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123.买卖股票的最佳时机III

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给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成两笔交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:
输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6 解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天（股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3。
示例 2：
输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4 解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4。注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3：
输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0 解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为0。
示例 4：
输入：prices = [1] 输出：0

提示：

1 <= prices.length <= 10^5
0 <= prices[i] <= 10^5
动态规划

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

1——第一次持有股票

2——第一次不持有股票

3——第二次持有股票

4——第二次不持有股票

dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。

2.确定递推公式

持有操作

达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]

dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);

不持有操作

dp[i][2]也有两个操作：

操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]

dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);

3.初始化

第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;

第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];

第0天做第一次卖出，当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0;

第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];

同理第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;

4.遍历顺序

前向后

5.打印dp数组

以输入[1,2,3,4,5]为例

123.买卖股票的最佳时机III

大家可以看到红色框为最后两次卖出的状态。

现在最大的时候一定是卖出的状态，而两次卖出的状态现金最大一定是最后一次卖出。如果想不明白的录友也可以这么理解：如果第一次卖出已经是最大值了，那么我们可以在当天立刻买入再立刻卖出。所以dp[4][4]已经包含了dp[4][2]的情况。也就是说第二次卖出手里所剩的钱一定是最多的。

所以最终最大利润是dp[4][4]

class Solution {public int maxProfit(int[] prices) {int[][] dp=new int[prices.length][5];dp[0][0]=0;dp[0][1]=-prices[0];dp[0][2]=0;dp[0][3]=-prices[0];dp[0][4]=0;for(int i=1;i<prices.length;i++){dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]);dp[i][3]=Math.max(dp[i-1][3],dp[i-1][2]-prices[i]);dp[i][2]=Math.max(dp[i-1][2],dp[i-1][1]+prices[i]);dp[i][4]=Math.max(dp[i-1][4],dp[i-1][3]+prices[i]);}return dp[prices.length-1][4];}
}

188.买卖股票的最佳时机IV

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给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1：
输入：k = 2, prices = [2,4,1]
输出：2 解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2。
示例 2：
输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]
输出：7 解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4。随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

提示：

0 <= k <= 100
0 <= prices.length <= 1000
0 <= prices[i] <= 1000
动态规划

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

1——第一次持有股票

2——第一次不持有股票

3——第二次持有股票

4——第二次不持有股票

大家应该发现规律了吧，除了0以外，偶数就是卖出，奇数就是买入。

题目要求是至多有K笔交易，那么j的范围就定义为 2 * k + 1 就可以了。

dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 2K+1] 个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。

int[][] dp=new int[][]

2.确定递推公式

还要强调一下：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票，这是很多同学容易陷入的误区。

达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i - 1][0] - prices[i]
操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]

选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i - 1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);

同理dp[i][2]也有两个操作：

操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]

所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])

这里要类比j为奇数是买，偶数是卖的状态。