图像处理之频域滤波DFT

  摘要:傅里叶变换可以将任何满足相应数学条件的信号转换为不同系数的简单正弦和余弦函数的和。图像信号也是一种信号,只不过是二维离散信号,通过傅里叶变换对图像进行变换可以图像存空域转换为频域进行更多的处理。本文主要简要描述傅里叶变换以及其在图像处理中的简单应用,并进行一些简单的实验来描述其相关性质。
  关键字:傅里叶变换,二维傅里叶变换,二维离散傅里叶变换

  傅里叶变换是对傅里叶级数进行研究得到的结论,傅里叶发现满足一定数学条件的复杂周期函数可以用一系列简单的正弦和余弦函数之和表示。分解后的表示形式的每个分量都是一个频率的分量,也就将复杂信号转换成简单信号,而简单信号更容易进行数学描述和分析。

1 复数域

  由于傅里叶变换中涉及到了复数,首先简单了解下复数。
  复数的定义如下:
C = R + j I C=R+jI C=R+jI
  其中 R R R I I I都为实数分别为复数的实部和虚部,而 j j j是-1的平方根,即 j 2 = − 1 j^2=-1 j2=1。实数集就是我们一般谈的数集,其实复数的子集(当 I = 0 I=0 I=0时)。如果需要在平面坐标中表述复数,其实和普通的笛卡尔坐标系表示相同,只是横坐标换成实数,纵坐标换成虚数即可(即复数是复平面坐标中的点 ( R , I ) (R,I) (R,I))。
  复数的共轭:
C ∗ = R − j I C^{*}=R-jI C=RjI
  复数在极坐标下的表示为:
C = ∣ C ∣ ( c o s θ + j s i n θ ) ∣ C ∣ = R 2 + I 2 θ = a r c t a n ( I R ) \begin{equation} \begin{aligned} C&=|C|(cos\theta+jsin\theta)\\ |C|&=\sqrt{R^2+I^2}\\ \theta&=arctan(\frac{I}{R}) \end{aligned} \end{equation} CCθ=C(cosθ+jsinθ)=R2+I2 =arctan(RI)
  另外如果用欧拉公式转( e j θ = c o s θ + j s i n θ e^{j\theta=cos\theta+jsin\theta} ejθ=cosθ+jsinθ)换则可以转换为:
C = ∣ C ∣ e j θ C=|C|e^{j\theta} C=Cejθ

2 傅里叶变换

2.1 傅里叶级数

  傅里叶级数:即具有周期 T T T的连续变换 t t t的周期函数 f ( t ) f(t) f(t)可以被描述为乘以适合的系数的正弦和余弦的和,这个和就是傅里叶级数。
f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n e j 2 π n T t c n = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − j 2 π n T t d t , n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . \begin{equation} \begin{aligned} f(t)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_{n}e^{j\frac{2\pi n}{T}t}}\\ cn&=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f(t)e^{-j\frac{2\pi n}{T}t}}dt,n=0,\pm1,\pm2,... \end{aligned} \end{equation} f(t)cn=n=cnejT2πnt=T12T2Tf(t)ejT2πntdt,n=0,±1,±2,...
  使用欧拉公式转换即可得到正弦和余弦和的标识:
f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n [ c o s ( 2 π n T t ) + j s i n ( 2 π n T t ) ] f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_{n}[cos(\frac{2\pi n}{T}t)+jsin(\frac{2\pi n}{T}t)]} f(t)=n=cn[cos(T2πnt)+jsin(T2πnt)]
  假设原始波形的为 f ( t ) = f ( t + T ) f(t)=f(t+T) f(t)=f(t+T),则对于傅里叶级数而言,其n次谐波(当 n = 1 n=1 n=1时的分量为一次谐波, n = 2 n=2 n=2时的分量为二次谐波)的幅度为 c n c_n cn,周期为 T n \frac{T}{n} nT,频率为 n T \frac{n}{T} Tn
在这里插入图片描述

2.2 连续傅里叶变换

  一维连续傅里叶变换
  满足狄利克雷条件的函数 f ( t ) f(t) f(t)的傅里叶变换为:

  狄利克雷条件:

  • 在一周期内,连续或只有有限个第一类间断点;
  • 在一周期内,极大值和极小值的数目应是有限个;
  • 在一周期内,信号是绝对可积的。

F ( μ ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − j 2 π μ t d t F ( μ ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) [ c o s ( 2 π μ t ) − j s i n ( 2 π μ t ) ] d t μ = n T \begin{equation} \begin{aligned} F(\mu)&=\int_{-\infty}^{+\infty}{f(t)e^{-j2\pi \mu t}dt}\\ F(\mu)&=\int_{-\infty}^{+\infty}{f(t)[cos(2\pi \mu t) - jsin(2\pi \mu t)]dt}\\ \mu&=\frac{n}{T} \end{aligned} \end{equation} F(μ)F(μ)μ=+f(t)ej2πμtdt=+f(t)[cos(2πμt)jsin(2πμt)]dt=Tn
   F ( t ) F(t) F(t)傅里叶变换对应的傅里叶逆变换 F − 1 ( t ) F^{-1}(t) F1(t)为:
f ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ F ( μ ) e j 2 π μ t d μ f ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ F ( μ ) [ c o s ( 2 π μ t ) + j s i n ( 2 π μ t ) ] d μ μ = n T \begin{equation} \begin{aligned} f(t)&=\int_{-\infty}^{+\infty}{F(\mu)e^{j2\pi \mu t}d\mu}\\ f(t)&=\int_{-\infty}^{+\infty}{F(\mu)[cos(2\pi \mu t) + jsin(2\pi \mu t)]d\mu}\\ \mu&=\frac{n}{T} \end{aligned} \end{equation} f(t)f(t)μ=+F(μ)ej2πμtdμ=+F(μ)[cos(2πμt)+jsin(2πμt)]dμ=Tn

  傅里叶变换 F ( t ) F(t) F(t)可以将连续函数 f ( t ) f(t) f(t)从时域转换到频域空间,而逆变换 F − 1 ( t ) F^{-1}(t) F1(t)可以将其傅里叶变换 F ( t ) F(t) F(t)还原到时域得到 f ( t ) f(t) f(t)。傅里叶变换和傅里叶逆变换构成傅里叶变换对。通常的信号处理,如果在时域不好处理时,我们可以利用傅里叶变换先将信号转换到频域,在频域空间进行处理之后再用逆变换将信号转换到时域空间。

  二维连续傅里叶变换
  二维傅里叶变换和一维傅里叶变换类似,只是将一维扩展到二维:
F ( μ , v ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( t , z ) e − j 2 π ( μ t + v z ) d t d z f ( t , z ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ F ( μ , v ) e j 2 π ( μ t + v z ) d μ d v μ = n T μ , v = n T v \begin{equation} \begin{aligned} F(\mu,v)&=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}{f(t,z)e^{-j2\pi(\mu t + vz)}dt dz}\\ f(t,z)&=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}{F(\mu,v)e^{j2\pi(\mu t + vz)}d\mu dv}\\ \mu&=\frac{n}{T_{\mu}},v=\frac{n}{T_{v}} \end{aligned} \end{equation} F(μ,v)f(t,z)μ=++f(t,z)ej2π(μt+vz)dtdz=++F(μ,v)ej2π(μt+vz)dμdv=Tμn,v=Tvn

  傅里叶变换后是在复数空间,即 F ( u ) = R ( μ ) + j I ( μ ) = ∣ F ( μ ) ∣ e j ϕ ( u ) F(u)=R(\mu)+jI(\mu)=|F(\mu)|e^{j\phi(u)} F(u)=R(μ)+jI(μ)=F(μ)ejϕ(u)
  傅里叶谱 ∣ F ( μ ) ∣ = ∣ R ( μ ) 2 + I ( μ ) 2 ∣ 1 2 |F(\mu)|=|R(\mu)^2+I(\mu)^2|^{\frac{1}{2}} F(μ)=R(μ)2+I(μ)221
  相角 ϕ ( μ ) = a r c t h a n ( I ( μ ) R ( μ ) ) \phi(\mu)=arcthan(\frac{I(\mu)}{R(\mu)}) ϕ(μ)=arcthan(R(μ)I(μ))
  能量谱 P ( u ) = ∣ F ( μ ) ∣ 2 = R ( μ ) 2 + I ( μ ) 2 P(u)=|F(\mu)|^2=R(\mu)^2+I(\mu)^2 P(u)=F(μ)2=R(μ)2+I(μ)2

2.3 离散傅里叶变换

  实际使用时由于硬件设备的原因,我们只能对离散数据进行处理,而离散数据是通过采样得到的。

2.3.1 卷积

  在了解如何对连续信号进行取样的傅里叶变换之前先了解下卷积能够方面我们进行后续的处理。
  卷积本质就是将两个信号相乘做积分,但是如果只是简单相乘则得到的输出值当 f ( t ) f(t) f(t)为冲激函数时,输出值和相乘的函数 h ( t ) h(t) h(t)相反。因此需要将 h ( t ) h(t) h(t)关于原点做反转。于是卷积的定义为:
f ( t ) ∗ h ( t ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) h ( t − τ ) d τ f(t)\ast h(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)h(t-\tau)d\tau f(t)h(t)=+f(τ)h(tτ)dτ
  而卷积对应的傅里叶变换为( F ( μ ) F(\mu) F(μ) H ( μ ) H(\mu) H(μ)分别为两个函数的傅里叶变换):
F ( f ( t ) ∗ h ( t ) ) = ∫ − ∞ + ∞ [ ∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) h ( t − τ ) d τ ] e e − j 2 π τ d t = H ( μ ) F ( μ ) F(f(t)\ast h(t))=\int_{-\infty}^{+\infty}[\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)h(t-\tau)d\tau]e^{e^{-j2\pi \tau}}dt=H(\mu)F(\mu) F(f(t)h(t))=+[+f(τ)h(tτ)dτ]eej2πτdt=H(μ)F(μ)

2.3.2 取样

  假设对于连续函数 f ( t ) f(t) f(t),对独立变量 t t t Δ T \Delta T ΔT的间隔进行取样,并记采样得到的离散信号为 f ^ ( t ) \hat{f}(t) f^(t),则
在这里插入图片描述

f ^ ( t ) = f ( t ) s Δ T ( t ) = ∑ n = − ∞ + ∞ f ( t ) δ ( t − n Δ T ) \hat{f}(t)=f(t)s_{\Delta T}(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t - n\Delta T) f^(t)=f(t)sΔT(t)=n=+f(t)δ(tnΔT)
  其中 s Δ T ( t ) s_{\Delta T}(t) sΔT(t)为冲激串:
在这里插入图片描述

  而取样冲激串的傅里叶变换为:
S ( μ ) = S ( δ ( t − n Δ T ) ) = 1 Δ T ∑ n = − ∞ + ∞ δ ( μ − n Δ T ) \begin{equation} \begin{aligned} S(\mu)&=S(\delta(t - n\Delta T))=\frac{1}{\Delta T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(\mu - \frac{n}{\Delta T}) \end{aligned} \end{equation} S(μ)=S(δ(tnΔT))=ΔT1n=+δ(μΔTn)
  则采样后的离散序列的傅里叶变换为:
F ( f ^ ( t ) ) = F [ f ( t ) s Δ T ( t ) ] = F ( μ ) ∗ S ( μ ) = 1 Δ T ∑ n = − ∞ + ∞ F ( μ − n Δ T ) F(\hat{f}(t))=F[f(t)s_{\Delta T}(t)]=F(\mu)\ast S(\mu)=\frac{1}{\Delta T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F(\mu - \frac{n}{\Delta T}) F(f^(t))=F[f(t)sΔT(t)]=F(μ)S(μ)=ΔT1n=+F(μΔTn)
  从上面的式子中我们能够看到采样后的离散信号的傅里叶变换就是原始信号的傅里叶变换的无穷拷贝,而每个拷贝之间的间隔为采样频率,即 1 Δ T \frac{1}{\Delta T} ΔT1。如果采样频率过低,则采样信号的相邻两个傅里叶变换就会重叠,发生混叠无法区分,采样得到的信号就会失真。因此采样频率的下限为 1 2 Δ T \frac{1}{2\Delta T} T1,即奈奎斯特采样频率,如果低于这个频率采样就会失真,高于这个频率采样基本能还原出原始信号。
在这里插入图片描述

  下图的虚线就是使用低采样频率采样失真的效果:
在这里插入图片描述

2.3.3 离散傅里叶变换

  一维离散傅里叶变换
  经过采样的离散函数 f ^ ( t ) 的 \hat{f}(t)的 f^(t)离散傅里叶变换的表示为:
F ^ ( μ ) = ∫ − ∞ + ∞ f ^ ( t ) e − j 2 π μ t d t = ∫ − ∞ + ∞ ∑ n = − ∞ + ∞ f ( t ) δ ( t − n Δ T ) e − j 2 π μ t d t = ∑ n = − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) δ ( t − n Δ T ) e − j 2 π μ t d t = ∑ n = − ∞ + ∞ f n e − j 2 π μ Δ T \begin{equation} \begin{aligned} \hat{F}(\mu)&=\int_{-\infty}^{+\infty}{\hat{f}(t)e^{-j2\pi \mu t}dt}\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}{ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t - n\Delta T) e^{-j2\pi \mu t} }dt\\ &=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}{f(t)\delta(t - n\Delta T) e^{-j2\pi \mu t} }dt\\ &=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} f_{n}e^{-j2\pi \mu \Delta T} \end{aligned} \end{equation} F^(μ)=+f^(t)ej2πμtdt=+n=+f(t)δ(tnΔT)ej2πμtdt=n=++f(t)δ(tnΔT)ej2πμtdt=n=+fnej2πμΔT
  由于 F ^ ( t ) \hat{F}(t) F^(t)是周期为 1 Δ T \frac{1}{\Delta T} ΔT1的无线周期连续函数,因此我们只需要关心一个周期内的FT状态即可。假设我们在一个周期内得到 F ^ ( t ) \hat{F}(t) F^(t) M M M个等距采样的样本,那么 μ = m M Δ T , m = 0 , 1 , . . . , M − 1 \mu=\frac{m}{M\Delta T},m=0,1,...,M-1 μ=MΔTm,m=0,1,...,M1,即
F ^ ( m ) = ∑ m = 0 M − 1 f n e − j 2 π m n / M , m = 0 , 1 , 2 , . . . , M − 1 \hat{F}(m)=\sum_{m=0}^{M-1}f_ne^{-j2\pi mn/M},m=0,1,2,...,M-1 F^(m)=m=0M1fnej2πmn/M,m=0,1,2,...,M1
  相对的,当我们知道傅里叶变换为 F ^ ( t ) \hat{F}(t) F^(t)时,即可通过逆变换得到对应的离散信号:
f ^ ( n ) = 1 M ∑ m = 0 M − 1 F m e j 2 π m n / M , m = 0 , 1 , 2 , . . . , M − 1 \hat{f}(n)=\frac{1}{M}\sum_{m=0}^{M-1}F_me^{j2\pi mn/M},m=0,1,2,...,M-1 f^(n)=M1m=0M1Fmej2πmn/M,m=0,1,2,...,M1
  二维离散傅里叶变换
    首先我们将上面提到的一维离散傅里叶变换扩展到二维空间:
F ^ ( u , v ) = ∑ x = 0 M − 1 ∑ y = 0 N − 1 f ( x , y ) e − j 2 π ( u x M + v y N ) f ^ ( x , y ) = 1 M N ∑ x = 0 M − 1 ∑ y = 0 N − 1 F ( u , v ) e j 2 π ( u x M + v y N ) \begin{equation} \begin{aligned} \hat{F}(u,v)&=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi(\frac{ux}{M} + \frac{vy}{N})}\\ \hat{f}(x,y)&=\frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi(\frac{ux}{M} + \frac{vy}{N})} \end{aligned} \end{equation} F^(u,v)f^(x,y)=x=0M1y=0N1f(x,y)ej2π(Mux+Nvy)=MN1x=0M1y=0N1F(u,v)ej2π(Mux+Nvy)
  二维离散信号是由二维连续函数采样得到,即数字图像是从真实世界采集光信号转换成电信号,由于硬件器件的原因肯定存在精度问题。数字图像是有限时间信号,而有限时间信号包含无限频率,所以无法从采样函数的傅里叶变换中分离出一个完整的原函数的傅里叶变换。因此数字图像总是存在混淆的问题,只是不同精度问题严重程度不同。当采样率足够高时该问题人眼几乎不可察觉。

  混叠是指取样讯号被还原成连续讯号时产生彼此交叠而失真的现象。

3 傅里叶变换的实现

3.1 DFT

  傅里叶变换的实现比较简单,暴力时间复杂度为 O ( n 4 ) \Omicron(n^4) O(n4)。代码中的Matrix是自己实现的矩阵类基本操作就是一般矩阵的操作。#pragma omp parallel for是打开了OMP加速。

template<int, class T>
static Matrix<double> dft(const Matrix<T> &m){GASSERT(m.channels() == 1, "the matrix channle must be 1");std::size_t hei = m.rows(), wid = m.cols();Matrix<double> dftm(m.cols(), m.rows(), 2);
#pragma omp parallel forfor(std::size_t u = 0; u < hei; u ++){for(std::size_t v = 0; v < wid; v ++){double rv = 0.0, vv = 0.0;for(std::size_t y = 0; y < hei; y ++){for(std::size_t x = 0; x < wid; x ++){double xv = 2.0 * M_PI * (u * y * 1.0/ wid + v * x * 1.0/ hei);rv += cos(xv) * m(x, y, 0);vv += -sin(xv) * m(x, y, 0);}}dftm(v, u, 0) = rv;dftm(v, u, 1) = vv;}}return dftm;
}

  经过DFT的图像的频域的值不在[0,255]先要autoscale得到下图:
在这里插入图片描述

  依然不方便观察需要将四个顶点的值向中心移动:
在这里插入图片描述

3.2 IDFT

  逆变换同理:

template<class T>
static Matrix<T> idft(const Matrix<double> &m){GASSERT(m.channels() == 2, "the matrix channle must be 2");std::size_t hei = m.rows(), wid = m.cols();Matrix<double> dftm(m.cols(), m.rows(), 1);double mn = 1.0 / (hei * wid);for(std::size_t y = 0; y < hei; y ++){for(std::size_t x = 0; x < wid; x ++) {double rval = 0.0, ival = 0.0;for(std::size_t v = 0; v < hei; v ++){for(std::size_t u = 0; u < wid; u ++) {double vv = 2 * M_PI * (u * x * 1.0/ wid + v * y * 1.0 / hei);double r = m(u, v, 0);double i = m(u, v, 1);rval += r * cos(vv) - i * sin(vv);ival += i * cos(vv) + r * sin(vv);}}double vv = sqrt(rval * rval + ival * ival) * mn;dftm(x, y, 0) = vv;}}return dftm.as<T>();
}

  IDFT得到的图像:
在这里插入图片描述

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.rhkb.cn/news/139934.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系长河编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

Spring面试题11:什么是Spring的依赖注入

该文章专注于面试,面试只要回答关键点即可,不需要对框架有非常深入的回答,如果你想应付面试,是足够了,抓住关键点 面试官:说一说Spring的依赖注入 依赖注入(Dependency Injection)是Spring框架的一个核心特性,它是指通过外部容器将对象的依赖关系注入到对象中,从而…

win10 关闭edge跳转IE浏览器

按下windows键&#xff0c;搜索控制面板 右上角输入IE 点击IE 高级中取消下红框选择即可

接口自动化测试之Requests模块详解

Python中&#xff0c;系统自带的urllib和urllib2都提供了功能强大的HTTP支持&#xff0c;但是API接口确实太难用了。Requests 作为更高一层的封装&#xff0c;在大部分情况下对得起它的slogan——HTTP for Humans。 让我们一起来看看 Requests 这个 HTTP库在我们接口自动化测试…

Spring面试题15:Spring支持几种bean的作用域?singleton、prototype、request的区别是什么?

该文章专注于面试,面试只要回答关键点即可,不需要对框架有非常深入的回答,如果你想应付面试,是足够了,抓住关键点 面试官:Spring支持几种bean的作用域? Spring支持以下几种Bean的作用域: Singleton(单例):这是Spring默认的作用域。使用@Scope(“singleton”)注解或…

web前端的float布局与flex布局

flex布局 <!DOCTYPE html> <html><head><meta charset"UTF-8"><title>flex</title><style>.container{width: 100%;height: 100px;background-color: aqua;display: flex;flex-direction: row;justify-content: space-ar…

使用 rtty 进行远程 Linux 维护和调试

rtty 是一个用于在终端上进行远程连接和数据传输的工具。它提供了一种简单的方式来与远程设备进行通信&#xff0c;使得在不同主机之间传输数据变得更加方便。 安装 rtty 是一个可执行程序&#xff0c;可以在 Linux、macOS 和 Windows 等平台上使用。 Linux/macOS 在终端中执…

web二级操作题

js和css的引入 在 HTML 中&#xff0c;你可以使用 <script> 和 <link> 标签来引入外部的 JavaScript 文件和 CSS 文件。 引入外部的 JavaScript 文件&#xff1a; <script src"path/to/script.js"></script>src 属性指定了 JavaScript 文…

Oracle for Windows安装和配置——Oracle for Windows数据库创建及测试

2.2. Oracle for Windows数据库创建及测试 2.2.1. 创建数据库 1&#xff09;启动数据库创建助手&#xff08;DBCA&#xff09; 进入%ORACLE_HOME%\bin\目录并找到“dbca”批处理程序&#xff0c;双击该程序。具体如图2.1.3-1所示。 图2.1.3-1 双击“%ORACLE_HOME%\bin\dbca”…

浅谈SpringMVC的请求流程

目录标题 浅谈SpringMVC的请求流程SpringMVC的介绍SpringMVC的逻辑概念运行图解知识总结 浅谈SpringMVC的请求流程 对于SpringMVC而言重点是了解它的底层运行逻辑&#xff0c;从而可以根据其逻辑来进行实际业务的操作或者是利用原理增强业务的功能性&#xff0c;最终达到项目预…

C++文件交互实践:职工管理系统

管理系统需求 实现一个基于多态的职工管理系统 创建管理类 管理类负责内容&#xff1a; 与用户的沟通菜单界面对职工增删改查的操作与文件的读写交互 文件交互 -- 写文件 void workerManger::save() {ofstream ofs;ofs.open(FILENAME, ios::out);for (int i 0; i < th…

命令行程序测试自动化

【软件测试面试突击班】如何逼自己一周刷完软件测试八股文教程&#xff0c;刷完面试就稳了&#xff0c;你也可以当高薪软件测试工程师&#xff08;自动化测试&#xff09; 这几天有一个小工具需要做测试&#xff0c;是一个命令行工具&#xff0c;这个命令行工具有点类似mdbg等命…

怒刷LeetCode的第3天(Java版)

目录 第一题 题目来源 题目内容 解决方法 方法一&#xff1a;动态规划 第二题 题目来源 题目内容 解决方法 方法一&#xff1a;模拟 方法二&#xff1a;数学规律 方法三&#xff1a;分组 第三题 题目来源 题目内容 解决方法 方法一&#xff1a;数学方法 方法…

基于直方图的增强显示

背景 由于需要经常分析浮点型的图像&#xff0c;而浮点型图像经常不能突出显示感兴趣的区域的&#xff0c;如下图所示&#xff1a; 而使用imagej软件&#xff0c;选中一个较小的感兴趣区域&#xff0c;调出其直方图&#xff0c;然后点击设置就可以增强整个图像对比度&#xff…

小程序社区团购demo

概述 实现了用户登录或者手机号&#xff0c;加入团长&#xff0c;邀请团长&#xff0c;各种佣金明细等页面 详细 需求&#xff1a; 根据市场信息反馈&#xff0c;社区团购比较火&#xff0c;有流量的用户可以推广页面 实现了功能&#xff1a; 实现了用户微信登录自动获取…

92 # express 中的中间件的实现

上一节实现 express 的优化处理&#xff0c;这一节来实现 express 的中间件 中间件的特点&#xff1a; 可以决定是否向下执行可以拓展属性和方法可以权限校验中间件的放置顺序在路由之前 中间件基于路由&#xff0c;只针对路径拦截&#xff0c;下面是中间件的匹配规则&#…

【观察】数字化转型的“下半场”,华为加速行业智能化升级

过去几年数字化转型席卷全球&#xff0c;随着新技术的广泛应用&#xff0c;新的机会和价值正在不断被发现和创造。从某种程度上说&#xff0c;数字化转型不再是“可选项”&#xff0c;而变成了“必选项”。 目前&#xff0c;已经有超过170多个国家和地区制定了各自的数字化相关…

如何使用固态硬盘+硬盘盒子+U盘创造移动双系统

本文背景 这学期上了一节鸟水课《大数据实践》&#xff0c;老师要求扩展硬盘盒&#xff0c;以部署大数据工具进行 机器挖掘等大数据领域工作 参考视频链接&#xff1a;无需启动盘&#xff0c;用虚拟机将ubuntu安装到移动硬盘上_哔哩哔哩_bilibili 项目使用设备 1.绿联&#…

Centos7安装wps无法打开及字体缺失的问题解决

在centos7上安装了最新的wps2019版本的wps-office-11.1.0.11704-1.x86_64.rpm&#xff0c;生成了桌面图标并信任&#xff0c;可以新建文件&#xff0c;但是软件无法打开。在终端执行如下命令&#xff0c;用命令行启动wps&#xff1a; cd /opt/kingsoft/wps-office/office6/ ./…

银行家算法——C语言实现

算法思路 将操作系统看作是银行家&#xff0c;操作系统所拥有的资源就相当于银行家所拥有的资产&#xff0c;进程向操作系统申请资源就相当于资产家向银行贷款&#xff0c;规定资产家在向银行贷款之前&#xff0c;先申明其所贷数额的最大值&#xff0c;申明之后其贷款的数额不…

Vue3+Ts+Vite项目(第十五篇)——tailwindcss安装及使用详解,css原子化如何实现

文章目录 一、装包二、初始化2.1 终端执行如下命令2.2 postcss.config.js 文件中2.3 tailwind.config.js 文件中 三、样式文件3.1 新建 tailwind.css 文件3.2 main.ts 中引入 四、使用4.1 写入类名即可4.2 简单讲解 五、插件5.1 安装 Tailwind CSS IntelliSense5.2 使用效果 六…