[学习笔记]CS224W(图机器学习) 2022/2023年冬学习笔记

资料:

课程网址
斯坦福CS224W图机器学习、图神经网络、知识图谱【同济子豪兄】
斯坦福大学CS224W图机器学习公开课-同济子豪兄中文精讲
cs224w(图机器学习)2021冬季课程学习笔记集合

序言

到图神经网络GCN为止的内容参考了斯坦福CS224W图机器学习、图神经网络、知识图谱【同济子豪兄】,后面的内容根据课程网址的ppt课件学习整理。

图的基本表示

图是描述各种关联现象的通用语言。与传统数据分析中的样本服从独立同分布假设不一样,图数据自带关联结构,数据和数据,样本和样本之间有联系。

图神经网络是端到端的表示学习,无需人工特征工程,可以自动学习特征(类似CNN)。

图神经网络的目标是实现图嵌入,即将一个节点映射成d维向量,同时保证网络中相似的节点有相近的向量表示。这个d维向量应该包含节点在原图中的结构信息,语意信息,以方便后续的数据挖掘。

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节点、连接、子图、全图都可以带有特征

不同的任务

在节点、连接、子图、全图层面,都可以进行图数据挖掘

  • 节点层面的案例:如信用卡欺诈
  • 连接层面的案例:如推荐可能认识的人
  • 子图层面的案例:如用户聚类
  • 全图层面的案例:全图层面的预测,如分子是否有毒;全图层面的生成,如生成新的分子结构

图的本体设计

图(network/graph)由节点(nodes/vertices)和连接(links/edges)组成。

节点的集合用N表示,连接的集合用E表示,整个图用G(N,E)表示。

本体图

图的设计牵涉到一个概念,本体图(Ontology)。本体图应该显示节点可能的类型,以及各类型节点(包括节点类型到其自身)之间可能存在的关系。如下图,是一个医疗领域的知识图谱的本体图。

如何设计本体图,取决于要解决的问题。如下图,例如要解决的问题是,什么疾病可以吃什么,那么疾病食物就需要设计成节点。可以吃不可以吃不推荐吃就应该设计成节点之间的关系

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有时本体图是唯一、无歧义的,如社交网络
有时本体图不唯一,取决于你要研究的问题,如考虑红楼梦的家族,地点,事件等

图的种类(有向、无向、异质、二分、连接带权重)

图可以分为无向图有向图异质图(heterogeneous graph)、二分图。

  • 无向图:对称的、双向的图。如合作关系,facebook上的好友关系
  • 有向图:单向的图。如电话,Twitter上的关注
  • 异质图:节点和连接可能有不同的类型,是很多论文研究的重点
  • 二分图(Bipartite Graph):节点种类是2的异质图被称为二分图。如论文作者和论文的关系、用户和商品之间的关系

二分图可以展开,如下图,在节点集U中,如果两个节点都连接到V中的同一个节点,则在图Projection U中添加一条连接。
这样就可以将二分图转化为两张各自只有一类节点的图。
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节点的度(Node degree)

  • 对于无向图

    • i个节点的度:记为 k i k_i ki,表示与第i个节点邻接的边的数量
    • 图的平均度: k ˉ = ⟨ k ⟩ = 1 N ∑ i = 1 N k i = 2 E N \bar{k}=\langle k\rangle=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N k_i=\frac{2 E}{N} kˉ=k=N1i=1Nki=N2E
  • 对于有向图

    • 入度:从别的节点指向当前节点的边的总数
    • 出度:从当前节点指向别的节点的边的总数
    • 节点的度=入度+出度
    • 图的平均度: k ˉ = E N \bar{k}=\frac{E}{N} kˉ=NE

      平均入度=平均出度,因为一个出度对应的边必然对应一个入度对应的边
      入度为0的节点称为Source,出度为0的节点称为Sink

节点的度可以一定程度上反应节点的重要程度

图的基本表示-邻接矩阵

  • 无向图
    如果第i个节点和第j个节点之间存在边,则邻接矩阵A A i j A_{ij} Aij A j i A_{ji} Aji对应的值为1

无向图对应的邻接矩阵是对称阵
如果没有自身到自身的环,则主对角线全为0

  • 有向图
    如果第i个节点存在指向第j个节点之间的边,则邻接矩阵A A i j A_{ij} Aij对应的值为1

有向图对应的邻接矩阵是非对称阵

邻接矩阵是稀疏的,如社交网络
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图的基本表示-连接列表和邻接列表

如上面所示,用邻接矩阵来表示图,存在稀疏性问题,造成存储空间的浪费。

  • 连接列表:只记录存在连接的边和节点
    在这里插入图片描述
  • 邻接列表:对于一个给定节点,只记录他指向的节点和对应的边
    在这里插入图片描述

上述图是无权图,在邻接矩阵中的值非1即0,如果是带权图,则可以在邻接矩阵中将1改成权重。

图的连通性

  • 无向图中
    连通图(Connected graph):任意两个点都有一条路径可达,则称为连通图。
    不连通图虽然本身不连通,但是可以划分得到多个连通分支(connected components)。

    最大的连通分支被称为Giant Component
    孤立的节点称为Isolated node。
    不连通矩阵的邻接矩阵呈现出分块对角的形式
    如果存在一个节点将不连通图的两个连通分支连接上了,那么它会打破分块对角形式

  • 有向图中
    强连通的有向图:如果任意两个节点存在有向路径可达,则称为强连通的有向图。
    弱连通的有向图:如果忽略边的方向,即将它看成无向图,此时如果图是连通的,那么这个有向图称为弱连通的。

    对于有向图,可能整体不是强连通的,但其中的某个子图是强连通的,称为强连通分支(Strongly connected components(SCC))
    E和G指向SCC,称为In-componet、D和F是由SCC出发的,称为Out-component在这里插入图片描述

传统图机器学习的特征工程-节点

  • 总的思路
    本节用传统机器学习方法,做特征工程,人工设计一些特征,把节点,边,全图特征编码成d维向量,再用该向量进行后续机器学习预测。

  • 1.特征工程
    抽取d个特征,编码为d维向量。本节只考虑连接特征,不考虑属性特征。

    节点自己的特征,称为属性特征(Attributes)
    节点和图中其他节点的连接关系,称为连接特征。

  • 2.训练一个机器学习模型
    利用RF、SVM、NN等进行训练。

  • 3.应用模型
    给定一个新的节点/链接/图,获得图她的特征并做预测。

本节主要聚焦无向图,并针对节点、边、图层面做特征工程。

节点层面的特征工程

目标:区分节点在图中的结构和位置,可考虑的(连接)特征有:节点的度(Node degree)、节点的重要度(Node centrality)、聚类系数(Clustering coefficient)、子图模式(Graphlets)

聚合系数是指,与当前节点邻接的节点是否有联系。

Node degree

Node degree只考虑了邻接节点的数量,不能反应节点的质量

Node centrality

Node centrality考虑了节点在图中的重要度。有不同的方式来对此进行建模:

  • 特征向量重要度(Eigenvector centrality)
    思想:如果一个节点的邻接节点很重要,那么这个节点也很重要
    建模:
    c v = 1 λ ∑ u ∈ N ( v ) c u c_v=\frac{1}{\lambda}\sum_{u \in N(v)} c_u cv=λ1uN(v)cu

    λ \lambda λ是归一化系数,往往是A的最大特征值

    实现:这是一个递归问题,如何解决?
    上面公式等价于求解 λ c = A c \lambda \boldsymbol{c}=\boldsymbol{A c} λc=Ac

    可以发现, c \boldsymbol{c} c向量就是 A \boldsymbol{A} A的最大特征值对应的特征向量
    根据perron-frobenius定理,最大特征值 λ m a x \lambda_{max} λmax一定为正且唯一

  • Betweenness centrality
    思想:如果在任意两个节点间的最短路径中,有一个节点频繁出现,那么这个节点可以被认为是重要的
    建模:
    c v = ∑ s ≠ v ≠ t # ( shortest paths betwen  s and  t that contain  v ) # ( shortest paths between  s and  t ) c_v=\sum_{s \neq v \neq t} \frac{\#(\text { shortest paths betwen } s \text { and } t \text { that contain } v)}{\#(\text { shortest paths between } s \text { and } t)} cv=s=v=t#( shortest paths between s and t)#( shortest paths betwen s and t that contain v)
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  • Closeness centrality
    思想:如果一个节点到其他所有节点的路径都很短,那么这个节点可以被认为是重要的
    建模:
    c v = 1 ∑ u ≠ v shortest path length between  u and  v c_v=\frac{1}{\sum_{u \neq v} \text { shortest path length between } u \text { and } v} cv=u=v shortest path length between u and v1
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Clustering Coefficient

聚类系数(Clustering Coefficient),衡量一个节点的邻接节点的连接有多紧密。
建模:
e v = # ( edges among neighboring nodes ) ( k v 2 ) ∈ [ 0 , 1 ] e_v=\frac{\#(\text{edges among neighboring nodes})}{\binom{k_v}{2}}\in [0, 1] ev=(2kv)#(edges among neighboring nodes)[0,1]

v节点相邻节点两两组成的节点对计入分母
如果节点对中的两个节点相邻,那么这对节点对计入分子
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Graphlets

一个节点的自我网络(ego-network)是指以一个节点为中心,只包含他和他邻接节点,以及这些节点之间的边的图。
可以发现,节点v的聚类系数本质上就是计数了节点v的自我网络中以v为顶点的三角形的个数。
这个三角形可以理解为我们预先定义的一类子图
那么如果修改这个预定义的子图类型,就可以得到新的计数特征,这个预定义的子图类型,就是我们下面要提到的graphlets

先看看子图、生成子图、导出子图的概念:
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可以看到,从原图中取一些节点,并取这些节点所有出现的边可以构成导出子图。

下面给出Graphlets的精确定义,即有根连通导出异构子图(Rooted connected induced non-isomorphic subgraphs)
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上图分别展示了2节点、3节点、4节点和5节点的graphlets,共有73种。
2个节点构成的子图中,可以定义1种类型的graphlet
3个节点构成的子图中,可以定义3种类型的graphlets

在右上角的例子中,节点u对应的graphlets类型有0、1、2、3、5、10、11、…
聚类系数中的三角形其实就是G2对应的graphlet。

下面引入Graphlets相关的特征向量:Graphlets Degree Vector(GDV),它一个基于给定节点,以它为根的各类graphlets的实例个数组成向量,如下面的例子。
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注意,原图中没有以c为根结点的导出子图。
GDV描述了节点局部领域的拓扑结构信息,用一些已经定义好的子图模式去匹配,并计数每种模式下的数量。
比较两个节点的GDV向量,可以计算距离和相似度。
在NetworkX中,子图模式Graphlets被称为Atlas

总结

介绍的结构特征可以分为:

基于重要度的特征(描述节点中心度/重要度):

  • 节点的度
  • 不同节点的重要度度量

可用于预测有影响力的节点

基于结构的特征(描述节点的邻域拓扑连接结构):

  • 节点的度
  • 聚类系数
  • GDV

可用于预测节点在图中的功能,桥接、枢纽、中心

传统图机器学习的特征工程-连接

连接层面的预测任务:基于已知连接去预测(补全)未知连接。
在模型训练阶段,节点对被排序,top K节点对被预测。
关键是如何设计节点对的特征。

思路1:直接提取link的特征,变成d维向量。
思路2:把link两端的d维向量拼在一起,但是这会丢失link本身连接结构信息。

link prediction task有两种情况:

  1. 随机丢失连接:
    对于客观静态图,如蛋白质,分子,我们可以通过随机移除一些连接,并尝试预测它们

  2. 随时间变化的连接:
    对于如论文引用、社交网络、微信好友、学术合作等图,给定一段时间 [ t 0 , t 0 ′ ] [t_0, t_0^{'}] [t0,t0]的图,预测下一个时间段 [ t 1 , t 1 ′ ] [t_1, t_1^{'}] [t1,t1]的一个关于边的ranked list L
    评估的方式:先计算得到 [ t 1 , t 1 ′ ] [t_1, t_1^{'}] [t1,t1]内真实出现的边的数量,记为 n = ∣ E n e w ∣ n=|E_{new}| n=Enew,然后从上面预测的列表中选出top n条边,然后计算预测的n个连接的准确率。
    准确率 = 预测的 t o p n 个连接中正确的数量 n 准确率 = \frac{预测的top\ n个连接中正确的数量}{n} 准确率=n预测的top n个连接中正确的数量

连接层面的特征

连接的特征可以分为三类:基于距离的特征、基于两节点局部邻域信息的特征、基于两节点全局领域信息的特征

两节点的最短路径长度

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但仅考虑最短路径长度,会忽略连接的质量。如同样最短路径长度是2,A和B只有一条通路,而B和H有两条。

基于两节点局部邻域的信息

考虑两个节点v1和v2的邻接节点。

  • Common neighbors:
    思路:记录共同好友个数
    公式:
    ∣ N ( v 1 ) ∩ N ( v 2 ) ∣ \left|N\left(v_1\right) \cap N\left(v_2\right)\right| N(v1)N(v2)

  • Jaccard’s coefficient:
    思路:共同好友个数/两节点邻接节点的并集
    公式:
    ∣ N ( v 1 ) ∩ N ( v 2 ) ∣ ∣ N ( v 1 ) ∪ N ( v 2 ) ∣ \frac{\left|N\left(v_1\right) \cap N\left(v_2\right)\right|}{\left|N\left(v_1\right) \cup N\left(v_2\right)\right|} N(v1)N(v2)N(v1)N(v2)

  • Adamic-Adar index:
    思路:共同好友是不是社牛,如果v1和v2的共同好友是社牛,那么v1和v2的联系就很廉价。
    公式:
    ∑ u ∈ N ( v 1 ) ∩ N ( v 2 ) 1 log ⁡ ( k u ) \sum_{u \in N\left(v_1\right) \cap N\left(v_2\right)} \frac{1}{\log \left(k_u\right)} uN(v1)N(v2)log(ku)1

基于两节点的局部邻域信息的特征的缺点是:对于没有共同好友的两节点,他们的上述度量都是0。
但事实上,他们在未来可能会有连接。
而全局领域的信息度量可以解决这个缺陷。

基于两节点全局领域的信息

Katz index:
思路:计数节点u和v之间所有长度路径的加权和

可以使用图邻接矩阵的幂可以结算长度为k的路径个数
结合下图,利用数学归纳法,可以推导出 A u v l A_{u v}^l Auvl表示节点u和v之间长度为l的路径个数。
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公式:
S v 1 v 2 = ∑ l = 1 ∞ β l A v 1 v 2 l S_{v_1 v_2}=\sum_{l=1}^{\infty} \beta^{l} A_{v_1 v_2}^l Sv1v2=l=1βlAv1v2l

其中, 0 < β < 1 0<\beta<1 0<β<1表示折减系数
它的等价矩阵形式是(类比等比数列求和,并求无穷级数可得):
( I − β A ) − 1 − I (\boldsymbol{I}-\beta \boldsymbol{A})^{-1}-\boldsymbol{I} (IβA)1I
一般可以将最大特征值的倒数作为折减系数 β \beta β

传统图机器学习的特征工程-全图

目标:将全图 G G G的结构特点表示为一个d维特征向量 ϕ ( G ) \phi(G) ϕ(G)
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Bag-of-*

思路:类比NLP中的Bag-of-Words,

Bag-of-nodes.

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Bag-of-node degrees

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Bag-of-graphlets

注意,这里是从全图的视角去分析,所以这里的graphlets和前面在节点特征工程中提到的graphlets有两点不同:
可以存在孤立节点的graphlets
graphlets不区分根,如下图,g2对应一个graphlets,而不是两个(如果考虑根,是两个)

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Graphlet Count Vector:给定一个图G,和graphlets列表 G k = ( g 1 , g 2 , . . . g n k ) G_k=(g_1,g_2, ... g_{n_k}) Gk=(g1,g2,...gnk),Graphlet Count Vector可以定义为(向量的第i个分量可以定义为第i个graphlet在全图中的个数):
( f G ) i = # ( g i ⊆ G ) for  i = 1 , 2 , … , n k \left(f_G\right)_i=\#\left(g_i \subseteq G\right) \text { for } i=1,2, \ldots, n_k (fG)i=#(giG) for i=1,2,,nk
例子:
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给定两个图, G G G G ′ G' G,且有了它们对应的GCV,进一步,可以计算Graphlet Kernel:
K ( G , G ′ ) = f G T f G ′ K\left(G, G^{\prime}\right)=\boldsymbol{f}_G^{\mathrm{T}} \boldsymbol{f}_{G^{\prime}} K(G,G)=fGTfG
它可以反应这两张图的关系。

如果两个GCV的数量级悬殊,那么则需要先对这两个特征向量作归一化: h G = f G Sum ⁡ ( f G ) \boldsymbol{h}_G=\frac{\boldsymbol{f}_G}{\operatorname{Sum}\left(\boldsymbol{f}_G\right)} hG=Sum(fG)fG,再计算Graphlet Kernel: K ( G , G ′ ) = h G T h G ′ K\left(G, G^{\prime}\right)=\boldsymbol{h}_G{ }^{\mathrm{T}} \boldsymbol{h}_{G^{\prime}} K(G,G)=hGThG
获取GCV在算力上是很昂贵的,在大小为n的图上对大小为k的graphlet作子图匹配,需要的时间复杂度是多项式复杂度: O ( n k ) O(n^k) O(nk)
即使图节点的度被限制为 d d d,复杂度也仍有 O ( n d k − 1 ) O(nd^{k-1}) O(ndk1)

Weisfeiler-Lehman Kernel

由于Graphlets Kernel不够高效,下面引入更高效的Weisfeiler-Lehman Kernel。
目标:设计一个更高效的特征编码。
思路:使用邻域结构迭代式地丰富节点词库
算法实现:颜色微调
主要的步骤是:

  • 1.初始化颜色
  • 2.聚合邻域的颜色+对聚合后的颜色进行哈希映射:
    c ( k + 1 ) ( v ) = HASH ⁡ ( { c ( k ) ( v ) , { c ( k ) ( u ) } u ∈ N ( v ) } ) c^{(k+1)}(v)=\operatorname{HASH}\left(\left\{c^{(k)}(v),\left\{c^{(k)}(u)\right\}_{u \in N(v)}\right\}\right) c(k+1)(v)=HASH({c(k)(v),{c(k)(u)}uN(v)})
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    哈希表由两张图共同贡献

  • 3.重复执行k次2的操作,获得 c ( K ) ( v ) c^{(K)}(v) c(K)(v),根据所有出现过的颜色,统计次数,得到 ϕ ( G ) \phi(G) ϕ(G)
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    c ( K ) ( v ) c^{(K)}(v) c(K)(v)中包含了K跳邻域的信息。

  • 4.计算WL Kernel: ϕ ( G ) T ϕ ( G ) \phi(G)^T\phi(G) ϕ(G)Tϕ(G)

总体而言,WL Kernel的时间复杂度是O(#(edges))。

kernel methods

核方法是传统技巧学习在图层面的预测的常用方法。它的核心是如何设计Kernel而非特征向量。

Kernel K ( G , G ′ ) K(G, G') K(G,G)是标量,描述了数据间的相似度
核矩阵 K = ( K ( G , G ′ ) ) G , G ′ \boldsymbol{K}=\left(K\left(G, G^{\prime}\right)\right)_{G, G^{\prime}} K=(K(G,G))G,G永远半正定,即有正的特征值。
存在特征表示 ϕ ( ⋅ ) \phi(\cdot) ϕ()使得 K ( G , G ′ ) = ϕ ( G ) T ϕ ( G ′ ) K\left(G, G^{\prime}\right)=\phi(G)^{\mathrm{T}} \phi\left(G^{\prime}\right) K(G,G)=ϕ(G)Tϕ(G)
一定kernel确定了,现成的机器学习模型,如Kernel SVM就可以用来预测。

Node Embeddings-图嵌入表示学习

图表示学习减轻了做特征工程的工作。
映射得到的向量具有低维(向量维度远小于节点数)、连续(每个元素都是实数)、稠密(每个元素都不为0)的特点。

图嵌入-基本框架:编码器-解码器

假设:G是图,V是节点集,A是无权图,本节仍仅考虑连接信息,不考虑节点信息。
目标是:节点编码后,两节点在嵌入空间中的向量的(余弦)相似度可以反应(近似)两节点在图中的相似度。即
s i m i l a r i t y ( u , v ) ≈ z v T z u similarity(u,v)\approx \mathbf{z}_v^{\mathrm{T}} \mathbf{z}_u similarity(u,v)zvTzu
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关键:如何定义节点的相似度。
步骤:

  • 编码器:节点-》d维向量
  • 定义节点在图中的相似度函数: s i m i l a r i t y ( u , v ) similarity(u,v) similarity(u,v)
  • 解码器:计算两个节点向量的相似度:如 z v T z u \mathbf{z}_v^{\mathrm{T}} \mathbf{z}_u zvTzu
  • 迭代优化编码器的参数使得图中相似节点的向量数量积大,不相似节点向量数量积小: s i m i l a r i t y ( u , v ) ≈ z v T z u similarity(u,v)\approx \mathbf{z}_v^{\mathrm{T}} \mathbf{z}_u similarity(u,v)zvTzu

node embeddings方法是无监督/自监督的,且与下游任务无关。

浅编码器

最简单的编码器-查表
只需要直接优化Z矩阵
对应方法有:DeepWalk,node2vec
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基于随机游走的方法

图机器学习的很多概念可以类比NLP的很多概念
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Node Embeddings

包括deepwalk和node2vec

Link Analysis:PageRank

半监督节点分类:标签传播和消息传递(Label Propagation for Node Classification)

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transductive直推式学习:整个过程没有新的节点进入,可以利用所有已有节点的信息,并且预测标签未知节点的标签
inductive归纳式学习:要对新的节点进行预测

任务

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本节考虑属性特征向量 f v f_v fv

概览

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LP(Label Propagation),ICA(Iterative classification)往往是用于被图神经网络做对比的模型。

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网络中存在Correlations

上面的模型主要基于图的基本假设:在网络中,homophily是大量存在的,即相近的节点相似。
关于为什么网络中的节点行为是correlated的两种解释:

  1. 具有相似属性特征的节点,更可能相连且具有相同类别
  2. 社群会影响节点的类别
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如何利用这种correlation进行分类?
节点的类别依赖于(1)节点的特征(2)节点邻域的标签(3)节点邻域的特征

算法1-标签传播(Label Propagation)

  • 初始化
    已知正类标记为1,已知负类标记为0,未知类别标记为0.5
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  • 第一次迭代更新
    按照顺序(自己定的),利用节点周围节点标签的平均值更新当前节点的标签
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  • 一直迭代,直到收敛(或者到某次之后停止)
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挑战:不保证收敛;仅用到网络连接信息,没有用到节点的属性特征

算法2-Iterative Classification(ICA)

LP/Relational classification没有用到节点的属性特征。
下面提到的ICA则既会用到属性特征 f v f_v fv,又会用到连接信息 z v z_v zv

方法

训练两个分类器

  • ϕ 1 ( f v ) \phi_1\left(f_v\right) ϕ1(fv):仅使用属性特征预测节点标签,被称为“base classifer”
  • ϕ 2 ( f v , z v ) \phi_2\left(f_v, z_v\right) ϕ2(fv,zv):即使用节点属性特征,也使用网络连接特征,被称为“relational classifier”

z v z_v zv的计算方法有:考虑领域节点标签数量的直方图;考虑领域节点最多的标签类、考虑领域节点不同标签的数量等

步骤

1.在已经标注好的训练集上,训练两个分类器。
2.迭代直到递归:

  • 在测试集上,对任意节点 v v v,使用 ϕ 1 ( f v ) \phi_1\left(f_v\right) ϕ1(fv)预测 Y v Y_v Yv,再用 Y v Y_v Yv计算 z v z_v zv,最后用 ϕ 2 ( f v , z v ) \phi_2\left(f_v, z_v\right) ϕ2(fv,zv)预测所有节点的类别 Y v Y_v Yv
  • 对每个节点v重复以下操作:
    • 利用新预测的 Y v Y_v Yv更新 z v z_v zv
    • 重新用 ϕ 2 ( f v , z v ) \phi_2\left(f_v, z_v\right) ϕ2(fv,zv)预测 Y v Y_v Yv
      3.迭代直到类别稳定或者最大迭代次数达到。

这个算法不能保证收敛

算法的总结

ICA算法可以被抽象为Collective Classification。它基于马尔科夫假设:一个节点是什么类别,取决于它的邻居节点的类别。
Collective Classification包含三步:

  • 构造Local Classifier,初始化所有节点的类别,如训练 ϕ 1 \phi_1 ϕ1
  • 捕获节点间的相关关系来构造Relational Classifier,如训练 ϕ 2 \phi_2 ϕ2
  • Collective Inference:通过网络来传递关系
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算法3-Correct&Smooth

可以被视为一种后处理的技巧。在很多榜单中有很好的表现。

步骤

  • 1.在训练集上训练基分类器,无论什么模型,如线性模型,MLP
  • 2.用该基分类器预测所有节点的soft标签(标签向量,值表示概率,不是非0即1的值)
    在这里插入图片描述
  • 3.使用图结构来Post-process(后处理)2中的预测结果,以获得最终的预测结果。(该步骤分为Correct和Smooth)
    • 3.1 Correct step
      核心假设是:在节点 u u u上的错误会增加 u u u的领域有相似错误的可能性。
      因此,需要分散图上的这种“不确定性”
      步骤:
      1.仅计算有标注节点的error向量,对于没有标注的节点,error向量为0向量。
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  1. 将1中的error向量拼接得到error矩阵。我们的目标是使该矩阵的值尽可能分散。
    下一时刻的errror是由上一时刻的error和上一时刻传播过来的error决定的
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Normailized diffusion matrix A ~ ≡ D − 1 / 2 A D − 1 / 2 \widetilde{A} \equiv D^{-1 / 2} A D^{-1 / 2} A D1/2AD1/2具有很好的性质:所有特征值在[-1,1];特征值为1的特征向量为 D 1 / 2 1 D^{1/2}\bold{1} D1/21 ( 1 \bold{1} 1是全1的向量); A ~ K \widetilde{\boldsymbol{A}}^K A K的特征值也都是[-1,1],且最大特诊值一定是1

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s是超参数,最后再执行归一化

    • 3.2 Smooth step
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类似Correct step,不过矩阵换成了Z矩阵,它是表示标签的矩阵。
注意有标注的训练集的标签向量要修改成真实标签向量

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C&S可以和GNN结合

算法4-Loopy Belief Propagation

定义

label-label potential matrix ψ \psi ψ:反映了节点和它的邻居之间的依赖关系。矩阵的元素 ψ ( Y i , Y j ) \boldsymbol{\psi}\left(Y_i, Y_j\right) ψ(Yi,Yj)表示当邻居节点 i i i为类别 Y i Y_i Yi时,节点 j j j为类别 Y j Y_j Yj的概率。
Prior belief ϕ \phi ϕ ϕ ( Y i ) \phi\left(Y_i\right) ϕ(Yi) i i i为类别 Y i Y_i Yi的概率。
m i → j ( Y j ) m_{i \rightarrow j}\left(Y_j\right) mij(Yj):表示节点 i i i认为节点 j j j是类别 Y j Y_j Yj的概率。
L \mathcal{L} L:所有类/标签的集合

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如果图中又换,会导致消息反复传递
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在实际情况下,环的影响还是比较弱的,所以还是可以用的。

优缺点

  • 优点:易编程和并行;potential matrix可以设置成更高阶,如 ψ ( Y i , Y j , Y k , Y v … ) \boldsymbol{\psi}\left(Y_i, Y_j, Y_k, Y_v \ldots\right) ψ(Yi,Yj,Yk,Yv)
  • 挑战:不保证收敛,尤其是有环的时候
  • potential functions的参数需要通过训练得到。

算法5-Masked Label Prediction

自监督的方法,受到NLP的Bert的启发。
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总结

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深度学习基础

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图神经网络综述和学习路径

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图和节点的嵌入表示应该与节点的编号顺序无关。(置换不变性)
编号不一样,但本质上是同一个节点的两个节点,得到的图嵌入向量应该是一样的。

通过消息传递的框架设计具有置换不变性的图神经网络

图卷积神经网络-构建计算图

核心思想:基于局部邻域构建产生节点的嵌入
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每个节点分别构建自己的计算图
每个计算图就是一个单独的样本
所有黑色盒子公用一套权重,所有白色盒子也公用一套权重
图神经网络的层数是指计算图的层数,而不是神经网络的层数,如上图是两层的图神经网络
k层图神经网络其实就是k hops的节点,如2层,就是看邻居的邻居。
图神经网络不能太深,如果太深,所有节点都会很类似,会产生过拟合。所以一般2-3层就够了

图卷积神经网络GCN

图卷积神经网络-计算图

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图卷积神经网络-数学形式

第0层的嵌入就是节点的属性特征

如果没有属性特征,可以设置全1向量,或者按照标签设置成one-hot向量
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转化为矩阵形式

。

row normalized matrix的最大特征值为1

  • row normalized matrix在考虑归一化的时候,只除了自己的度,即只考虑了自己的度,没有考虑对方的度。
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  • 优化row normalized matrix,提出Naively Symmetric Normalized Matrix:它是对称矩阵,即考虑了自己的度,也考虑了对方的度
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  • 再优化,得到Symmetric Normalized Matrix:它是对称矩阵,最大特征值为1
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如果节点 i i i和节点 j j j是相连的,则权重为 1 d i d j \frac{1}{\sqrt{d_i} \sqrt{d_j}} di dj 1
这个矩阵也被称为Normalized diffusion matrix(Normalized Adjacency Matrix/Symmetric Normalized Matrix): A ~ ≡ D − 1 / 2 A D − 1 / 2 \widetilde{\boldsymbol{A}} \equiv D^{-1 / 2} \boldsymbol{A} D^{-1 / 2} A D1/2AD1/2 在这里插入图片描述

图卷积神经网络-计算图-改进

在图中为节点添加到节点自身的环,并改进计算图。
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还可以继续改进,对来自领域节点用一套权重,对来自环的自己的节点用另一套权重
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如何训练图神经网络?

需要定义一个损失函数:
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监督学习训练

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无监督学习训练

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GCN属于一种直推式(transductive)的学习,要求在一个确定的图中去学习顶点的embedding,无法直接泛化到在训练过程没有出现过的顶点。
GCN由于卷积的训练过程涉及到邻接矩阵、度矩阵(可理解为拉普拉斯矩阵),节点一旦变化,拉普拉斯矩阵随之变化,也就是你说的需要“重新计算前面的归一化矩阵”,然后重新训练模型,不能“活学活用”,所以是Transductive的。

图神经网络-相比传统方法的优点

通过矩阵分解或者随机游走获得节点嵌入的方法的缺点是:

  • 不能获得新加入节点的嵌入。要获得的话,必须重新计算所有的节点的嵌入
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  • 不能捕获很远的两个节点的结构相似性:
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  • 没有利用节点,边,图的属性信息
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    图神经网络的优点:
  • 可以给出新节点的embeddings,冷启动,随来随用。
  • 甚至可以在全图层面泛化
  • 训练时间随着图的规模增大线性增加
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  • 可学习参数个数与节点个数无关

GNN vs CNN

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CNN的公式可以改写成类似GNN的形式
CNN:

  • CNN的领域是固定的
  • CNN的卷积核权重需要学习获得
  • CNN不满足置换不变性
    GCN:
  • GCN的领域可以是任意的
  • GCN的卷积核权重由 A ~ \tilde{A} A~预定义
  • GCN满足置换不变性

GNN vs transformer

transformer的核心概念是自注意力,使得每两个单词/节点间都可以互相影响,都可以有注意力权重。
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transformer可以看成是一个全连接词图上的GNN

5.GNN02

节点的邻域决定了计算图。
在计算图上传递和传播信息。

GNN的通用框架

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单一的GNN层框架

GNN层=消息+聚合
目的是为了以一些向量为输入,得到一个向量

消息计算

每个节点产生一个消息,用于后续传递到其他节点。
消息函数: m u ( l ) = M S G ( l ) ( h u ( l − 1 ) ) \mathbf{m}_u^{(l)}=\mathrm{MSG}^{(l)}\left(\mathbf{h}_u^{(l-1)}\right) mu(l)=MSG(l)(hu(l1))
举例:线性消息函数: m u ( l ) = W ( l ) h u ( l − 1 ) \mathbf{m}_u^{(l)}=\mathbf{W}^{(l)} \mathbf{h}_u^{(l-1)} mu(l)=W(l)hu(l1)
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聚合

每个节点会聚合来自其他节点的消息
聚合函数: h v ( l ) = A G G ( l ) ( { m u ( l ) , u ∈ N ( v ) } ) \mathbf{h}_v^{(l)}=\mathrm{AGG}^{(l)}\left(\left\{\mathbf{m}_u^{(l)}, u \in N(v)\right\}\right) hv(l)=AGG(l)({mu(l),uN(v)})
举例:AGG可以是 Sum ⁡ ( ⋅ ) , Mean ⁡ ( ⋅ ) \operatorname{Sum}(\cdot), \operatorname{Mean}(\cdot) Sum(),Mean() or Max ⁡ ( ⋅ ) \operatorname{Max}(\cdot) Max()聚合器中的任意一种
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聚合的问题是忽略了 v v v节点自身的信息。解决办法是计算 h v ( l ) \mathbf{h}_v^{(l)} hv(l)时,考虑 h v ( l − 1 ) \mathbf{h}_v^{(l-1)} hv(l1)。此时消息和聚合应改为:
消息: m u ( l ) = W ( l ) h u ( l − 1 ) m v ( l ) = B ( l ) h v ( l − 1 ) \mathbf{m}_u^{(l)}=\mathbf{W}^{(l)} \mathbf{h}_u^{(l-1)} \quad \mathbf{m}_v^{(l)}=\mathbf{B}^{(l)} \mathbf{h}_v^{(l-1)} mu(l)=W(l)hu(l1)mv(l)=B(l)hv(l1)
聚合:先利用AGG函数聚合领域的消息,再拼接聚合 v v v节点的消息
h v ( l ) = CONCAT ⁡ ( AGG ⁡ ( { m u ( l ) , u ∈ N ( v ) } ) , m v ( l ) ) \mathbf{h}_v^{(l)}=\operatorname{CONCAT}\left(\operatorname{AGG}\left(\left\{\mathbf{m}_u^{(l)}, u \in N(v)\right\}\right), \mathbf{m}_v^{(l)}\right) hv(l)=CONCAT(AGG({mu(l),uN(v)}),mv(l))

汇总

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经典的GNN层:GCN

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GCN论文中的经过改进后的消息函数其实是:
m u ( l ) = 1 ∣ N ( v ) ∣ ∣ N ( u ) ∣ W ( l ) h u ( l − 1 ) \mathbf{m}_u^{(l)}=\frac{1}{\sqrt{|N(v)|}\sqrt{|N(u)|}} \mathbf{W}^{(l)} \mathbf{h}_u^{(l-1)} mu(l)=N(v) N(u) 1W(l)hu(l1)

经典的GNN层:GraphSAGE

GraphSAGE的公式: h v ( l ) = σ ( W ( l ) ⋅ CONCAT ⁡ ( h v ( l − 1 ) , AGG ⁡ ( { h u ( l − 1 ) , ∀ u ∈ N ( v ) } ) ) ) \mathbf{h}_v^{(l)}=\sigma\left(\mathbf{W}^{(l)} \cdot \operatorname{CONCAT}\left(\mathbf{h}_v^{(l-1)}, \operatorname{AGG}\left(\left\{\mathbf{h}_u^{(l-1)}, \forall u \in N(v)\right\}\right)\right)\right) hv(l)=σ(W(l)CONCAT(hv(l1),AGG({hu(l1),uN(v)})))

  • AGG函数内既包含了消息计算,又包含了一部分聚合
  • 具体地,AGG函数可以是下面的几种:Mean、Pool、LSTM
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经典的GNN层:Graph Attention Networks(GAT)

GAT的公式: h v ( l ) = σ ( ∑ u ∈ N ( v ) α v u W ( l ) h u ( l − 1 ) ) \mathbf{h}_v^{(l)}=\sigma\left(\sum_{u \in N(v)} \alpha_{v u} \mathbf{W}^{(l)} \mathbf{h}_u^{(l-1)}\right) hv(l)=σ uN(v)αvuW(l)hu(l1)
其中 α v u \alpha_{v u} αvu是attention weights

Attention机制

为了使不同的邻居节点有不同的重要度,引入attention机制。
注意力权重的计算公式(基于节点的消息):
e v u = a ( W ( l ) h u ( l − 1 ) , W ( l ) h v ( l − 1 ) ) α v u = exp ⁡ ( e v u ) ∑ k ∈ N ( v ) exp ⁡ ( e v k ) e_{v u}=a\left(\mathbf{W}^{(l)} \mathbf{h}_u^{(l-1)}, \mathbf{W}^{(l)} \boldsymbol{h}_v^{(l-1)}\right) \\ \alpha_{v u}=\frac{\exp \left(e_{v u}\right)}{\sum_{k \in N(v)} \exp \left(e_{v k}\right)} evu=a(W(l)hu(l1),W(l)hv(l1))αvu=kN(v)exp(evk)exp(evu)
函数 a a a可以是单层神经网络,并和GAT的其他网络共同训练。
e A B = a ( W ( l ) h A ( l − 1 ) , W ( l ) h B ( l − 1 ) ) = Linear ⁡ ( Concat ⁡ ( W ( l ) h A ( l − 1 ) , W ( l ) h B ( l − 1 ) ) ) \begin{aligned} & e_{A B}=a\left(\mathbf{W}^{(l)} \mathbf{h}_A^{(l-1)}, \mathbf{W}^{(l)} \mathbf{h}_B^{(l-1)}\right) \\ & =\operatorname{Linear}\left(\operatorname{Concat}\left(\mathbf{W}^{(l)} \mathbf{h}_A^{(l-1)}, \mathbf{W}^{(l)} \mathbf{h}_B^{(l-1)}\right)\right)\end{aligned} eAB=a(W(l)hA(l1),W(l)hB(l1))=Linear(Concat(W(l)hA(l1),W(l)hB(l1)))

为稳定注意力机制的学习过程,采用多头注意力:
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GNN层的实践

很多现代深度学习模块可以被引入GNN层,如:

  • Batch Normalization: 稳定神经网络训练
  • Dropout:避免过拟合
  • Attention/Gating:控制信息的重要度
  • 等等

Batch Normalization

目的:稳定神经网络的训练
步骤:
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参考资料:https://zhuanlan.zhihu.com/p/522525435

Dropout

目的:避免过拟合
步骤:
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在GNN中,Dropout被应用在消息函数的线性层上

非线形激活函数

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堆叠GNN层

过多地堆叠GNN层会导致Over-smoothing问题,这是因为
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如何克服Over-smoothing问题?

  • 1.谨慎增加GNN层,别使层太多
  • 2.增加每一个GNN层的表达能力,可以考虑加深层内的神经网络
  • 3.增加一些不传递消息的层,如预处理层,后处理层
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  • 增加skip connections
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增加skip connections实际上是增加了更多的通路,使得模型称为了一系列浅GNN和深GNN模型的混合
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GNN中的图处理

之前的假设都是输入的图可以直接转化为计算图。
但是如果存在下面的情况,就需要先对图进行处理。
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对应的处理的方式有:
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特征增强

为什么需要特征增强。

  1. 输入的图没有节点特征
    解决办法:
    a)给节点指定常数特征,如1。
    b)给节点设置one-hot特征向量。在这里插入图片描述
  2. 特定的结构很难被GNN学到,如环数特征
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    解决办法:
    将环数也作为节点特征加入。

还有其他指标也可以用于增强特征,如clustering coefficient、pagerank、centrality。

增加虚拟节点/边

对于稀疏的图,需要增加虚拟节点或边

增加虚拟边

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增加虚拟节点

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节点领域的采样

想法:消息传递时,随机采样领域节点用于消息传递
好处:大大降低计算复杂度,同时获得的节点嵌入的效果和将所有领域节点都用上的效果差不多。

6.GNN03

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