图解第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系

笔记相关内容：
1.曲线积分（Line Integral）
2.向量场中的曲线积分、环量、通量

第一类曲线积分（对弧长$ds$进行积分）(无方向性)
物理意义：$f(x,y)$可以为线密度，$ds$为弧长微元，在曲线$L$上积分得到曲线质量
$${\int }_{L}f(x,y)ds$$
第二类曲线积分（对坐标$dx、dy$进行积分）(有方向性)
物理意义：$\vec{F}$为变力，$d\vec{r}$为位移微元，沿曲线$L$某个方向上积分得到变力沿曲线该方向上的功W
d W = F ⃗ ⋅ d r ⃗ d W = { P ( x , y ) , Q ( x , y ) } ⋅ { d x , d y } d W = P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y ∫ L d W = ∫ L F ⃗ ⋅ d r ⃗ = ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y dW=\vec{F}\cdot d\vec{r}\\ ~\\ dW=\{P(x,y),Q(x,y)\}\cdot\{dx,dy\}\\ ~\\ dW=P(x,y)dx+Q(x,y)dy\\ ~\\ \int_LdW=\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy dW=F ⋅dr  dW={P(x,y),Q(x,y)}⋅{dx,dy} dW=P(x,y)dx+Q(x,y)dy ∫L​dW=∫L​F ⋅dr =∫L​P(x,y)dx+Q(x,y)dy
其中
$P(x,y)$为变力$\vec{F}$在点$(x,y)$处沿$x$轴方向的分力
$Q(x,y)$为变力$\vec{F}$在点$(x,y)$处沿$y$轴方向的分力
$dx$是在点$(x,y)$处沿$x$轴方向的微小位移
$dy$是在点$(x,y)$处沿$y$轴方向的微小位移
$P(x,y)dx$是变力$\vec{F}$在点$(x,y)$处沿$x$轴方向上微小位移的功
$Q(x,y)dy$是变力$\vec{F}$在点$(x,y)$处沿$y$轴方向上微小位移的功

第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系


$${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\int }_{L}P(x,y)\cos \alpha ds+Q(x,y)\cos \beta ds$$