🐇

🔥博客主页： 云曦
📋系列专栏：数据结构

💨吾生也有涯，而知也无涯 💛 感谢大家👍点赞 😋关注📝评论

---

前言

上一期讲到了二叉树的链式结构，但上一期的链式结构还差着几个接口没写，所以在这一期补上，然后就是二叉树的顺序结构讲解了，二叉树的顺序结构将会实现堆和堆排序，最后会用堆实现TOPK问题。

📚一、二叉树链式结构的接口补充

📔1.1 二叉树第k层节点的个数

• 思路：递归左右子树并且相加，层层进入且每次进入k都减1，当k等于1时就是第k层，然后返回1给上一层。

• 需要注意的是，传入的k有可能小于0，所以要检查一下k

int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{assert(k > 0);//检测k是否小于0if (root == NULL){return 0;}if (k == 1){return 1;}return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

此接口的递归展开图

📔1.2 二叉树查找值为x的节点

• 思路：遍历找到k节点，但找到了返回也只是返回到上一层的函数栈帧的执行位置，所以解决方法就是，定义一个节点接收回归的值，然后判断这个节点是否等于或不等于NULL，需要注意的是左右子树都要判断一下，因为有可能要找的节点不在左子树，在右子树里。

BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{if (root == NULL){return NULL;}if (root->val == x){return root;}BTNode* ret = NULL;ret = BinaryTreeFind(root->left, x);if (ret){return ret;}ret = BinaryTreeFind(root->right, x);if (ret){return ret;}return NULL;
}

📔1.3 判断一颗二叉树是否是完全二叉树

• 思路：跟层序遍历的思路差不多，只是这里要把NULL也入队列，然后出队列时，等于NULL就跳出循环，然后再循环出队列的数据。

1. 如果有不等于NULL的节点，那么这颗树就不是完全二叉树。
2. 遍历一遍后，没有返回，那么这棵树就是完全二叉树。

bool BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{//创建及初始化队列Que q;QueueInit(&q);//把根不等于空(NULL)时入队列if (root){QueuePush(&q, root);}//思路：上一层出带下一层进while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* Front = QueueFront(&q);//当节点等于空时，break跳出循环if (Front == NULL){break;}//NULL也入队列QueuePush(&q, Front->left);QueuePush(&q, Front->right);QueuePop(&q);}//继续出队列，此时如果遇到不等于空(NULL)的节点//那么这颗树就不是完全二叉树while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* Front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (Front != NULL){QueueDestroy(&q);return false;}}QueueDestroy(&q);//到这里时，已经遍历完整棵树了，此时这棵树就是完全二叉树return true;
}

📚二、二叉树的顺序结构

📔2.1 二叉树顺序结构的概念

• 概念：普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统
  虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段
• 堆的逻辑结构是一颗完全二叉树，但物理结构是一个数组
  
• 堆又分为小根堆(小堆)或大根堆(大堆)
• 小堆：这颗完全二叉树的所有父亲节点的数据都小于孩子节点
• 大堆：这颗完全二叉树的所有父亲节点的数据都大于孩子节点
  
• 查找一颗完全二叉树的父亲或左右孩子的方法:
• leftchild = parent * 2 + 1（左孩子 = 父亲乘2加1）
• right = parent * 2 + 2 （右孩子 = 父亲乘2加2）
• parent = (child - 1) / 2 (父亲 = (孩子-1) / 2)

• 堆的性质

1. 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值
2. 堆总是一棵完全二叉树。

• 堆的结构

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{HPDataType* arr;int size;int capacity;
}HP;

📔2.2 堆实现

• 堆其实是用顺序表实现的，只是逻辑结构与顺序表有些差异

📕2.2.1 堆的初始化

• 堆的初始化有两种结构

1. 第一种结构：

void HeapInit(HP* php)
{assert(php);php->arr = NULL;php->capacity = 0;php->size = 0;
}

• 第二种结构：

这种结构其实就是，给一个n个元素的数组，让我们把数组的数据拷贝到堆里然后建堆

void HeapInitArray(HP* php, HPDataType* arr, int n)
{assert(php);assert(arr);//开辟n个空间php->arr = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType)*n);if (php->arr == NULL){perror("malloc fail");exit(-1);}php->capacity = n;php->size = n;//把原数组的数据拷贝到在堆上开辟的数组里memcpy(php->arr, arr, sizeof(HPDataType) * n);//向上调整建堆int i = 0;for (i = 1; i < n; i++){AdjustUp(php->arr, i);}}

📕2.2.2 堆的销毁

堆的销毁跟顺序表一样的，释放开辟的空间，然后把容量和有效数据的个数置为0

void HeapDestroy(HP* php)
{assert(php);free(php->arr);php->arr = NULL;php->capacity = 0;php->size = 0;
}

📕2.2.3 堆的插入

1. 把扩容的功能实现出来

//容量满了，扩容if (php->size == php->capacity){int newCapacity = php->capacity == 0 ? INIT_SIZE : php->capacity * TIMES;HPDataType* tmp=(HPDataType*)realloc(php->arr, sizeof(HPDataType) * newCapacity);if (tmp == NULL){perror("realloc fail");exit(-1);}php->arr = tmp;php->capacity = newCapacity;}

2. 然后把插入数据

	php->arr[php->size] = x;php->size++;

3. 插入数据后，把数据向上调整，让这个数组变成堆

	AdjustUp(php->arr, php->size-1);

📃2.2.3.1 向上调整算法

• 注意：向上调整算法的前提是：前面的数是堆

1. 接收数组和插入数据的位置(n-1的位置)
2. 计算父亲的位置，公式为：parent = (child - 1) / 2
3. 让孩子和父亲比较，小于父亲就交换孩子和父亲的位置
4. 然后把父亲的下标赋值给孩子，再计算父亲的位置
5. 如果孩子大于父亲，那么就break跳出循环

• 时间复杂度：O(logN)
  

void AdjustUp(int* arr, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;//计算父亲的位置//child等于0时，为循环结束的条件while (child > 0){if (arr[child] < arr[parent]){Swap(&arr[child], &arr[parent]);//交换函数child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{//孩子大于父亲时跳出循环break;}}}

• 测试：

int main()
{int arr[] = { 65,100,70,32,50,60 };HP hp;HeapInit(&hp);int i = 0;for (i = 0; i < sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); i++){HeapPush(&hp, arr[i]);}HeapPrint(&hp);HeapDestroy(&hp);return 0;
}

📕2.2.4 堆的删除

堆的删除，删尾没有任何意义，但把首尾元素交换一下，那么每次删除的都是最小/最大的元素，配合获取堆顶元素的接口，可以实现排序了
思路：

1. 先将首尾元素交换
2. size减1
3. 最后向下调整建堆，向下调整只影响尾元素的祖先，不会影响其他的元素

void HeapPop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);//交换首尾的数据Swap(&php->arr[0], &php->arr[php->size - 1]);php->size--;//然后向下调整AdjustDown(php->arr, php->size, 0);
}

📃2.2.4.1 向下调整算法

• 向下调整的前提是：左右孩子都是小堆 / 大堆

1. 先找出左右孩子最小的哪一个，那么就要计算孩子的位置，但这里有个小技巧，先默认左孩子是最小的，然后再判断，如果右孩子小于左孩子child就加1变成右孩子
2. 此时，左右孩子谁小我们不关心，判断孩子是否小于父亲，孩子小于父亲，那么就交换孩子和父亲的位置，把孩子的下标赋值给父亲，再计算孩子的下标
3. 孩子大于父亲，就证明堆建好了，break跳出循环

• 时间复杂度：O(logN)
  

void AdjustDown(int* arr, int n, int parent)
{//默认选择左孩子int child = parent * 2 + 1;while (child < n){//左孩子表示最小的//那么改为右孩子if (child+1 < n && arr[child + 1] < arr[child]){++child;}if (arr[child] < arr[parent]){Swap(&arr[child], &arr[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{//孩子大于父亲，就跳出循环break;}}}

📕2.2.5 获取堆顶元素

HPDataType HeapTop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);return php->arr[0];
}

📕2.2.6 检测堆是否为空

bool HeapEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}

📔2.3 堆排序

• 堆排序要注意两个点：
• 排升序建大堆
• 排降序建小堆

• 向上调整实现堆排序，时间复杂度：O(N*logN)

1. 循环从数组的第二个元素开始向上调整
2. 循环从最后一个元素开始往前和堆顶元素交换位置，再向下调整
   

void HeapSort(int* arr, int n)
{//向上调整建堆O(N*logN)int i = 0;for (i = 1; i < n; i++){AdjustUp(arr, i);}int end = n-1;while (end > 0){Swap(&arr[0], &arr[end]);AdjustDown(arr, end, 0);end--;}}

• 向下调整实现堆排序，时间复杂度：O(N)

1. 从倒数第一个非叶子节点开始调(也就是最后一个节点的父亲)

• 找到最后一个节点的父亲的方法：
• n-1找到最后一个元素，再按公式parent = (child-1)/2，就可以找到最后一个节点的父亲了，也就是：(n-1-1) / 2

2. 向下调整后减1就可以找到下一个非叶子节点的位置，因为物理结构是一个数组，数组存储的元素是连续的
3. 循环从最后一个元素开始往前和堆顶元素交换位置，再向下调整
   

void HeapSort(int* arr, int n)
{//向下调整建堆O(N)int i = 0;for (i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){AdjustDown(arr, n, i);}int end = n-1;while (end > 0){Swap(&arr[0], &arr[end]);AdjustDown(arr, end, 0);end--;}}

📔2.4 TOPK问题

• 时间复杂度：O(N*logK)
• 空间复杂度：O(K)

1. 首先要制造一些数据到文件里

void CreateNDate()
{// 造数据int n = 10000;srand((unsigned int)time(0));const char* file = "data.txt";FILE* fin = fopen(file, "w");if (fin == NULL){perror("fopen error");return;}for (int i = 0; i < n; ++i){int x = (rand() + i) % 10000000;fprintf(fin, "%d\n", x);}fclose(fin);
}

int main()
{//CreateNDate();//传入文件名和要k的数值PrintTopK("data.txt", 10);return 0;
}

2. 打开文件，把前k个数据输入到堆里，然后向下调整建堆

void PrintTopK(const char* filename, int k)
{FILE* pf = fopen(filename, "r");if (pf == NULL){perror("fopen fail");exit(-1);}int* heap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);if (heap == NULL){perror("malloc fail");exit(-1);}// 1、取出前k个数据建堆int i = 0;for (i = 0; i < k; i++){fscanf(pf, "%d", &heap[i]);}//2.、前k个数向下调整，建堆//k-1找到最后一个元素的下标//(k-1-1)/2找到最后一个节点的父亲节点for (i=(k-1-1)/2; i>=0; i--){AdjustDown(heap, k, i);}fclose(pf);free(heap);pf = NULL;heap = NULL;
}

3. 读取剩下的数据，与堆顶比较，大于堆顶就替换进堆，然后再向下调整，建堆

void PrintTopK(const char* filename, int k)
{FILE* pf = fopen(filename, "r");if (pf == NULL){perror("fopen fail");exit(-1);}int* heap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);if (heap == NULL){perror("malloc fail");exit(-1);}// 1、取出前k个数据建堆int i = 0;for (i = 0; i < k; i++){fscanf(pf, "%d", &heap[i]);}//2.、前k个数向下调整，建堆for (i=(k-1-1)/2; i>=0; i--){AdjustDown(heap, k, i);}// 读取剩下的数据依次跟堆顶数据比较，//大于堆顶就替换进堆，然后再向下调整int x = 0;while (fscanf(pf, "%d", &x) != EOF){//大于堆顶就替换它进堆if (x > heap[0]){heap[0] = x;//替换后，再向下调整AdjustDown(heap, k, 0);}}for (i = 0; i < k; i++){printf("%d ", heap[i]);}printf("\n");fclose(pf);free(heap);pf = NULL;heap = NULL;
}

• 测试

• 这里有一个调试小技巧，我们写入文件的是随机数，不知道是不是最大的前k个，那么我们就自己在随机位置加入k个大的数值，如果输出出来的是我们自己改的数值，那么程序就是正确的
• 从99991 - 999910都是我自己更改的测试数值
  

• 测试结果：
  

📔2.5本篇章的代码

堆的实现代码