一、选择题
本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。
- 1、若 5 z + 2 i = 1 \frac{5}{z}+2i=1 z5+2i=1，则 z = z= z=
A. 1-2i
B. 1+2i
C. 2-i
D. 2+i - 2、已知集合 A = { x ∣ 1 < x < a } A=\left\{ x|1 \lt x \lt a \right\} A={x∣1<x<a}， B = { − 2 , 0 , 1 , 2 } B=\left\{-2,0,1,2\right\} B={−2,0,1,2}，若 A ∩ B = ϕ A \cap B = \phi A∩B=ϕ，则实数 a a a 的取值范围是
A. a < 1 a\lt1 a<1
B. a < 2 a\lt2 a<2
C. a ≤ 1 a\leq1 a≤1
D. a ≤ 2 a\leq2 a≤2 - 3、等比数列 { a n } \left\{a_n\right\} {an} 中， a 2 = 1 a_2=1 a2=1，设甲： a 4 = 3 a_4=3 a4=3，乙： a 6 = 9 a_6=9 a6=9，则甲是乙的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要 - 4、函数 f ( x ) = sin x + sin 2 x f(x)=\sin{x}+\sin{2x} f(x)=sinx+sin2x 在区间 ( 0 , 3 π ) (0,3\pi) (0,3π) 上的零点个数
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7 - 5、随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式，某景区人数大约每年以11%的增长率呈指数增长，那么至少经过多少年后，该景区的旅游人数翻一倍？（参考数据： lg 2 ≈ 0.301 \lg2 \approx 0.301 lg2≈0.301， lg 111 ≈ 2.405 \lg 111 \approx 2.405 lg111≈2.405）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9 - 6、在直角坐标系 x O y xOy xOy 中，满足不等式 { x 2 + y 2 − 2 x < 1 x 2 + y 2 + 2 x ≤ 1 \begin{cases}x^{2}+y^{2}-2x \lt 1\\x^{2}+y^{2}+2x \leq 1\end{cases} {x2+y2−2x<1x2+y2+2x≤1 的点 ( x , y ) (x,y) (x,y) 表示的区域面积为
A. π 2 − 1 \frac{\pi}{2}-1 2π−1
B. π \pi π
C. π − 1 \pi-1 π−1
D. π − 2 \pi-2 π−2 - 7、若直线 y = x + a y=x+a y=x+a 与曲线 y = ln ( x + b ) y=\ln(x+b) y=ln(x+b) 相切，则 a 2 + b 2 a^{2}+b^{2} a2+b2 的最小值
A. 1 2 \frac{1}{2} 21
B. 1
C. 3 2 \frac{3}{2} 23
D. 2 - 8、已知直线 m 与平面 α \alpha α 所成的角为 π 4 \frac{\pi}{4} 4π，若直线 n ⊂ α n\subset\alpha n⊂α，直线 m ⊂ β m\subset\beta m⊂β，设m与n的夹角为 θ 1 \theta_1 θ1， α \alpha α 与 β \beta β 的夹角为 θ 2 \theta_2 θ2，则
A. θ 1 ≥ π 4 , θ 2 ≥ π 4 \theta_1\geq\frac{\pi}{4},\theta_2\geq\frac{\pi}{4} θ1≥4π,θ2≥4π
B. θ 1 ≥ π 4 , θ 2 ≤ π 4 \theta_1\geq\frac{\pi}{4},\theta_2\leq\frac{\pi}{4} θ1≥4π,θ2≤4π
C. θ 1 ≤ π 4 , θ 2 ≥ π 4 \theta_1\leq\frac{\pi}{4},\theta_2\geq\frac{\pi}{4} θ1≤4π,θ2≥4π
D. θ 1 ≤ π 4 , θ 2 ≤ π 4 \theta_1\leq\frac{\pi}{4},\theta_2\leq\frac{\pi}{4} θ1≤4π,θ2≤4π
二、选择题
本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分。部分选对的得部分分，有选错的得零分。
- 9、有一组成对样本数据 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ⋯ ( x n , y n ) (x_1,y_1),(x_2,y_2)\cdots(x_n,y_n) (x1,y1),(x2,y2)⋯(xn,yn)，设 x ˉ = 1 n ∑ i = 1 n x n \bar{x}=\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n x_n xˉ=n1i=1∑nxn， y ˉ = 1 n ∑ i = 1 n y i \bar{y}=\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^ny_i yˉ=n1i=1∑nyi，由这组数据得到新成对样本数据 ( x 1 − x ˉ , y 1 − y ˉ ) , ( x 2 − x ˉ , y 2 − y ˉ ) ⋯ ( x n − x ˉ , y n − y ˉ ) (x_1-\bar{x},y_1-\bar{y}),(x_2-\bar{x},y_2-\bar{y})\cdots(x_n-\bar{x},y_n-\bar{y}) (x1−xˉ,y1−yˉ),(x2−xˉ,y2−yˉ)⋯(xn−xˉ,yn−yˉ)，下面就这两组数据分别先计算样本相关系数，再根据最小二乘法计算回归直线，最后计算出残差平方，则
（注：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 b ^ = ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 \hat{b}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}} b^=i=1∑n(xi−xˉ)2i=1∑n(xi−xˉ)(yi−yˉ)， a = y ˉ − b ^ x ˉ a=\bar{y}-\hat{b}\bar{x} a=yˉ−b^xˉ.）
A. 两组数据的相关系数相同
B. 两组数据的残差平方和相同
C. 两条经验回归直线的斜率相同
D. 两条经验回归直线的截距相同 - 10、在 △ A B C \triangle{ABC} △ABC中， ∠ C = 4 5 ∘ \angle C=45^{\circ} ∠C=45∘， ( A B → + 3 A C → ) ⋅ B C → = 0 (\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC})\cdot{\overrightarrow{BC}=0} (AB+3AC)⋅BC=0，则下列说法正确的是
A. sin B = 10 10 \sin{B}=\frac{\sqrt{10}}{10} sinB=1010
B. tan A = 2 \tan{A}=2 tanA=2
C. B A → \overrightarrow{BA} BA在 B C → \overrightarrow{BC} BC方向上的投影向量为 3 4 B C → \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} 43BC
D. 若 ∣ A C → ∣ = 2 \left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{2} AC =2，则 A B → ⋅ A C → = 2 \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2 AB⋅AC=2 - 11、已知定义域为R的函数 f ( x ) f(x) f(x)满足 f ( x − y ) − f ( x + y ) = f ( x − 1 ) f ( y − 1 ) f(x-y)-f(x+y)=f(x-1)f(y-1) f(x−y)−f(x+y)=f(x−1)f(y−1)，且 f ( 0 ) = 2 , g ( x ) f(0)=2, g(x) f(0)=2,g(x)为 f ( x ) 的导函数 f(x)的导函数 f(x)的导函数，则
A. f ( x ) f(x) f(x)为偶函数
B. g ( x ) g(x) g(x)为周期函数
C. ∑ i = 0 2025 f ( k ) = 0 \displaystyle\sum_{i=0}^{2025}f(k)=0 i=0∑2025f(k)=0
D. g ( 2026 ) = 0 g(2026)=0 g(2026)=0
三、填空题
- 12、 ( 1 + x ) 5 + ( 1 − x ) 5 (1+\sqrt{x})^{5}+({1-\sqrt{x}})^{5} (1+x)5+(1−x)5 的展开式中 x 2 x^{2} x2 的系数是____
- 13、记 △ A B C \triangle{ABC} △ABC 的内角 A 、 B 、 C A、B、C A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c a、b、c a、b、c 且 1 tan A + 2 tan B = 3 tan C \frac{1}{\tan{A}}+\frac{2}{\tan{B}}=\frac{3}{\tan{C}} tanA1+tanB2=tanC3，则 c 2 a 2 + 2 b 2 = \frac{c^{2}}{a^{2}+2b^{2}}= a2+2b2c2=____
- 14、直线 l l l 过双曲线C： x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 a2x2−b2y2=1 ( a > 0 , b > 0 ) (a\gt0,b\gt0) (a>0,b>0)的左焦点F，交C的渐近线于A、B两点，若 F B → = 3 F A → \overrightarrow{FB}=3\overrightarrow{FA} FB=3FA，且 ∣ F A → ∣ = b \left|\overrightarrow{FA}\right|=b FA =b，则C的离心率为____
四、解答题
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15、如图，直三棱柱 A B C − A 1 B 1 C 1 ABC-A_{1}B_{1}C_{1} ABC−A1B1C1 的体积为 1 2 \frac{1}{2} 21，侧面 B B 1 C 1 C BB_1C_1C BB1C1C 是边长为1的正方形， A B = 1 AB=1 AB=1，点D、E分别在线段 C B 1 CB_1 CB1 和 A 1 C 1 A_1C_1 A1C1 上.
(1) 若D、E分别是 C B 1 , A 1 C 1 CB_{1},A_{1}C_{1} CB1,A1C1 的中点，求证： D E ∥ 平面 A B B 1 A DE\parallel平面ABB_{1}A DE∥平面ABB1A；
(2) 若 D E ⊥ C B DE \perp CB DE⊥CB， D E ⊥ A C DE \perp AC DE⊥AC，求 D E DE DE.
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16、ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球，甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权。设甲、乙发出ACE球的概率均为 p 0 p_0 p0，记 A n = A_n= An=“第n次发出发球的人是甲”。
(1) 证明： P ( A n + 1 ∣ A n ) + P ( A n + 1 ∣ A n ˉ ) = 1 P(A_{n+1}|A_{n})+P(A_{n+1}|\bar{A_{n}})=1 P(An+1∣An)+P(An+1∣Anˉ)=1；
(2) 若 P ( A 1 ) = 1 P(A_{1})=1 P(A1)=1， P ( A 2 = 9 20 P(A_{2}=\frac{9}{20} P(A2=209，求 p 0 p_0 p0和 P ( A n ) P(A_{n}) P(An). -
17、已知函数 f ( x ) = ( x + K ) e x f(x)=(x+K)e^{x} f(x)=(x+K)ex，其中 K ∈ R K \in R K∈R.
(1) 当 k = − 1 k=-1 k=−1 时，讨论关于x的方程 f ( x ) = a ( a ∈ R ) f(x)=a(a \in R) f(x)=a(a∈R) 的实根个数；
(2) 当 k > − 1 k\gt-1 k>−1 时，证明：对任意的实数 x 1 , x 2 ( x 1 ≠ x 2 ) x_1,x_2(x_1 \ne x_2) x1,x2(x1=x2)，都有 f ( x 1 ) − f ( x 2 ) e x 1 − e x 2 > x 1 + x 2 2 \frac{f(x_1)-f(x_2)}{e^{x_1}-e^{x_2}}\gt\frac{x_1+x_2}{2} ex1−ex2f(x1)−f(x2)>2x1+x2. -
18、已知 △ D E F \triangle DEF △DEF 的顶点 E E E 在 x x x 轴上， F ( 1 4 , 0 ) F(\frac{1}{4},0) F(41,0)， ∣ D F → ∣ = ∣ E F → ∣ \left|\overrightarrow{DF}\right|=\left|\overrightarrow{EF}\right| DF = EF ，且边 D E DE DE 的中点 M M M 在 y y y 轴上，设 D D D 的轨迹为曲线 Γ \Gamma Γ.
(1) 求 Γ \Gamma Γ 的方程；
(2) 若正 △ A B C \triangle ABC △ABC 的三个顶点都在 Γ \Gamma Γ 上，且直线 A B AB AB 的倾斜角为 4 5 ∘ 45^{\circ} 45∘，求 ∣ A B ∣ \left|AB\right| ∣AB∣. -
19、 将 2 N 2N 2N 项数列 { a 1 , a 2 , ⋯ , a N , b 1 , b 2 , ⋯ , b N } \left\{a_{1},a_{2},\cdots,a_{N},b_{1},b_{2},\cdots,b_{N}\right\} {a1,a2,⋯,aN,b1,b2,⋯,bN} 重新排序为 { b 1 , a 1 , a 2 , b 2 , ⋯ , b N , a N } \left\{b_{1},a_{1},a_{2},b_{2},\cdots,b_{N},a_{N}\right\} {b1,a1,a2,b2,⋯,bN,aN} 的操作称为一次“洗牌”，即排序后的新数列以 b 1 b_{1} b1 为首项，将 a i a_{i} ai 排在 b i b_{i} bi 之后，将 b i + 1 b_{i+1} bi+1 排在 a i a_{i} ai 之后，对于数列 1 , 2 , ⋯ , 2 N {1,2,\cdots,2N} 1,2,⋯,2N，将“洗牌”后得到的新数列中数字K的位置定义为 f ( k ) f(k) f(k)。例如，当 N = 3 N=3 N=3 时，数列 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 {1,2,3,4,5,6} 1,2,3,4,5,6 经过一次“洗牌”后变为 4 , 1 , 5 , 2 , 6 , 3 {4,1,5,2,6,3} 4,1,5,2,6,3，此时 f ( 1 ) = 2 , f ( 2 ) = 4 , f ( 3 ) = 6 , f ( 4 ) = 1 , f ( 5 ) , f ( 6 ) = 5 f(1)=2,f(2)=4,f(3)=6,f(4)=1,f(5),f(6)=5 f(1)=2,f(2)=4,f(3)=6,f(4)=1,f(5),f(6)=5.
(1) 写出数列 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 {1,2,3,4,5,6,7,8} 1,2,3,4,5,6,7,8 经过3次“洗牌”后得到的“新数列”；
(2) 对于满足 1 ≤ K ≤ 2 N 1\leq K \leq 2N 1≤K≤2N 的任意整数 k k k，求经过一次“洗牌”后 f ( k ) f(k) f(k) 的解析式；
(3) 当 N = 2 n − 1 N=2^{n-1} N=2n−1（其中 n ∈ N + n \in N^{+} n∈N+）时，数列 ( 1 , 2 , ⋯ , 2 N ) (1,2,\cdots,2N) (1,2,⋯,2N) 经过若干次“洗牌”后能否还原为 ( 1 , 2 , ⋯ , 2 N ) (1,2,\cdots,2N) (1,2,⋯,2N) ？如果能，请说明至少需要多少次“洗牌”；如果不能，请说明理由。
更新时间记录
- 选择题单选8道录完；「2025.2.7 16:18」
- 选择题多选3道录完；「2025.2.7 18:30」
- 填空题3道录完；「2025.2.7 18:45」
- 解答题4道录完；「2025.2.7 21:42」
- 敲录完毕后看了一遍，发布。「2025.2.7 21:56」
