} 1 & k\\ k & k^2 \end{bmatrix} k2+1 1[1kkk2]

平移变换:形如 ( x , y ) ↦ ( x + h , y + k ) (x,y)\mapsto (x+h,y+k) (x,y)(x+h,y+k) 的平移变换并不是线性变换,我们无法直接使用矩阵向量乘法。对此可以引入齐次坐标:平面内的每个点 ( x , y ) (x,y) (x,y) 都可以对应于空间中的点 ( x , y , 1 ) (x,y,1) (x,y,1) 。平移变换可以用齐次坐标写成变换 T : ( x , y , 1 ) ↦ ( x + h , y + k , 1 ) T:(x,y,1)\mapsto (x+h,y+k,1) T:(x,y,1)(x+h,y+k,1),对应的矩阵为
[ 1 0 h 0 1 k 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & h \\ 0 & 1 & k \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} 100010hk1

复合变换与矩阵乘法

平面内任意一向量,依次做旋转变换 R θ 1 : [ cos ⁡ θ 1 − sin ⁡ θ 1 sin ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 ] R_{\theta_1}:\begin{bmatrix} \cos{\theta_1} & -\sin{\theta_1}\\ \sin{\theta_1} & \cos{\theta_1} \end{bmatrix} Rθ1:[cosθ1sinθ1sinθ1cosθ1] R θ 2 : [ cos ⁡ θ 2 − sin ⁡ θ 2 sin ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 ] R_{\theta_2}:\begin{bmatrix} \cos{\theta_2} & -\sin{\theta_2}\\ \sin{\theta_2} & \cos{\theta_2} \end{bmatrix} Rθ2:[cosθ2sinθ2sinθ2cosθ2]

很显然最终作用的效果可以用一个变换 R θ 1 + θ 2 R_{\theta_1+\theta_2} Rθ1+θ2 来表示,对应的矩阵为
[ cos ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) − sin ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) sin ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) cos ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) ] \begin{bmatrix} \cos{(\theta_1+\theta_2)} & -\sin{(\theta_1+\theta_2)}\\ \sin{(\theta_1+\theta_2)} & \cos{(\theta_1+\theta_2)} \end{bmatrix} [cos(θ1+θ2)sin(θ1+θ2)sin(θ1+θ2)cos(θ1+θ2)]
旋转变换 R θ 1 + θ 2 R_{\theta_1+\theta_2} Rθ1+θ2仍然是线性变换。

一般地,设矩阵 A = [ a 1 b 1 c 1 d 1 ] , B = [ a 2 b 2 c 2 d 2 ] A=\begin{bmatrix}a_1 & b_1\\ c_1 & d_1\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}a_2 & b_2\\ c_2 & d_2\end{bmatrix} A=[a1c1b1d1],B=[a2c2b2d2],他们对应的线性变换分别为 f f f g g g

平面上任意一个向量 v = [ x y ] \mathbf v=\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} v=[xy] 依次做变换 g g g f f f ,其作用效果为
f ( g ( v ) ) = A ( B v ) f(g(\mathbf v))=A(B\mathbf v) f(g(v))=A(Bv)

Grant:线性变换的本质主要在于追踪基向量变换后的位置。

接下来,我们追踪变换过程中基向量的位置。由矩阵向量乘法的定义知道,基向量 i , j \mathbf i,\mathbf j i,j 经过矩阵 B B B 变换后(第一次变换)的位置为
B i = [ a 2 c 2 ] , B j = [ b 2 d 2 ] B\mathbf i=\begin{bmatrix}a_2\\c_2\end{bmatrix},\quad B\mathbf j=\begin{bmatrix}b_2\\d_2\end{bmatrix} Bi=[a2c2],Bj=[b2d2]
基向量 B i , B j B\mathbf i,B\mathbf j Bi,Bj 又经过矩阵 A A A 变换后的最终位置为
i ′ : [ a 1 b 1 c 1 d 1 ] [ a 2 c 2 ] = a 2 [ a 1 c 1 ] + c 2 [ b 1 d 1 ] = [ a 1 a 2 + b 1 c 2 c 1 a 2 + d 1 c 2 ] j ′ : [ a 1 b 1 c 1 d 1 ] [ b 2 d 2 ] = b 2 [ a 1 c 1 ] + d 2 [ b 1 d 1 ] = [ a 1 b 2 + b 1 d 2 c 1 b 2 + d 1 d 2 ] \mathbf i':\begin{bmatrix}a_1 & b_1\\ c_1 & d_1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_2\\ c_2\end{bmatrix}= a_2\begin{bmatrix}a_1\\ c_1\end{bmatrix}+ c_2\begin{bmatrix}b_1\\d_1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}a_1a_2+b_1c_2 \\ c_1a_2+d_1c_2\end{bmatrix} \\ \mathbf j':\begin{bmatrix}a_1 & b_1\\ c_1 & d_1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_2\\ d_2\end{bmatrix}= b_2\begin{bmatrix}a_1\\ c_1\end{bmatrix}+ d_2\begin{bmatrix}b_1\\d_1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}a_1b_2+b_1d_2\\c_1b_2+d_1d_2\end{bmatrix} i:[a1c1b1d1][a2c2]=a2[a1c1]+c2[b1d1]=[a1a2+b1c2c1a2+d1c2]j:[a1c1b1d1][b2d2]=b2[a1c1]+d2[b1d1]=[a1b2+b1d2c1b2+d1d2]
从而,对任意向量 v = [ x y ] \mathbf v=\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} v=[xy] 依次做变换 B B B A A A ,其总体作用效果为
A ( B v ) = x i ′ + y j ′ = [ a 1 a 2 + b 1 c 2 a 1 b 2 + b 1 d 2 c 1 a 2 + d 1 c 2 c 1 b 2 + d 1 d 2 ] [ x y ] A(B\mathbf v)=x\mathbf i'+y\mathbf j'=\begin{bmatrix}a_1a_2+b_1c_2 & a_1b_2+b_1d_2\\ c_1a_2+d_1c_2 & c_1b_2+d_1d_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} A(Bv)=xi+yj=[a1a2+b1c2c1a2+d1c2a1b2+b1d2c1b2+d1d2][xy]
这也是一个线性变换,我们称为复合变换(composite transformation),记为 f ∘ g f\circ g fg

在此,我们定义复合变换 f ∘ g f\circ g fg 为矩阵 A , B A,B A,B 的乘积,记为
A B = [ a 1 b 1 c 1 d 1 ] [ a 2 b 2 c 2 d 2 ] = [ a 1 a 2 + b 1 c 2 a 1 b 2 + b 1 d 2 c 1 a 2 + d 1 c 2 c 1 b 2 + d 1 d 2 ] AB=\begin{bmatrix}a_1 & b_1\\ c_1 & d_1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_2 & b_2\\ c_2 & d_2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}a_1a_2+b_1c_2 & a_1b_2+b_1d_2\\ c_1a_2+d_1c_2 & c_1b_2+d_1d_2\end{bmatrix} AB=[a1c1b1d1][a2c2b2d2]=[a1a2+b1c2c1a2+d1c2a1b2+b1d2c1b2+d1d2]

注意:矩阵乘积的次序与复合变换相同,从右向左相继作用。

由定义易知,对任意向量 v \mathbf v v
( A B ) v = A ( B v ) (AB)\mathbf v=A(B\mathbf v) (AB)v=A(Bv)

矩阵的定义

接下来,我们将矩阵的概念推广到高维空间。高维线性空间中的变换与二维空间中的变换类似。

矩阵: m × n m\times n m×n 个数按一定次序排成的数表称为矩阵
[ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \\ \end{bmatrix} a11a21am1a12a22am2a1na2namn
常用大写英文字母表示矩阵,如 A A A A m × n A_{m× n} Am×n。矩阵中的每个数 a i j a_{ij} aij 称为它的元素(entry),有时矩阵也记作 ( a i j ) (a_{ij}) (aij) ( a i j ) m × n (a_{ij})_{m× n} (aij)m×n 。根据矩阵的元素所属的数域,可以将矩阵分为复矩阵和实矩阵。

几种特殊的矩阵

  1. 元素全为零的矩阵称为零矩阵(zero matrix),记作 O O O
  2. 只有一行的矩阵称为行矩阵(row matrix)或行向量;只有一列的矩阵称为列矩阵(column matrix)或列向量。行(列)矩阵通常用小写黑体字母表示,如 a , x \mathbf a,\mathbf x a,x
  3. 当行数和列数相等时的矩阵 A n × n A_{n\times n} An×n 称为** n n n 阶方阵**(n-order square matrix)。
  4. 不在主对角线上的元素全为零的方阵称为对角阵(diagonal matrix),记作 d i a g ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) \mathrm{diag}(a_1,a_2,\cdots,a_n) diag(a1,a2,,an)
  5. 主对角线上的元素全为1的对角阵,称为单位阵(identity matrix)。记 n n n 阶单位阵记作 E n E_n En I n I_n In

矩阵的线性运算:因为矩阵 A m × n A_{m\times n} Am×n 的各列是 m m m维向量,写作 A = [ a 1 a 2 ⋯ a n ] A=\begin{bmatrix}\mathbf a_1&\mathbf a_2&\cdots&\mathbf a_n\end{bmatrix} A=[a1a2an] ,因此矩阵可看作向量集,向量的线性运算自然推广到矩阵。

设矩阵 A = ( a i j ) A=(a_{ij}) A=(aij) B = ( b i j ) B=(b_{ij}) B=(bij)

  1. 他们的对应元素完全相同 a i j = b i j a_{ij}=b_{ij} aij=bij,则称矩阵 A A A B B B 相等,记作 A = B A=B A=B
  2. 矩阵的加法定义为 A + B = ( a i j + b i j ) A+B=(a_{ij}+b_{ij}) A+B=(aij+bij)
  3. 矩阵的数乘定义为 k A = ( k a i j ) kA=(ka_{ij}) kA=(kaij)

{% label 性质 orange %}:线性运算满足以下性质

  1. 加法交换律: A + B = B + A A+B=B+A A+B=B+A
  2. 加法结合律: A + ( B + C ) = ( A + B ) + C A+(B+C)=(A+B)+C A+(B+C)=(A+B)+C
  3. 零矩阵: O + A = A O+A=A O+A=A
  4. 负矩阵: A + ( − A ) = O A+(-A)=O A+(A)=O
  5. 数乘结合律: k ( l A ) = ( k l ) A k(lA)=(kl)A k(lA)=(kl)A
  6. 数乘分配律: k ( A + B ) = k A + k B k(A+B)=kA+kB k(A+B)=kA+kB
  7. 数乘分配律: ( k + l ) A = k A + l A (k+l)A=kA+lA (k+l)A=kA+lA
  8. 数乘单位元: 1 A = A 1A=A 1A=A

矩阵向量的乘法: 矩阵与向量的乘法来源于线性变换,它有着直观的、深刻的几何背景。设 m × n m\times n m×n 维矩阵 A = ( a i j ) A=(a_{ij}) A=(aij) n n n维向量 v = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) T \mathbf v=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T v=(x1,x2,,xn)T 的乘积
[ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] [ x 1 x 2 ⋮ x n ] = x 1 [ a 11 a 21 ⋮ a m 1 ] + ⋯ + x n [ a 1 n a 2 n ⋮ a m n ] = [ ∑ j = 1 n a 1 j x j ∑ j = 1 n a 2 j x j ⋮ ∑ j = 1 n a m j x j ] \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}= x_1\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots\\a_{m1}\end{bmatrix}+\cdots+ x_n\begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots\\a_{mn}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\sum_{j=1}^na_{1j}x_j\\\sum_{j=1}^na_{2j}x_j\\\vdots\\\sum_{j=1}^na_{mj}x_j\end{bmatrix} a11a21am1a12a22am2a1na2namn x1x2xn =x1 a11a21am1 ++xn a1na2namn = j=1na1jxjj=1na2jxjj=1namjxj
一般地, m × n m\times n m×n 维的矩阵,表示将 n n n 维空间中的向量映射到 m m m 维空间中。矩阵的第 j j j列表示第 j j j 个基向量变换后的坐标。

矩阵乘法:矩阵与矩阵乘法来源于复合线性变换。设矩阵 A = ( a i j ) m × n A=(a_{ij})_{m\times n} A=(aij)m×n B = ( b i j ) n × p B=(b_{ij})_{n\times p} B=(bij)n×p,向量 v = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x p ) \mathbf v=(x_1,x_2,\cdots,x_p) v=(x1,x2,,xp) ,用 b 1 , b 2 , ⋯ , b p \mathbf b_1,\mathbf b_2,\cdots,\mathbf b_p b1,b2,,bp表示矩阵 B B B 的各列,则
B v = x 1 b 1 + x 2 b 2 + ⋯ + x p b p B\mathbf v=x_1\mathbf b_1+x_2\mathbf b_2+\cdots+x_p\mathbf b_p Bv=x1b1+x2b2++xpbp
由线性变换的性质
A ( B v ) = A ( x 1 b 1 ) + A ( x 2 b 2 ) + ⋯ + A ( x p b p ) = x 1 A b 1 + x 2 A b 2 + ⋯ + x p A b p = [ A b 1 A b 2 ⋯ A b p ] v \begin{aligned} A(B\mathbf v)&=A(x_1\mathbf b_1)+A(x_2\mathbf b_2)+\cdots+A(x_p\mathbf b_p) \\ &=x_1A\mathbf b_1+x_2A\mathbf b_2+\cdots+x_pA\mathbf b_p \\ &=\begin{bmatrix}A\mathbf b_1&A\mathbf b_2&\cdots&A\mathbf b_p\end{bmatrix}\mathbf v \end{aligned} A(Bv)=A(x1b1)+A(x2b2)++A(xpbp)=x1Ab1+x2Ab2++xpAbp=[Ab1Ab2Abp]v
于是可定义矩阵的乘积 A B AB AB m × p m\times p m×p 矩阵
A B = A [ b 1 b 2 ⋯ b p ] = [ A b 1 A b 2 ⋯ A b p ] AB=A\begin{bmatrix}\mathbf b_1&\mathbf b_2&\cdots&\mathbf b_p\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}A\mathbf b_1&A\mathbf b_2&\cdots&A\mathbf b_p\end{bmatrix} AB=A[b1b2bp]=[Ab1Ab2Abp]
矩阵 A A A的列数必须和 B B B 的行数相等,乘积才有意义 。之前定义的矩阵向量乘法是矩阵乘法的特例。通常,更方便的方法是用元素定义矩阵乘法。设乘积 A B = ( c i j ) m × p AB=(c_{ij})_{m× p} AB=(cij)m×p。则元素
c i j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ⋯ + a i p b p j c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{ip}b_{pj} cij=ai1b1j+ai2b2j++aipbpj
{% label 性质 orange %}:矩阵乘法满足以下性质

  1. 矩阵乘法满足结合率: A ( B C ) = ( A B ) C A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C
  2. 矩阵乘法满足左分配律: A ( B + C ) = A B + A C A(B+C)=AB+AC A(B+C)=AB+AC
  3. 矩阵乘法满足右分配律: ( B + C ) A = B A + C A (B+C)A=BA+CA (B+C)A=BA+CA
  4. 矩阵乘法满足数乘分配律: k ( A B ) = ( k A ) B = A ( k B ) k(AB)=(kA)B=A(kB) k(AB)=(kA)B=A(kB)
  5. 矩阵乘法单位元: I A = A I = A IA=AI=A IA=AI=A

证明:(1) 可从矩阵乘法的定义证明满足结合率。从线性变换角度来看,对于复合变换 A ( B C ) A(BC) A(BC) ( A B ) C (AB)C (AB)C 是同样的变换,且依次作用的顺序并不会发生改变,变换的最终结果自然不变。
v → C C v → B B C v → A A B C v \mathbf v\xrightarrow{C}C\mathbf v\xrightarrow{B}BC\mathbf v\xrightarrow{A}ABC\mathbf v vC CvB BCvA ABCv

注意:

  1. 矩阵乘法不满足交换率,即一般情况下 A B ≠ B A AB\neq BA AB=BA
  2. 矩阵乘法不满足消去率,即若 A B = A C AB=AC AB=AC,不能推出 B = C B=C B=C ;同样由 A B = O AB=O AB=O,不能推出 A = O A=O A=O B = O B=O B=O

证明:(1) 一般地,复合变换 f ∘ g ≠ g ∘ f f\circ g\neq g\circ f fg=gf ,自然 A B ≠ B A AB\neq BA AB=BA,矩阵乘法不满足交换率。
(2) 可举例证明矩阵乘法不满足消去率

设矩阵
A = [ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 ] , B = [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] A=\begin{bmatrix}0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{bmatrix} A= 000100011 ,B= 000000100
则有
A B = [ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 ] [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] = O B A = [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] [ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 ] = [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] ≠ O AB=\begin{bmatrix}0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{bmatrix}=O \\ BA=\begin{bmatrix}0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{bmatrix}\neq O AB= 000100011 000000100 = 000000000 =OBA= 000000100 000100011 = 000000100 =O

列空间与基

定义:为方便使用,先介绍几个简单的定义

  1. 线性变换是一种映射,称变换后的向量 T ( v ) T(\mathbf v) T(v) 为向量 v \mathbf v v 在映射 T T T 下的,而称 v \mathbf v v T ( v ) T(\mathbf v) T(v) 在映射 T T T 下的原像

  2. 线性变换 T T T 的像集 T ( V ) T(V) T(V)是一个线性空间,称为线性变换 T T T值域,记作
    range ( T ) = { T ( v ) ∣ v ∈ V } \text{range}(T)=\{T(\mathbf v)\mid\mathbf v\in V\} range(T)={T(v)vV}

  3. 在前面几节的分析中,我们始终将矩阵的列看成是向量。而这些列向量所张成的空间,称为列空间,若 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) A=(\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_n) A=(a1,a2,,an)
    col  A = span { a 1 , a 2 , ⋯ , a n } \text{col }A=\text{span}\{\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_n\} col A=span{a1,a2,,an}

我们已经知道,变换后的向量 A v A\mathbf v Av 是变换后的基向量以同样的系数线性组合,而矩阵的列就是基向量变换之后的位置。因此,矩阵 A A A 线性变换后的空间即是矩阵 A A A 的列空间
col  A = range  A = { A v ∣ v ∈ V } \text{col }A=\text{range }A=\{A\mathbf v\mid\mathbf v\in V\} col A=range A={AvvV}
定理:矩阵 A A A 的主元列构成 col  A \text{col }A col A 的一组基。

下面两个例子给出对列空间求基的简单算法。

例1:求 Col  B \text{Col }B Col B 的一组基,其中
B = ( b 1 , b 2 , ⋯ , b n ) = [ 1 4 0 2 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ] B=(\mathbf b_1,\mathbf b_2,\cdots,\mathbf b_n)=\begin{bmatrix}1&4&0&2&0\\ 0&0&1&-1&0\\ 0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{bmatrix} B=(b1,b2,,bn)= 10004000010021000010
事实上, B B B 的每个非主元列都是主元列的线性组合 b 2 = 4 b 1 , b 4 = 2 b 1 − b 3 \mathbf b_2=4\mathbf b_1,\mathbf b_4=2\mathbf b_1-\mathbf b_3 b2=4b1,b4=2b1b3 且主元列时线性无关的,所以主元列构成列空间的一组基 col  B = span  { b 1 , b 3 , b 5 } \text{col }B=\text{span }\{\mathbf b_1,\mathbf b_3,\mathbf b_5\} col B=span {b1,b3,b5}

当矩阵不是阶梯型矩阵时,回顾矩阵 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) A=(\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_n) A=(a1,a2,,an) 中列向量间的线性关系都可以用方程 A x = 0 A\mathbf x=0 Ax=0 的形式刻画。当 A A A 被行简化为阶梯型矩阵 B = ( b 1 , b 2 , ⋯ , b n ) B=(\mathbf b_1,\mathbf b_2,\cdots,\mathbf b_n) B=(b1,b2,,bn) 时,即存在可逆矩阵 P P P 使 B = P A B=PA B=PA 。若 B B B 的列向量线性相关,即存在系数 x \mathbf x x 使得 B x = 0 B\mathbf x=0 Bx=0 ,即
x 1 b 1 + x 2 b 2 + ⋯ + x n b n = 0 x_1\mathbf b_1+x_2\mathbf b_2+\cdots+x_n\mathbf b_n=0 x1b1+x2b2++xnbn=0
同样的系数 x \mathbf x x 也适用于矩阵 A A A 的列向量, A x = P − 1 B x = 0 A\mathbf x=P^{-1}B\mathbf x=0 Ax=P1Bx=0,即
x 1 a 1 + x 2 a 2 + ⋯ + x n a n = 0 x_1\mathbf a_1+x_2\mathbf a_2+\cdots+x_n\mathbf a_n=0 x1a1+x2a2++xnan=0
综上,即矩阵 A A A的列与阶梯型矩阵 B B B 的列具有完全相同的线性相关关系。

例2:
A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) = [ 1 4 0 2 − 1 3 12 1 5 5 2 8 1 3 2 5 20 2 8 8 ] A=(\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_n)=\begin{bmatrix}1&4&0&2&-1\\ 3&12&1&5&5\\ 2&8&1&3&2\\5&20&2&8&8\end{bmatrix} A=(a1,a2,,an)= 1325412820011225381528
已知矩阵 A A A 行等价于上例中的矩阵 B B B ,求 Col  A \text{Col }A Col A 的一组基。

由于上例中 b 2 = 4 b 1 , b 4 = 2 b 1 − b 3 \mathbf b_2=4\mathbf b_1,\mathbf b_4=2\mathbf b_1-\mathbf b_3 b2=4b1,b4=2b1b3 ,相关关系完全适用于矩阵 A A A 的列向量 a 2 = 4 a 1 , a 4 = 2 a 1 − a 3 \mathbf a_2=4\mathbf a_1,\mathbf a_4=2\mathbf a_1-\mathbf a_3 a2=4a1,a4=2a1a3 。于是线性无关集 a 1 , a 3 , a 5 \mathbf a_1,\mathbf a_3,\mathbf a_5 a1,a3,a5 Col  A \text{Col }A Col A 的一组基 col  A = span  { a 1 , a 3 , a 5 } \text{col }A=\text{span }\{\mathbf a_1,\mathbf a_3,\mathbf a_5\} col A=span {a1,a3,a5}

注意:阶梯形矩阵的主元列通常不在原矩阵的列空间中。

矩阵的秩

矩阵的秩就是列空间的维度,记作 rank  A = dim ⁡ ( col  A ) \text{rank }A=\dim(\text{col }A) rank A=dim(col A)

前面介绍的都是方阵,表示向量空间到自身的映射。下面简单说下非方阵的映射关系。

一般地, m × n m\times n m×n 维的矩阵,表示将 n n n 维空间中的向量映射到 m m m 维空间中。矩阵的第 j j j列表示第 j j j 个基向量变换后的坐标。例如:

3 × 2 3\times 2 3×2 维矩阵是把二维空间映射到三维空间上,因为矩阵有两列,说明输入空间有两个基向量,三行表示每一个基向量在变换后用三个独立的坐标来描述。
[ 1 − 1 3 2 0 3 ] [ x y ] = [ 1 3 0 ] x + [ − 1 2 3 ] y \begin{bmatrix}1&-1\\3&2\\0&3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1\\3\\0\end{bmatrix}x+ \begin{bmatrix}-1\\2\\3\end{bmatrix}y 130123 [xy]= 130 x+ 123 y

2 × 3 2\times 3 2×3 维矩阵是把三维空间映射到二维空间上,因为矩阵有三列,说明输入空间有三个基向量,二行表示每一个基向量在变换后用二个独立的坐标来描述。
[ 2 2 1 1 0 − 1 ] [ x y z ] = [ 2 1 ] x + [ 2 0 ] y + [ 1 − 1 ] z \begin{bmatrix}2&2&1\\1&0&-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}x+ \begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix}y+ \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}z [212011] xyz =[21]x+[20]y+[11]z

若矩阵的秩等于列数,则称为满秩矩阵(full rank matrix),零向量一定在列空间内,满秩变换中,唯一能落在原点的就是零向量自身。满秩矩阵的列即为列空间的基。

对于非满秩矩阵,意味着该线性变换会将空间压缩到一个更低维的空间,通俗来讲,就是会有一系列直线上不同方向的向量压缩为原点。

由此可得,秩可以用来描述线性变换对空间的压缩程度

逆变换与逆矩阵

我们已经知道了矩阵与线性变换中的对应关系,试想一下,将变换后的向量还原到初始状态。

逆矩阵:对于 n n n 阶方阵 A A A ,如果存在 n n n 阶方阵 B B B ,使得
A B = B A = I AB=BA=I AB=BA=I
则称矩阵 A A A 可逆(invertible), B B B A A A逆矩阵。实际上, A A A 的逆矩阵是唯一的,记为 A − 1 A^{-1} A1。因为,若 B , C B,C B,C 都是 A A A 的逆矩阵,则

B = ( C A ) B = C ( A B ) = C B=(CA)B=C(AB)=C B=(CA)B=C(AB)=C

不可逆矩阵有时称为奇异矩阵,而可逆矩阵也称为非奇异矩阵

{% label 性质 orange %}:逆矩阵满足下列性质

  1. ( A − 1 ) − 1 = A (A^{-1})^{-1}=A (A1)1=A
  2. ( k A ) − 1 = 1 k A − 1 , ( k ≠ 0 ) (kA)^{-1}=\dfrac{1}{k}A^{-1},\quad(k\neq0) (kA)1=k1A1,(k=0)
  3. ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)1=B1A1
  4. ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T (AT)1=(A1)T

证明:(性质3)若方阵 A , B A,B A,B 都可逆,则有
( A B ) ( B − 1 A − 1 ) = ( B − 1 A − 1 ) ( A B ) = I (AB)(B^{-1}A^{-1})=(B^{-1}A^{-1})(AB)=I (AB)(B1A1)=(B1A1)(AB)=I
因此 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)1=B1A1

从变换的角度考虑,复合变换的逆 ( f ∘ g ) − 1 = g − 1 ∘ f − 1 (f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1} (fg)1=g1f1 ,很容易理解。

(性质4)
I = ( A A − 1 ) T = ( A − 1 ) T A T , I = ( A − 1 A ) T = A T ( A − 1 ) T I=(AA^{-1})^T=(A^{-1})^TA^T,\quad I=(A^{-1}A)^T=A^T(A^{-1})^T I=(AA1)T=(A1)TAT,I=(A1A)T=AT(A1)T
因此 ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T (AT)1=(A1)T

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